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1、“平面向量”教材分析与教学建议“平面向量”教材分析与教学建议一、内容与要求(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起
2、来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、
3、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。(二)本章教学要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2.掌握向量的加法与减法。3.掌握实数与向量的积，
4、理解两个向量共线的充要条件。4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。【6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。二、新教材的特点在本章的体现(一)注意知识的系统性与学生的可接受性相结合我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后
5、面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。1以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使学生明确向量既有大小，又有方向，又如，一开始就介绍向量的几何表示-有向线段，并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如，利用物理中功的概念引入数量积。向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。2注意向量运算与数的运算的对比。学习向量
6、运算与学习数的运算有类似之处：从学习顺序上看，都是先定义运算，再研究运算性质；从学习内容来看，向量运算具有与数的运算类似的良好性质。教科书既注意了向量运算与数的运算的联系，例如向量的减法类似于数的减法(定义向量a与向量b的差为向量a与向量b的相反向量的和)，又指出向量运算与数的运算的区别，例如向量的数量积不满足结合律。通过对比，力图使学生便于理解新知识，又不至于与旧知识混淆。3教科书通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式-坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,突出了
7、数形结合的思想。教科书在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式。.4.对向量的应用要求适当。本书中除在正文中利用向量推导定比分点公式、平移公式，证明正弦定理、余弦定理以外，不要求学生独立地用向量证明平面几何题。5 将解斜三角形的内容安排在平面向量一章中向量及其运算的后面，是因为本册书中，为使学生了解向量的一些应用，正、余弦定理是用向量证明的。这样安排比较紧凑。6将平面向量安排在高一第二学期末，便于向量的内容在高二年级教科书有关章节中加以运用。如:平面向量的概念与运算很容易推广到三维空间，乃至 n 维空间。新大纲安排了利用空间向量作为工具处理传统的立体几何的改革方案
8、。学好平面向量是这项改革的必备条件。(二)注意符合学生的认识规律我们知道，学生的学习，是在教师指导下的一种特殊的认识过程，这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识又从理性认识回到实践的过程，这个过程反映在教学中，那就是要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，抽象出概念、推导出原理和方法，而后举例说明这些概念、原理和方法的应用。基于这一思想，教科书内容的编排，特别注意知识的发生过程，对概念、法则、公式、定理等的处理，不是首先呈现数学活动的结果，而是先举出学生熟悉的实物、事例、知识，或由学生动手操作，并通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括，得出结论。对这一章中概念的处理，教科书是根
9、据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式。一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等。关于向量运算，不像高等数学教材那样，从向量公理的角度引入，而是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受。例如，关于向量的减法，是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法.这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解
10、题思路，再给出解法。解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题。(三)注意培养学生的思维能力这一章教科书特别注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力，例如，平面向量基本定理的引入，先让学生思考教科书图5-15 中的向量 a 与向理 e1、e2之间的关系，联想到实数与向量的积这一概念，再通过作图得出a 1e12e2最后给出了平面向量基本定理。对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出
11、未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢”通过设问，引起学生思考。(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。由于向量具有两个明显特点“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。(五)加强了相关学科
12、的联系新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了。平面向量一章中,为体现这一特点,一方面，利用相关学科的材料引出有关的数学概念和规律；另一方面，引导学生把数学知识应用到相关学科中。）(六)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用平面向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介,在高中数学教学内容中有广泛的应用。这一章教科书注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间
13、距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。(2)注意联系实际我们在这一章中，把联系实际分成三个层次：第一层次，在知识的引入上联系实际。例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入。第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题。例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题。在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等。第三层次，安排实习作业。安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。三、教学中应注意的问题(一)要重视基础知
14、识的教学、基本技能的训练和能力的培养由于这一章是为以后学习解析几何和立体几何作准备的，所以教学时，一定要让学生学好这一章的知识。而对于基本技能和能力，要遵循学生的认识规律，结合教学内容，选择合适的教学方法，有目的、有计划、分阶段地进行训练和培养。要随着学生对基础知识的理解的不断加深，逐步提高对基本技能和能力的要求，培养学生独立获取新知识和正确运用数学语言进行数学交流的能力。(二)要把握好教学要求由于这一章是新内容，因此教学时，一定要把握好教学要求，按大纲的规定，我们把这一章知识点归类如下:应了解的内容：共线向量的概念，平面向量的基本定理，用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。应理解
15、的内容：向量的概念，两个向量共线的充要条件，平面向量坐标的概念。应掌握的内容：向量的几何表示，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及几何意义，向量垂直的条件，平移公式。|会运用的内容：线段的定比分点和中点坐标公式，正弦定理，余弦定理，用计算器解决解斜三角形的计算问题，及通过解三角形应用的教学，继续提高学生解决实际问题的能力。教学时，一定要突出重点、抓住关键、解决难点，以保证这一章的教学顺利。（三）突出概念、定理的抽象概括过程向量的概念是从物理中位移的概念抽象出来，而成为平面内的一自由向量，虽然是抽象的形式符号，依然可以以位移为背景图象，理解上并不困难。因此教学
16、时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性。在概念引入时，如果回避知识的产生过程，生搬概念从而迅速进入解题阶段，忽略对问题的感悟进而导致对问题的一知半解。例如在向量的加法教学中，如果一上来就按照课本给出加法的三角形法则，就会造成学生的生搬硬套。我的认为是直接提出问题：应该怎样定义两个向量的加法你在物理中能找到那些依据数学与物理的结合顿时使同学们产生一种新鲜感与一股探求的欲望，从而进入一种紧张的思维状态，在大脑中积极主动的搜寻能抽象出两个向量加法的实际背景。经过讨论很快就达成共识，有两种物理原型：位移的求和与力的求和。这样学生不仅能正确的表述出怎样求两向量的
17、和，而且发现这两种方法的一致性。又如在引入数量积的定义后，我认为不要把教材中的五条性质逐一讲述出来，虽然这样学生也能理解的很好，我总觉的新的内容新的方法如果你告诉他怎么做，尚不如告诉他为什么这样做，更不如引导他怎样去想。而适时地提出问题：从这个定义中能得到什么信息从而更好的理解这个公式呢引导学生站在哲学的高度，运用联系的观点，一般与特殊的处理方法去探索发现，从而促使学生不仅在探索中证明了诸多性质，更重要的是让学生感悟到了应该如何去发现。（四）突出数形结合的思想在新教材中，向量的运算法则以及运算律的给出容易使学生产生向量是属于代数内容，但向量实际上又是属于几何的范畴的，虽然有时也会脱离图形而进行
18、形式运算，但所研究的内容大都与图形有关，所以向量是数形结合的一个典范。学好向量这一章的内容，能进一步促进学生对代数几何关系的理解，运用代数几何化，几何代数化的方法从多角度思维，对于培养学生正确的数学观有着重要的作用。例如证明a b ab ab，既可以从数量积的角度算出ab 0，进而得到a b；亦可以从矩形的角度证明该命题。而证法二有利有学生的思维从直观形象向抽象过渡，更好的理解该命题。再如对任意向量a,b都有a b ab a b，从三角形三边关系上更能看出问题的实质。因此教师在教学时应有意识的引导学生从数形结合的角度进行思考，避免单一的思维渠道。（五）突出新旧思维矛盾向量运算是建立在新的运算法
19、则上，向量的运算与实数的运算不尽相同，在教学中要注意新旧知识之间的矛盾冲突，及时让学生加以辨别、总结，利于正确理解向量的实质。例如向量的加法与向量模的加法的区别，向量的数量积与实数积的区别，在坐标表示中两个向量共线与垂直的充要条件的区别。数量积的运算律这一节可以这样安排，作为一种乘法运算，可以和实数的乘法运算做比较，让学生回忆实数乘法的运算律有哪些，在向量的乘法运算中运算律是否也成立在试图证明乘法的结合律时，大多同学可能不置可否的认为当然对，个别同学却认为不一定，并且根据逻辑推理判定等号两边的向量不一定共线，从而由弱势群体最终战胜了优势群体，靠的是理性而不是无端的猜测。整堂课都是在一种浓郁的研
20、究氛围中进行的，真正做到了使学生从幕后走到舞台前，在动态思维的过程中成为学习的主体。（六）突出向量的应用意识学以至用，新教材之所以增加向量的内容，不仅是因为教材内容的陈旧而增加新的内容以适用形式的需要，更是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。由于向量的模就是线段的长度，因此用向量可以解决很多的几何问题，有时会起到意想不到的神奇效果，充分体现了向量解决问题的优越性。例如利用向量的模可以推导出两点之间的距离公式，两直线平行或垂直的证明可以转化为向量的共线及数量积为零。在三角函数这一章里我们证明了两角差的余弦公式，过程比较复
21、杂，如果利用数量积的相关内容来解决却是那样的简洁明了。向量的应用是一种新的思想方法,由于常规视角的转变，形成了新的探索途径，容易激发并凝注了所有学生的参与，探索新的解题途径，展示各自的思维能力和创新意识。但是一开始学生并不能很快进入状态，在教学中不应操之过急,要注意控制难度以及逐步渗透。另外，向量应用的教学对于教师来讲也是应该进行研究的，例如哪些问题可以用向量解决向量能否与几何的性质定理结合起来应用能否象几何一样添加辅助线如何探索向量证明的过程教学相长，师生在互动中相互学习中才能得到提高。(七)注重培养学生良好的个性品质和辩证唯物主义观点本章内容蕴含了数学来源于实践又反过来作用于实践的观点蕴含
22、了对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。本章中数形结合的内容较多。要利用这些内容的特点，通过循序渐进的教学，引发学生学习的兴趣，使学生掌握基础知识、基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，充分的学习信心，实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索创造的精神。四、本章教学时间约 22 课时，具体安排如下：向量 约 1 课时向量的加法与减法 约 2 课时实数与向量的积 约 2 课时平面向量的坐标运算 约 2 课时线段的定比分点 约 l 课时平面向量的数量积及运算律 约 2 课时平面向量数量积的坐标表示 约 1 课时平移 约 1 课时正弦定理、余弦定理 约 4 课时解斜三角形应用举例 约 2 课时实习作业 约 2 课时小结与复习 约 2 课时五、有待研究的问题(一)体系是否合适，例习题的数量、难度如何把握(二)处理几何问题如何把握