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1、1/15 微积分初步形成性考核作业（一）解答 函数，极限和连续 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1函数)2ln(1)(xxf的定义域是),3()3,2(2函数xxf51)(的定义域是)5,(3函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2,1()1,2(4函数72)1(2xxxf，则)(xf62x 5函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f2 6函数xxxf2)1(2，则)(xf12x 7函数1322xxxy的间断点是1x 8xxx1sinlim1 9若2sin4sinlim0kxxx，则k2 10若23sinlim0kxxx，则k23 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）
2、1设函数2eexxy，则该函数是（B）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 2设函数xxysin2，则该函数是（A）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 2/15 3函数222)(xxxxf的图形是关于（D）对称 Axy Bx轴 Cy轴 D坐标原点 4下列函数中为奇函数是（C）Axxsin Bxln C)1ln(2xxD2xx 5函数)5ln(41xxy的定义域为（D）A5x B4x C5x且0 xD5x且4x 6函数)1ln(1)(xxf的定义域是（D）A),1(B),1()1,0(C),2()2,0(D),2()2,1(7设1)1(2xxf，则)(xf（C ）A
3、)1(xxB2x C)2(xxD)1)(2(xx 8下列各函数对中，（D）中的两个函数相等 A2)()(xxf，xxg)(B2)(xxf，xxg)(C2ln)(xxf，9当0 x时，下列变量中为无穷小量的是（C）.Ax1BxxsinC)1ln(xD2xx 10当k（B）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续.A0 B1C2D1 11当k（D）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0 x处连续.A0 B1C2D3 12函数233)(2xxxxf的间断点是（A ）A2,1xx B3x 3/15 C3,2,1xxxD无间断点 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限423li
4、m222xxxx 解：423lim222xxxx4121lim)2)(2()2)(1(lim22xxxxxxxx 2计算极限165lim221xxxx 解：165lim221xxxx2716lim)1)(1()6)(1(lim11xxxxxxxx 3329lim223xxxx 解：329lim223xxxx234613lim)3)(1()3)(3(lim33xxxxxxxx 4计算极限4586lim224xxxxx 解：4586lim224xxxxx3212lim)4)(1()4)(2(lim44xxxxxxxx 5计算极限6586lim222xxxxx 解：6586lim222xxxxx23
5、4lim)3)(2()4)(2(lim22xxxxxxxx 6计算极限xxx11lim0 解：xxx11lim0)11(lim)11()11)(11(lim00 xxxxxxxxx 21111lim0 xx 7计算极限xxx4sin11lim0 4/15 解：xxx4sin11lim0)11(4sin)11)(11(lim0 xxxxx 81)11(44sin1lim41)11(4sinlim00 xxxxxxxx 8计算极限244sinlim0 xxx 解：244sinlim0 xxx)24)(24()24(4sinlim0 xxxxx 16)24(44lim4)24(4sinlim00 x
6、xxsimxxxxx 5/15 微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）导数、微分及应用 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1曲线1)(xxf在)2,1(点的斜率是21 2曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是1 xy 3曲线21 xy在点)1,1(处的切线方程是032yx 4)2(xxx22ln2 5若 y=x(x 1)(x 2)(x 3)，则y(0)=_-6 6已知xxxf3)(3，则)3(f 3ln2727 7已知xxfln)(，则)(xf =21x 8若xxxf e)(，则)0(f2 9函数yx312()的单调增加区间是),1 10函数1)(2 axxf在区间),0(
7、内单调增加，则 a 应满足0a 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1函数2)1(xy在区间)2,2(是（D ）A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 2满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy 的（C）.A极值点 B最值点 C驻点 D间断点 3若xxfxcose)(，则)0(f=（C）A.2 B.1 C.-1 D.-2 6/15 4设yx lg2，则dy（B）A12dxxB1dxxln10Cln10 xxdD1dxx 5 设)(xfy 是可微函数，则)2(cosdxf（D）Axxfd)2(cos2 Bxxxfd22sin)2(cos Cxxxfd2sin)2(cos2 D
8、xxxfd22sin)2(cos 6曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（C）A4e B2e C42e D2 7若xxxfcos)(，则)(xf（C）AxxxsincosBxxxsincos Cxxxcossin2Dxxxcossin2 8若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（C）A23cosax Bax6sinCxsinDxcos 9下列结论中（A）不正确 A)(xf在0 xx 处连续，则一定在0 x处可微.B)(xf在0 xx 处不连续，则一定在0 x处不可导.C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D若)(xf在a，b内恒有0)(xf，则在a，b内函数是单调下降的.10若函数 f
9、(x)在点 x0处可导，则(B)是错误的 A函数 f(x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数 f(x)在点 x0处连续 D函数 f(x)在点 x0处可微 11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B）AsinxBe xCx 2 D3-x 12.下列结论正确的有（A）Ax0是 f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0 Bx0是 f(x)的极值点，则 x0必是 f(x)的驻点 C若f(x0)=0，则 x0必是 f(x)的极值点 D使)(xf 不存在的点 x0，一定是 f(x)的极值点 7/15 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）设xxy
10、12e，求y 解：xxxxexexexxey1121212)1(2xex1)12(2设xxy3cos4sin，求y.解：xxxysincos34cos42 3设xyx1e1，求y.解：211121xexyx 4设xxxycosln，求y.解：xxxxxytan23cossin23 5设)(xyy 是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分：0)(22xdyydxydyxdx xdxydxxdyydy22 dxxyxydy22 6设)(xyy 是由方程1222xyyx确定的隐函数，求yd.解：两边对1222xyyx求导，得：0)(222yxyyyx 0yxyyyx，)()(yxyy
11、x，1 y dxdxydy 7设)(xyy 是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd.解：两边微分，得：02xdxdyxedxedxeyyx dxxeedyxeyxy)2(，dxxexeedyyyx2 8设1e)cos(yyx，求yd 8/15 解：两边对1e)cos(yyx求导，得：0)sin()1(yeyyxy 0)sin()sin(yeyyxyyx)sin()sin(yxyyxey)sin()sin(yxeyxyy dxyxeyxdxydyy)sin()sin(微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1若)(x
12、f的一个原函数为2ln x，则)(xf。2若)(xf的一个原函数为xx2e，则)(xf。3若cxxxfxed)(，则)(xf 4若cxxxf2sind)(，则)(xf 5若cxxxxflnd)(，则)(xf 6若cxxxf2cosd)(，则)(xf 7xxded2 8xx d)(sin 9若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(10若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2 二、单项选择题（每小题 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（A）A)(d)(ddxfxxfxB)(d)(xfxxf 9/15 C)(d)(dxfxxfD)()(dxfxf 3 若cxxxfx22ed)(，则)
13、(xf（A）.A.)1(e22xxx B.xx22e2 C.xx2e2 D.xx2e 4 若)0()(xxxxf，则xxfd)(（A）.A.cxx B.cxx2 C.cxx23223 D.cxx2323221 5 以下计算正确的是（A）A3ln3dd3xxx B)1(d1d22xxx CxxxddD)1d(dlnxxx 6 xxf xd)(（A）A.cxfxf x)()(B.cxf x)(C.cxfx)(212 D.cxfx)()1(解：xxf xd)(cxfxf xdxxfxf xxfxd)()()()()(7xaxdd2=（A）Axa2Bxaaxdln22Cxaxd2Dcxaxd2 8 果
14、等式Cxxfxx11ede)(，则)(xf（B）A.x1 B.21x C.x1 D.21x 解：两边求导，得：2111)(xeexfxx 10/15 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1xxxxxdsin33 解：xxxxxdsin33xdxdxxdxxsin13 cxxxcos32ln323 2xxd)12(10 解：xxd)12(10cxxdx11010)12(110121)12()12(21 cx11)12(221 3xxxd1sin2 解：xxxd1sin2cxxdx1cos)1(1sin 4xxxd2sin 解：xxxd2sin)2cos2cos(212cos21xdxxxx
15、xd cxxx2sin412cos21 5xxexd 解：xxexdcexedxexexdexxxxx)(四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1 设矩形的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为x60厘米，以x60厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积V为：)60(2xxV，即：3260 xxV 23120 xxdxdV，令0dxdV，得：0 x（不合题意，舍去），40 x，这时2060 x 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使
16、圆柱体的体积最大。11/15 2 欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为x216米，从而所用建筑材料为：xxL21632，即：xxL6482 26482xdxdL，令0dxdL得：18x（取正值），这时12216x 由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省 五、证明题（本题 5 分）函数xexxf)(在（)0,是单调增加的 证明：因为xexf1)(，当x（)0,时，xexf1)(0 所以函数xexxf)(在（)0
17、,是单调增加的 12/15 微积分初步形成性考核作业（四）解答 定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1xxxxd)2cos(sin11232 2._2_d)cos4(225xxxx 3已知曲线)(xfy 在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是313223xy 4若dxxx)235(1134 5由定积分的几何意义知，xxaad022241a 6e12d)1ln(ddxxx0.7xxde0221 8微分方程1)0(,yyy的特解为xey 9微分方程03yy的通解为xcey3 10微分方程xyxyysin4)(7)4(3 的阶数为 4 二、单项
18、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（A）Ay=x2+3By=x2+4 13/15 C22 xyD12 xy 2若10d)2(xkx=2，则 k=（A）A1B-1 C0D21 3下列定积分中积分值为 0 的是（A）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11 Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(2 4设)(xf是连续的奇函数，则定积分aaxxf-d)(（D）A0-d)(2axxfB0-d)(axxfCaxxf0d)(D0 5xxdsin22-（D）A0BC2D2 6下列无穷积分收敛的是（B）A0dexxB0dexx C1d1xx
19、D1d1xx 7下列无穷积分收敛的是（B）A0dinxxsB02dexx C1d1xxD1d1xx 8下列微分方程中，（D）是线性微分方程 Ayyyx ln2Bxxyyye2 Cyyxye Dxyyxyxlnesin 9微分方程0 y的通解为（C ）ACxy BCxy CCy D0y 10下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）A.yxxydd；B.yxyxydd；14/15 C.xxyxysindd；D.)(ddxyxxy 三、计算题（每小题 7 分，共 56 分）1xxxd)e1(e22ln0 解：xxxd)e1(e22ln0319389)1(31)1()1(2ln0322ln0 xxxe
20、ede 2xxxdln51e1 解：xxxdln51e1eexdxxdx11)ln51()ln51(51ln)ln51(21)16(101)ln51(215112ex 3xxexd10 解：xxexd101)1(10101010eeeedxexexdexxxx 40d2sinxxx 解：0d2sinxxx002cos2)2(2sin2xxdxdxx dxxdxxxx0002cos2)2cos2cos(2 42sin4)2(2cos400 xxdx 520dsinxxx 解：20dsinxxx)coscos(cos202020 xdxxxxxd 1sin20 x 6求微分方程12xxyy满足初始
21、条件47)1(y的特解 解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp 这里 xxp1)(，1)(2 xxq 代入得微分方程的通解为)2141(124cxxxy 15/15 将初始条件47)1(y代入上式，解得1c 所以微分方程的特解为)12141(124xxxy 7求微分方程xxxyy2sin2的通解。解：微分方程的通解为)()()(cdxexqeydxxpdxxp 这里xxp1)(，xxxq2sin2)(代入得微分方程的通解为)2cos(cxxy 四、证明题（本题 4 分）证明等式aaaxxfxfxxf0)()()(dd。证明：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(考虑积分0)(adxxf，令tx，则dtdx，从而 aaaaadxxfdttfdttfdttfdxxf00000)()()()()(所以aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaadxxfxfdxxfdxxf000)()()()(