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1、数学分析中央财经大学第九章 级数l傅里叶级数中央财经大学数学分析 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数 来描写。来描写。(1)一、问题的提出(1)(1)也称为简谐振动，其中也称为简谐振动，其中 为振幅，为振幅，为初相角，为初相角，为角频率，于是简谐振动为角频率，于是简谐振动 的周期是的周期是 。中央财经大学数学分析 的叠加的叠加2）（较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动中央财经大学数学分析如：非正弦周期函数如：非正弦周期
2、函数:矩形波矩形波可以由不同频率正弦波逐个叠加逼近得到可以由不同频率正弦波逐个叠加逼近得到中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析若级数（若级数（3 3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（动现象。对于级数（3 3），只要讨论），只要讨论 （如果（如果 ，可用可用 代替）的情形。由于代替）的情形。由于所以所以（3）（3）再看几个简谐振动的叠加几个简谐振动的叠加中央财经大学数学分析记记 ,则级数（则级数（3 3）可写成）可写成它是由三角函数列（也称为三角函数系）
3、它是由三角函数列（也称为三角函数系）1，,（4）所产生的一般形式的三角函数。所产生的一般形式的三角函数。中央财经大学数学分析定义定义.三角级数三角级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?二、三角级数、三角函数系的正交性中央财经大学数学分析1.三角函数系的正交性三角函数系三角函数系二、三角级数、三角函数系的正交性中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析三、函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数且等式右边级数一致收敛。中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析
4、中央财经大学数学分析傅里叶系数傅里叶系数中央财经大学数学分析傅里叶级数傅里叶级数问题:的傅里叶系数为系数的三角级数称为的傅里叶系数为系数的三角级数称为（关于三角函数系）关于三角函数系）傅里叶级数傅里叶级数，记作，记作以以中央财经大学数学分析2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)中央财经大学数学分析解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.中央财经大学数学分析和函数图象为和函数图象为中央财经大学数学分析所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为中央财经大学数学分析注意注意:对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间区
5、间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充并且满足狄氏充分条件分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.作法作法:中央财经大学数学分析解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为中央财经大学数学分析四、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦项项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶级也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者
6、只含有常数项和余弦项数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.中央财经大学数学分析证明证明奇函数奇函数中央财经大学数学分析同理可证同理可证(2)定义定义偶函数偶函数定理证毕定理证毕.中央财经大学数学分析解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.中央财经大学数学分析和和函函数数图图象象中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个在整个数轴上连续数轴上连续.中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析五、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓则有如下两种情况则有如下两种情况中央财经大学数学分析奇延拓奇延拓:中央财经大学数学分析偶延拓偶延拓:中央财经大学数学分析解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析(2)(2)求余弦级数求余弦级数.中央财经大学数学分析六、以2l为周期的傅氏级数定理定理代入傅氏级数中代入傅氏级数中中央财经大学数学分析则有则有中央财经大学数学分析则有则有中央财经大学数学分析解解中央财经大学数学分析中央财经大学数学分析