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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节空间直角坐标系与向量的坐标表示目录 上页 下页 返回 结束 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O,坐标面 卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念zOx面目录 上页 下页 返回 结束 在直角坐标系下向径坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);目录 上页 下页 返回 结束 坐标轴:坐标面:目录 上页 下页 返回 结束 2.向量
2、的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量,的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.记记 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解以向量为未知元的线性方程组解解:2 3,得代入得目录 上页 下页 返回 结束 例例3.已知两点在AB所在直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是
3、得中点公式中点公式:目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求证以证证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点目录 上页 下页 返回 结束 例例5.在 z 轴上求与两点等距解解:设该点为解得故所求点为及思考思考:(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.目录 上页 下页 返回 结束(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨
4、迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?提示提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例例6.已知两点解解:求AB的单位向量 e.目录 上页 下页 返回 结束 2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.目录 上页 下页 返回 结束 方向余弦的性质:目录 上页 下页 返回 结束 例例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解解:计算向量目录 上页 下页 返回 结束 例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知
5、角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影第二节 则 a 在轴 u 上的投影为 例如,在坐标轴上的投影分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为,即 投影的性质投影的性质2)1)(为实数)目录 上页 下页 返回 结束 例例9.第二节 设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且 求OA 在 OM 方向上的投影.解解:如图所示,记 MOA=,作业作业 P12 3,5,13,14,15,18,19目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解解:因1.设求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为目录 上页 下页 返回 结束 2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平