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1、第七章 二次型现在学习的是第1页，共23页1 1 二次型与合同变换二次型与合同变换 一一.二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示 定义定义7.1 7.1 n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 (x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn.称为一个n元二次型,简称二次型.当系数aij均为实数时称为n元实二次型.以下仅讨论实二次型.把2aijxixj写成aijxixj+ajixjxi,其中aij=aji,则有(x1,x2,xn)=a11x12+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+a2
2、nx2xn+an1xnx1+an2xnx2+annxn2现在学习的是第2页，共23页或写成矩阵乘法形式若记则有现在学习的是第3页，共23页 定义定义7.27.2 =x=xT TAxAx称为n元二次型的矩阵表示式,实对称矩阵A A称为二次型二次型的矩阵的矩阵,称为实对称矩阵实对称矩阵A A的二次型的二次型.矩阵A A的秩也称为二次型二次型的秩的秩.例如,二次型=2x2+3y2-z2+4xy-6xz 的矩阵为于是现在学习的是第4页，共23页反之,实对称矩阵 定义定义7.3 仅含平方项的二次型的二次型为=x12+2x22 x32+4x1x2+2x1x32x2x3 f=d1x12+d2x22+dnxn
3、2称为标准形.可见,标准形的矩阵为对角矩阵.若记x x=(x1,x2,xn)T,y y=(y1,y2,yn)T,C C=(cij)nn,则称:x x=CyCy,即现在学习的是第5页，共23页为从x1,x2,xn到y1,y2,yn的线性变换.其中cij为线性变换的系数,C称为线性变换的系数矩阵.当C C为可逆矩阵时,x x=CyCy称为可逆线性变换,这时y=Cy=C-1-1x x为x x=CyCy的逆变换,当C C为正交矩阵时,x=Cyx=Cy称为正交变换.对n元二次型=x=xT TAxAx作变换x x=CyCy,则有 =x xT TAx=Ax=(CyCy)T TA A(CyCy)=y yT(C
4、 CTACAC)y=yy=yTBy y即,成为y1,y2,yn的n元二次型,其矩阵为B=C CTAC.AC.现在学习的是第6页，共23页 定理定理7.17.1 线性变换下,二次型仍变为二次型.可逆线性变换下,二次型的秩不变.二二.方阵的合同变换方阵的合同变换 经可逆线性变换x=Cyx=Cy,f的矩阵A A变为B B=C CTACAC.定义定义7.47.4 设A A,B B为同阶方阵,如果存在可逆矩阵C,使得B B=C CTACAC,则称A A与B B是合同的,记为A AB.B.对方阵A A的运算C CTACAC,称为对A A的合同变换,并称C为把A A变为B B的合同变换矩阵.矩阵的合同关系具
5、有性质:()反身性:A AA A;()对称性:若A AB B,则B BA A;()传递性:若A AB B,B BC C,则A AC.C.实际上,R(B B)=R(C CT TACAC)R(A A),R(A A)=R(C CT T)-1-1BCBC-1-1)R(B B),所以R(A A)=R(B B).现在学习的是第7页，共23页 由于矩阵C C可逆,记C=P1P2Ps(P1,P2,Ps为初等方阵),则有:B B=PsTPs-1TP1TA AP1P2Ps.可见,若A A与B B是合同的,则A A可经过一系列初等行变换和完全相同的初等列变换变成矩阵B B.所以,若A A与B B合同,则A A与B
6、B等价,而且它们的秩相等.但是等价矩阵不一定是合同的.而且,合同矩阵不一定是相似的;相似矩阵也不一定是合同的.但正交相似的矩阵一定是合同的.进一步相似的实对称矩阵一定是合同的.现在学习的是第8页，共23页2 2 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 若使n元二次型化为标准形:只要可逆线性变换x=Pyx=Py,满足=P P-1APAP.现在学习的是第9页，共23页 由于矩阵A是实对称矩阵,所以有:定理定理7.2 7.2 任意二次型=x xT TAxAx都可经正交变换x=Pyx=Py化为标准形=y yT T y y,其中 的对角线元素恰是A的特征值.可见,用正交变换化二次型为标准形
7、与实对称矩阵对角化的步骤几乎是一致的.例例1 1 用正交变换化二次型 (x1,x2,x3)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3为标准形,并给出所用的正交变换.解解 二次型的矩阵为现在学习的是第10页，共23页 A A的特征多项式为 =(-4)(2-2-8)=(-4)2(+2)所以,矩阵A A的特征值为1=2=4,3=-2.由于于是,方程组(4E-A A)x=0 x=0的一个基础解系可取为:现在学习的是第11页，共23页又由于所以得属于3=-2的单位特征向量故可取正交矩阵作正交变换:x=Qy x=Qy,即现在学习的是第12页，共23页二次型(x1,x2,x3)=3x12+3x2
8、2+2x1x2+4x1x34x2x3变为若取正交矩阵Q=(1,3,2),作正交变换x=Qyx=Qy,则有 (x1,x2,x3)=4y12+4y222y32 (x1,x2,x3)=4y12 2y22+4y32若取正交矩阵Q=(3,1,2),作正交变换x=Qyx=Qy,则有 (x1,x2,x3)=2y12+4y22+4y32现在学习的是第13页，共23页 可见,化二次型为标准形所用的正交变换以及标准形都不是唯一的.但是,正交变换对应的标准形中,各项系数恰是矩阵A的所有特征值,因此除顺序外是唯一的.现在学习的是第14页，共23页3 3 正定二次型正定二次型 一一.惯性定理与正定二次型惯性定理与正定二
9、次型 虽然将二次型化为标准形可采用不同的变换,所化成的标准形也不唯一.但是,由于R(A)=R(),所以标准形中非零项数是唯一的,它等于二次型的秩,也等于二次型矩阵非零特征值的个数。同时,标准形中系数为正数的项的个数也是相同的。=1y12+2y22+ryr2 (i0)则1,2,r中正数个数与1,2,r中正数个数相同.定理定理7.37.3(惯性定理)设实二次型=x xT TAxAx,其秩为r,在不同的可逆线性变换x=Cyx=Cy和x=Dzx=Dz下化为标准形 =1z12+2z22+rzr2 (i0)现在学习的是第15页，共23页 定义定义7.57.5 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数,负系
10、数的个数称为的负惯性指数.定义定义7.67.6 如果x x0 0,都有=x xT TAxAx0(0(A0).二二.正定二次型正定二次型(正定矩阵正定矩阵)的判定的判定 定理定理7.4 7.4 n元实二次型=x xT TAxAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n.推论推论 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数).现在学习的是第16页，共23页称为矩阵A的第i个顺序主子式.定义定义7.7 7.7 设A A=(aij)nn,则行列式 显然,D1=a11,Dn=detA.定理定理7.57.5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序
11、主子式都大于0.A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0,偶数阶顺序主子式都大于0.现在学习的是第17页，共23页 解解 (1)用特征值法 例例2 2 判断下列二次型的正定性.(1)(x1,x2,x3)=2x12+3x22+3x32+4x2x3 (2)(x1,x2,x3)=-5x12-6x22-4x32+4x1x2+4x1x3 二次型(x1,x2,x3)的矩阵是:矩阵A的特征多项式为:现在学习的是第18页，共23页=(-2)(-3)2-4=(-1)(-2)(-5)所以,矩阵A的特征值是 1=1,2=2,3=5.因此,二次型(x1,x2,x3)是正定二次型.(2)用顺序主子式法:二
12、次型(x1,x2,x3)的矩阵是:则矩阵A的各阶顺序主子式为:现在学习的是第19页，共23页 D1=50,所以,二次型(x1,x2,x3)是负定二次型.=2(848)=800,D2=2-t20,D3=3(2-t2)+2t(-2t)=6-7t20 得t21.解解 由于A是正定矩阵,所以A的特征值i(i1,2,n)都大于0.|A+E|=(i+1)1 例例5 5 设实对称矩阵A满足A25A+6E=0 0,证明矩阵A是正定的.解解 设是矩阵A的任一特征值,是属于的特征向量,则有,A=,于是有 (A2-5A+6E)=A2-5A+6=2-5+6=0=0由于0 0,所以 25+6=0,即=2或=3所以,矩阵A的特征值都大于0,即A是正定矩阵.现在学习的是第22页，共23页习题习题A A 第第134134页页4、5、6、7、8、9作作 业业1、2、(1),(2)现在学习的是第23页，共23页