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1、第三章第三章 向量代数向量代数高等代数与解析几何课题开发组高等代数与解析几何课题开发组高等代数与解析几何课题开发组高等代数与解析几何课题开发组113.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算 欧拉欧拉（1707-1783 1707-1783）22高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算3.1.1 3.1.1 向量的基本概念向量的基本概念既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量,称为称为向量向量(矢量矢量).用有向线段表示向量用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的有向线段的长度表示向量的例如例如也可用一个字母表示也可用一个字母表示.例如例
2、如或或大小大小,有向线段的方向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向.如速度如速度,加速度加速度,力力,位移等位移等.定义定义3.13.1 可以可以向量的大小叫做向量的模向量的大小叫做向量的模,记作记作模等于的向量叫做单位向量模等于的向量叫做单位向量.向量的模向量的模:向量向量33高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算若若 大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 相等相等，定义定义3.23.2 与起点无关的向量称为自由向量与起点无关的向量称为自由向量(向量向量).).定义定义3.3 如果两个向量如果两个向量 和和 的大小相等，方向相反，
3、则的大小相等，方向相反，则称称 是是 的的反向量反向量，记作，记作 .定义定义3.4 长度为长度为0的向量成为的向量成为零向量零向量，记作，记作0.定义定义3.5 长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量.模等于零的向量叫做零向量模等于零的向量叫做零向量,记作记作零向量的起点和终点重合，方向可任意零向量的起点和终点重合，方向可任意.或或记做记做44高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算1 1向量的加减法向量的加减法称为向量加法的称为向量加法的平行四边形法则平行四边形法则。再以再以为边作平行四边形为边作平行四边形称称定义定义3.63.6
4、从一点从一点 作向量作向量 为两向量的为两向量的和向量和向量，记作，记作个向量的和如何理解？个向量的和如何理解？3.1.2 3.1.2 向量的线性运算向量的线性运算55高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算两向量的差：两向量的差：不难得到：不难得到：(2)(2)结合律结合律 (1)(1)交换律交换律 向量加法的运算规律向量加法的运算规律66高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算特别地特别地,定义定义3.73.7 向量向量运算规律运算规律:(1)(1)结合律结合律 (2)(2)分配律分配律与实数与实数
5、 的的乘积乘积是一个向量，记作是一个向量，记作它的方向，当它的方向，当它的模它的模与与 的方向相同（相反）的方向相同（相反）.77高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算定理定理3.13.1的充分必要条件是存在唯一的的充分必要条件是存在唯一的3.1.3 3.1.3 共线向量、共面向量共线向量、共面向量定义定义3.8 3.8 方向相同或者相反的向量称为方向相同或者相反的向量称为共线向量共线向量，而，而再证唯再证唯 一性一性.证证充分性是显然的充分性是显然的.设向量设向量设设则则取实数取实数同向时同向时为正；为正；时时所以，所以，平行于同一平面的向量成
6、为平行于同一平面的向量成为共面向量共面向量.下面证必要性下面证必要性.设设为负；为负；88高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算定理定理3.23.2三个向量三个向量共面的充分必要条件是存在不共面的充分必要条件是存在不全为零的数全为零的数使使证证中有两个向量例如中有两个向量例如共线，由定理共线，由定理3.1知，则有不全为零的知，则有不全为零的使使那么那么仍不全为零，有仍不全为零，有设设均不共线，作均不共线，作过过点作直线与点作直线与平行交平行交所在直线于所在直线于点，于是由三角形点，于是由三角形如果如果法则及数乘向量定义有法则及数乘向量定义有99高
7、等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算其中其中不全为零不全为零.反之，如果有不全为零的反之，如果有不全为零的使使不妨设不妨设，于是，于是这说明这说明是以是以为边的平行四边形的对角线，为边的平行四边形的对角线，因此因此共面共面.从而有从而有1010高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算证证 由三角形法则由三角形法则又因又因是是的中点，的中点，故故即即例例3.13.1中，中，是是边中点，证明边中点，证明1111高等代数与解析几何高等代数与解析几何 3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算例例3.23.2 用向量证明三角形中位线定理用向量证明三角形中位线定理.例例3.33.3 用向量证明：如点用向量证明：如点是是的重心，的重心，边上中线，则边上中线，则是是1212结束结束1313