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1、第二章微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家Ferma在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章
2、第二章 一、引例一、引例1.1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则 到到 的平均速度为的平均速度为而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为自由落体运动自由落体运动2.2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在M点处的切线点处的切线割线割线MN的极限位置的极限位置MT(当当 时时)割线割线MN的斜率的斜率切线切线MT 的斜率的斜率两个问题的两个问题的共性共性:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强
3、度电流强度是是速度增量与时间增量速度增量与时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量与时间增量转角增量与时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量与长度增量质量增量与长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量与时间增量电量增量与时间增量之比的极限之比的极限变变化化率率问问题题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.1.设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限为并称此极限为记作记作:即即则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点处可导处可导,在点在点的导数的导数.运动质点的位置函数运动质点的位置函数在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度曲线曲线在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率若上
4、述极限不存在若上述极限不存在,在点在点 不可导不可导.若若也称也称在在若函数在开区间若函数在开区间I内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数.记作记作:注意注意:就说函数就说函数就称函数在就称函数在I内可导内可导.的导数为的导数为无穷大无穷大.例例1.1.求函数求函数(C 为常数为常数)的导数的导数.解解:即即例例2.2.求函数求函数解:说明：说明：对一般幂函数(为常数为常数)例如，例如，（以后将证明）（以后将证明）例例3.3.求函数求函数的导数的导数.解解:则则即即类似可证得类似可证得例例4.4.求函数求函数的导数的导数.解解:即即或或原式是
5、否可按下述方法作:例例5.5.证明函数证明函数在在x=0不可导不可导.证证:不存在不存在,例例6.6.设设存在存在,求极限求极限解解:原式原式三、导数的几何意义三、导数的几何意义曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为若若曲线过曲线过上升上升;若若曲线过曲线过下降下降;若若切线与x轴平行,称为称为驻点驻点;若若切线与切线与x x轴垂直轴垂直.曲线在点曲线在点处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:例例7.7.问曲线问曲线哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线?哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线平行平行?写出其切线方程写出其切线方程解解:令令得得对应对应则在点则在点(1,1),(1,1)处与
6、直处与直线线平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为即即故在原点故在原点(0,0)(0,0)有垂直切线有垂直切线四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系定理定理1.1.证证:设在点在点x处可导处可导,存在存在,因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点x连续连续.注意注意:函数在点函数在点x连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在x=0处连续处连续,但不可导但不可导.即在点在点的某个右的某个右 邻域内邻域内五、单侧导数五、单侧导数若极限若极限则称此极限值为则称此极限值为在在 处的右处的右 导数导数,记作记作即即(左左)(左左)例如例如,在在x=0处有处有定义定义2
7、.2.设函数设函数有定义有定义,存在存在,定理定理2.2.函数函数在点在点且且存在存在简写为简写为在点在点处处右右 导数存在导数存在定理定理3.3.函数函数在点在点必必右右 连续连续.(左左)(左左)若函数若函数与都存在都存在,则称则称显然显然:在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导在开区间在开区间 内可导内可导,在闭区间在闭区间 上可导上可导.可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是且内容小结内容小结1.1.导数的实质导数的实质:3.3.导数的几何意义导数的几何意义:4.4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.5.已学求导公式已学求导公式:6.6.判断可导性判断可导性
8、不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;思考与练习思考与练习1.1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数区别区别:是函数是函数,是数值是数值;联系联系:注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?？与导函数与导函数2.2.设设存在存在,则则3.3.已知已知则则4.4.若若时时,恒有恒有问问是否在是否在可导可导?解解:由题设由题设由夹逼准则由夹逼准则故故在在可导可导,且且5.5.设设,问问a取何值时取何值时,在在都存在都存在,并求出并求出解解:故故时此时此时在在都存在都存在,显然该函数在显然该函数在x=0连续连续.解解:因为因为6.6.设设存在存在,且且求所以所以在在 处连续处连续,且且存在，存在，证明证明:在在处可导处可导.证：因为证：因为存在，存在，则有则有又又在在处连续处连续,所以所以即即在在处可导处可导.7.7.设设故故