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1、计算教学中的创新思维培养资料 1 20 以内进位加法 计算是一种映射。如果给出若干元素，按照某种法则存在唯一元素与它相对应，称之为计算。计算学习包括算法理解，技能习得和问题解决，它们相互联系并构成教学的整体。教学中要处理好三者之间的关系，注意避免把获得正确的计算结果作为教学的唯一要求，应当重视在计算活动中对学生的思考性训练，注重培养学生的创新思维能力。下面以 20 以内进位加法为例，谈一些思考和实践。一、学前基础的调查与教学启示 现在的小学生大部分受过学前教育，在学习 20 以内进位加法之前，已有相当一部分学生能熟练计算。2000 年 11 月，我们曾在学生正式学习这一内容之前的一个月，对杭州
2、市上城区一年级 470 名学生进行调查，得出的结论是 45.93%的学生能较熟练地进行计算，计算速度达到每分 8 题，平均每题的通过率是 77.53%。2009 年 11 月，我们再次对这一地区一年级新入学的 491 名学生进行调查，学前平均每题的通过率竟高达 91.62%。两次测试每题通过率如下表：题目 2001 年通过率 2009 年 通过率 题目 2001 年通过率 2009 年通过率 题目 2001 年通过率 2009 年通过率 9+2 98.02%96.22%8+7 92.21%86.94%6+8 71.90 90.38%9+3 96.23%92.78%8+8 81.03%93.13
3、%6+9 65.53 92.44%9+4 97.44%96.22%8+9 58.51%89.00%5+6 96.08 95.19%9+5 91.06%91.41%7+4 68.72%93.81%5+7 82.34 89.69%9+6 84.89%90.38%7+5 71.70%94.50%5+8 68.51 90.38%9+7 64.68%87.63%7+6 69.79 87.97%5+9 78.72 94.85%9+8 65.74%87.63%7+7 74.04%89.69%4+7 70.85 90.38%9+9 84.04%89.00%7+8 70.21%89.00%4+8 82.55 9
4、2.10%8+3 75.32%93.13%7+9 44.68%89.00%4+9 50.85 90.72%8+4 94.74%91.07%6+5 74.89%92.44%3+8 63.40 91.75%8+5 73.83%95.88%6+6 92.34%91.97%3+9 95.28 93.81%8+6 87.70%87.63%6+7 80.31%91.75%2+9 82.77 96.56%需要说明的是，测试题目就是表中所列的 36 式，但并非按上述顺序，而是打乱顺序随机排列的。两次调查的结果都表明，仅就获得计算结果而言，学生在正式学习 20 以内进位加法之前，已经具备十分扎实的基础，与课程标
5、准（实验稿）提出的每分 810 题的要求已十分接近。基于这样的事实，教学 20 以内进位加法，学习起点如何定位？教学的重心如何转向？我们的回答是，教学的重心不再是计算技能的习得，而应该在理解算理和掌握算法的基础上，把重心放在计算活动中的数学方法训练上，通过合适的训练形式挑战学生的思计算教学中的创新思维培养资料 2 维，培养学生的创新思维能力。二、问题情境的设计与算理理解 理解算理是掌握算法的逻辑起点。在学习 20 以内的进位加法之前，学生已经学习了 10以内的加法与减法，包含相应的十几加几或减几，这些计算都不涉及进位与退位，侧重于对运算意义的理解并把计算关联到广泛而不同的情境。从 20 以内的
6、进位加法开始，教学转向形式化的计算并侧重于对算理理解和算法掌握。教学时以“凑 10 法”为基础，通过问题情境，帮助学生理解算理，探索多种算法。如，先出示情境图。师：观察这幅图，你知道了什么？生：左边有 8 个鸡蛋，右边有 5 个鸡蛋。师：一共有多少个鸡蛋，可以怎么算？生：8+513.师：你是怎么算出答案 13 的？生：8 与 10 相差 2，5 里面有 2，把 2 分到 8 这里去就是 10 了，还多 3 个，就是 13。师：刚才这位同学说的是什么意思？生：只要把左边摆成 10 个，右边就剩下 3 个，一看就知道是 13。学生解释，教师根据师生对话，先动态演示移动鸡蛋的过程，再完成下面的板书（
7、如下面左图）。师：还有没有别的方法也能算 8 5？讨论中，学生以汇报了以下三种方法：生 1：把 8 分成 3 和 5，5 加 5 等于 10，再加上 3 就是 13.（如上面右图）生 2：把 8 当成 10，用 105，因为 8 不到 10，多算了 2，要减去，这样它的答案也是13。学生解决问题策略多样化是创新思维的表现。但是这些策略不是无源之水，与教材的编排设计与学生经历的训练有关，限于篇幅，这里主要讨论“凑 10 法”。首先，“拿鸡蛋”的活动情境隐含了“凑 10”的思考过程，情境支持了算理的理解。教学中，教师的主要任务就是引导学生解释和说明，让学生通过多样的方法演绎“凑 10”的思考过程。
8、学生经历了问题情境、语言叙述和算式表征之间相互联系和转译的过程，并在这个过程中理解算理，掌握算法。其次，学生为什么会对“凑 10”比较敏感？这个问题可以联系到教材设计认数活动中。我们在设计“认识 10”时，强调把“10”作为一个新的计数单位，重视以“十”为单位计数。如 计算教学中的创新思维培养资料 3 延续到认识十几的数时，十分重视“圈 10”的训练。如 20 以内进位加法的教学，以“凑 10”为基础，让学生在相似情境中迁移计算方法，这样就可以改变以往 8 加几、7 加几逐类教学的方式，通过集中一两节课理解算理，探索多样算法，然后在后继的巩固练习中形成熟练的技能，提高教学的效率，把更多精力投入
9、到更有价值的学习活动中去。三、数学思想渗透与数学方法的训练 20 以内进位加法，是进一步学习数运算的重要基础。教学时，不能止步于形成熟练的计算技能，而应当通过丰富多样的形式，加强计算活动中的思考性训练，渗透数学思想，训练数学方法，培养创新思维。1.形数转换。通过坐标图中的形与数、形与式的转换，建立数、式、形的联系，渗透形数结合的思想。2.信息推理。根据情境信息，在理解基数与序数关系的基础上，对信息进行加工处理，解决问题。3.联系比较。根据式与式之间的关系，灵活选择计算的方法，并为后继学习乘加、乘减计算教学中的创新思维培养资料 4 作准备。4.代数思维。从同数连加求和到同图连加已知和求图形所示的
10、数，培养可逆思考能力，渗透初步代数思维。5.构造性方法。如，等距搭配。观察数列的规律，构建和相等的式子。先从 4,5,6,7,8 这五个数中，找出两个数相加后和相等的三对数。4+7+再把这五个数填在每个图的小方格里，使横、竖三个数的和相等。和是 和是 和是 又如，选数填空。先构建出基本的等式，再通过数的分解获得多种解法。4 6 8 计算教学中的创新思维培养资料 5 此题共有 52 个解，按和值分类，解的个数呈正态分布。在限定的时间内，学生能否得到解答，能得到几个解答，可以反映学生的基本运算能力和解题策略水平。我们对两个地区567 名学生进行调查发现，通过和值相等的口算系列训练之后，学生解题此题
11、的通过率比自然状态（没有经过系统训练）有很大提高，能独立得到 1 个及 1 个以上解的从 78.5%提高到95.3%，其中能得到 5 个以上解的从 12.7%提高到 63.3%。再如，方格连数。根据不同的年级，可以把和数改成 30，40 或其它，答案多达数十种。这种类型的练习，结构比较简单，但是训练的容量很大。以上练习，可以安排在学习了 20 以内进位加法之后进行，练习目的除了巩固基本的计算方法，形成熟练的计算技能之外，更侧重于数学思想的渗透和数学方法的训练。由于计算的算式一般不是直接给出，而是由学生自己构造出来，计算时需要思考数与数的关系或数的空间位置，思考性和挑战性明显增强。应当强调，这些
12、富有挑战性的数学问题联系的知识基础并不复杂，学生创新思维主要体现在观察、比较、探索和发现的过程之中。数学教育应当注重开发既联系重要基础，又能拓展思维空间的学习材料，把加强基础知识与培养创新思维有机地结合起来。同时，那种认为学生年龄太小，学习内容太简单，不能进行创新思维能力培养的想法也是错误的。表内乘、除法 乘、除法是学生学习了加、减法之后再学习的新运算。学生学习乘、除法需要更多的数学理解，要以新的思维方式进行思考，一般认为，学生学习乘、除法是计算概念的一次扩展，是认知上的一次飞跃。在学生学习乘、除法之前，应当进行铺垫性训练，以降低学生在学习新知识第一时间所产生的难度，提高新知的掌握水平。同时，
13、乘、除法的学习拓展了学生数学视野和应用数学的空间，教学应当重视培养学生的数学思维，特别是推理能力。一、乘、除法学习的铺垫性训练 乘法表示两个集合之间“一与多”相对应的恒定关系。乘法涉及两个数，分别是每个集合中物体的个数和集合的个数，即通常教学中所说的相同加数和相同加数的个数。乘法是表示同数连加的一种方法，求几个相同加数的和可以用乘法计算，这说明乘法与加法密切联系。但是，与加法相比较，由于乘法中每个数所起的作用不同，理解乘法中三个数是如何联系的，对学生的抽象思维能力要求更高。因此，在正式学习乘法之前，有必要安排铺垫性的训练。1.同数相加。乘法的本质是一类特殊的加法，这里所指的特殊就是加数相同。如
14、 1 2 8 9 3 2 8 7 8 9 3 2 3 4 5 6 5 4 11 7 13 计算教学中的创新思维培养资料 6 结合图示直观，初步感知每份量、份数与总数之间的关系。把同数相加的问题情境转译成“几个几相加等于几”，为学习乘法这一新知识的含义打下基础。2.一与多对应。一与多对应是指一个与多个相对应，学生遇到的比较简单的乘法形式，如 1 辆汽车有 4 个轮子，就是这种对应关系。日常生活中这种例子比比皆是。如 在正式学习乘法之前，让学生通过数集合中物体的个数与集合的个数，体会这些数的含义以及它们之间的关系，为学习乘法积累活动经验。3.递推计算。这里所指的“递推”不是指演绎推理中递推关系，而
15、是在同数相加的计算中，基于已有的计算结果，结合相同加数个数的变化推算出新的得数。如 这种训练结合 20 以内的进位加法进行，使学生在熟练加法计算的同时，获得对相同加数，相同加数个数等概念的初步理解。随着学生认数范围的扩展，这类铺垫可以结合不同的基础进行。如学习两位数加一位数之后安排：联系进位加法的学习，安排：除法学习的早期铺垫，主要包括两个方面：一是理解除法的上位概念平均分，二是积累把物体平分的活动经验，这两个方面是相互联系的，在实际教学中也可以结合在一起进行。如 计算教学中的创新思维培养资料 7 教学时，可以呈现几种不同的分法，如 通过正反两种例子的比较，帮助学生建立平均分的概念。进一步，可
16、引导学生通过画图或操作学具，把物体拆分成 相等的集合。如 平分对儿童来说是很生动的数学活动，在平分活动中，需要考虑三个因素，一是全体的大小，二是分为几部分和每部分的大小，三是每部分必须相等。这些思考构成了理解平均分的基础。平均分通常有两种含义：一是多个物体的平均分配，二是一个物体的平均分。前者是认识除法的基础，后进是认识分数的起点。一般在学习除法之前只讲前者，对于基础较好的班级，也可以适当考虑后者。如让学生判断下图中哪些是把长方形平均分的？乘法是加法的重复，除法也可以看作减法的重复，乘法和除法的实际计算结果可以由连加或连减导出，这些运算之间的联系，可以通过问题情境的驱动与形数结合的方式，让学生
17、感受和体会，如 需要说明的是，以上这些铺垫训练都是结合不同学习阶段的重要基础进行的，这样既可以巩固当前学习基础，又不会增加学习负担。换句话说，我们所强调的早期铺垫，侧重于从知识内在联系的角度设计，而不是为了新知学习提前重新构建一个基础。二、表内乘除法练习中的思考性训练 采用横排的方式学习乘法口诀，以“同数相乘”作为“几”的口诀起始句，在学习 24 的乘法口诀时，结合“乘加”、“乘减”的学习，引导学生推导乘法口诀，理解乘法口诀的相互联系，如 计算教学中的创新思维培养资料 8 8 3 +8=8 三八 24 八 32 32 学习 7，8，9 的口诀时，只剩下 6 句。借助正方形格子图的直观引导学生编
18、写同数相乘的口诀，先利用正方形内 8 行 8 列的格子引出 8864,八八 64。再将其内缩一行一列编“七七”的口诀，外扩一行一列编“九九”的口诀。进而以同数相乘的口诀为基础，利用乘加、乘减计算推导出另外三句口诀。77+756 88+872 78+763 77+778 88+889 78+779 七八 56 八九 72 七九 63 88-856 99-972 98-963 88-887 99-998 98-997 七八 56 八九 72 七九 63 在 59 的乘法口诀教学时，用口诀求积与用口诀求商相结合，相互促进，进一步理解乘除法的关系。乘、除法的问题情境丰富多变，如乘法主要有四种情境，分别
19、是等组、倍数比较、矩形队列、搭配（笛卡尔积），这些情境为设计多样的练习提供了资源。教学中，教师应当提供不同的问题情境，丰富学生对乘、除法的理解，使学生有机会在学习乘、除法的过程中，培养灵活的思维能力，学习重要的数学思考。乘、除法联系着许多重要的数学概念和数学思想，如倍数、比例、函数思想等等。这些知识可以整合在表格式的应用问题中加以渗透，如学习 4 的乘法口诀时，可以安排：这里创设了两个量“共变”的情境，学生需要考虑变量之间是如何联系的，初步体会函数关系，并可为理解比例关系打下基础。乘、除法学习联系广泛，教学时应当有目的地开展数学活动，通过设计有针对性的练习，培养不同的数学能力。如同样是形数结合
20、，可以安排：计算教学中的创新思维培养资料 9 两个问题情境都需要学生自己构建算式，但侧重的基础和培养的能力不一样。一个是乘法中较为基础的等组情境，但因为需要空间观念而增加了思考性，另一个乘法中的倍数比较，把计算建立在图形合与分的基础上。在乘、除法的学习中，对倍数概念进行正向和逆向的应用，可以培养学生的推理能力。推理是人们获得新知的重要手段。任何推理都由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；另一部分是推出新的判断，即结论。根据前提与结论不同的联系方式，可以设计出不同形式和不同层次的乘法推理。如 1.一对多的推理。每份量（1 条裙子）联系着已知条件（前提）与所求问题（结论），根据条件与
21、问题之间的直接联系构建乘法算式。在学生发展的一定时候，可逐步抽象化，以图形推算的形式呈现，并用逻辑联结词联系条件与问题。如，2.三段推理。如果4 9 那么个。由两个条件作为前提，根据两个条件之间的联系，构建新的条件（结论）。3.对应推理 根据每份对应量的差不变，感知“每份量的差份数总数差”的数量关系。掌握这种数量关系，可以解决较复杂的问题，如下面的差对应问题：4.关系推理。已知24 如果-5，那么+如果-2，那么+计算教学中的创新思维培养资料 10 根据数与数、式与式之间的关系，推算出图形表示的数。有些数学问题之所以复杂，是因为解决问题所需要的条件不是直接知道的，或者说被隐蔽起来了。解题的关键
22、是发现条件之间的关联并推导新条件，这往往需要推理能力的支持。即使是较简单的数学问题，这种能力也可能是解题的关键。如归一问题，解题时需要根据已知条件构建出一个新的条件，即每个正方形表示 2137。总之，乘、除法的学习，不只是掌握运算技能，还要通过丰富多变的练习，培养学生的思维能力，特别是要重视运用抽象的推理解决问题。带余除法 整数 a除以整数 b，如果除尽，则余数为 0,称为整除。如果除不尽，余数不为 0,就称为带余除法。带余除法不仅是多位数除法的重要基础，而且联系着“周期性”等数学问题，甚至许多数论中的一些问题也与带余除法有关。带余除法的学习，深化了学生对除法意义的理解，极大地丰富了除法的应用
23、背景。学生在运用带余除法解决较复杂的问题当中，判断、分析和推理等诸多数学能力得到发展。一、带余除法的意义理解与新课教学 带余除法早期的学习经验，来源于生活中对物体不能正好分成等组。如 7 个苹果不能正好分给两个小朋友，使每人一样多。在学习带余除法之前，这种经验被用于学习平均分的概念。如让学生通过具体的操作活动，认识平分一些物体，会出现两种情况，一是正好分成等组的几份，二是按等组分成几份之后还有剩余，这与学生的生活经验是一致的。之后，学生在学习乘加时，通过圈点子的活动构建乘加的算式，进一步丰富带余除法学习之前的经验积累。带余除法不论是算理，还是求商和书写格式上都比表内除法复杂。带余除法教学的重点
24、是意义理解，学习的难点是求商，这些都联系着“余数要比除数小”的规律。教学时，要通过具体的操作活动，让学生理解带余除法的意义，并通过不同层级的抽象，帮助学生建立“余数要比除数小”的观念。新课教学可以分为两个阶段：第一阶段，横式计算，理解算式的意义。带余除法的横式包括被除数、除数、商和余数，与具体的操作活动相联系，每个数在操作活动中都有明确的意义。如被除数是物体的总数，除数是每份数，商是份数，余数是分了之后剩余的数量。让学生通过具体的操作活动，不仅可以理解算式表示的意义，认识余数的真实存在，而且通过把操作活动与算式联系起来思考，增进对带余除法意义的理解。如，计算教学中的创新思维培养资料 11 带余
25、除法的学习，是建立在理解除法意义的基础上的。根据已有的知识基础，上面的问题情境可以直译成 206 的算式，至于结果是多少，通过具体的操作活动来解决。对余下 2 个球的讨论包含两个方面：一是它表示的意义是什么？二是如何在算式中表示出来？前者侧重于这 2 个球能不能单独装一盒，后者侧重于这个“2”在算式中是否可以不写出来。需要强调的是，对这些问题的讨论并不是多余的，通过对这些问题的讨论，打破了学生原有的“认知平衡”是建立“余数要比除数小”的观念起点。在构建了带余除法的算式之后，再回到具体的情境中，寻找算式的意义。也就说，操作活动的情境在这里起到了双重作用，一是引出带余除法的算式，二是帮助理解算式的
26、意义。不过，意义的理解需要通过不断丰富的活动逐步清晰和完善，如大家来圈点子，要求每份一样多，通过圈点子活动，构建带余除法算式。23 和 19 都是素数，不能写成两个因数相乘的积。因此，无论把几个圈作一份，都会出现剩余。以 23 为例，每份数与余数如下表：每份数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 余 数 1 2 3 3 5 2 7 5 3 在各种圈法的比较中，获得余数虽然变化无常，但都比除数小的感性认识。进一步，通过把乘加式改写成带余除式，加深对“余数必须小于除数”的理解。如 这个环节教学的核心，是沟通新旧知识的联系，在实物操作与算式表达之间建立对应。具体地说，如果把圈点子、乘加算式、带余除
27、式看作三角形的 3 个顶点，学生在这些顶点之间来回穿梭和转译的过程中，完成从实物操作到算式表示的水平数学化，从乘加到带余除式的垂直数学化。脱离具体的问题情境，乘加式子中的加数与两个乘数比较，有三种情况：一是加数分别小于两个乘数，可以改写成两个带余除式；二是加数小于其中一个乘数，只能改写成一个带余除式；三是加数分别大于两个乘数，不能改写成带余除式。进一步，可以通过改写算式的活动，把学生的思维再次聚焦于除数与余数的比较上。如，你能把乘加式子改写成带余除法计算教学中的创新思维培养资料 12 式子吗？4 6+226 74+331 5 3+419 34+517 根据上面的式子想像圈点子的图，每个算式都有
28、两种图的表示，如 5 3+419，可以理解为每份 5 个，圈了 3 份还余 4 个，这种情况可以用带余除法表示，但如果是每份 3 个，圈成 5 份还余 4 个，由于余下个数比每份个数还要多，还可以再分，这种情况就不能用带余除法表示。从算式返回到实物，为算式寻找意义，获得对余数要比除数小的理性理解。第二阶段，竖式计算，掌握试商方法。计算除法的关键是试商。表内除法的商可直接从九九表中找到口诀，而带余除法求商时，不能直接从九九表中找到，求商的过程比表内除法复杂得多，试商时需要把除数与商相乘，再与被除数作比较，并思考余数与余数的大小关系。回到带余除法的原型，本质上就是把物体平分，最多可以分成几份，这个
29、思考过程也可以用不等式表示，如 4 39,里最大能填几？在实际的教学中，这样的思考常常作为带余除法试商的阶梯。但是，应当注意这种训练只是试商中的技巧，或者说突破了试商中的关键思考，更为重要的是需要理解试商的意义究竟是什么。因此，回到具体情境中理解仍然是必要的。如 394 9（堆）3（个）与横式相比，竖式计算的过程中会产生“冗余的数”，如上式中的“36”。这个数在操作活动中不象其它数那样明确意义，一般留存在计算的思考过程中。但事实上对它的理解仍然是重要的。在具体情境中，它是被用来分到每份中的总数，在试商过程中，它是乘法口诀的积。需要强调的是，无论是带余除法的意义还是试商，教学都不能止于形式化的模
30、仿，而应当深入到意义的理解。而意义的获得，有赖于在操作活动、横式表示、竖式求商之间建立联系与对应。不仅如此，学生对于“余数必须比除数小”的理解也应当经历从感性到理性的抽象过程。二、带余除法掌握水平的能力评定 如何评定学生的数学能力？如何结合具体知识点评价学生的能力发展水平？特别是如何把学生知识掌握与能力发展水平评价应用于改进教学？这些问题都是数学教育评价需要认真研究的问题。作为对这些问题的思考与实践，2010年 1 月，我们对使用浙教版数学的 2409名学生进行了“带余除法”掌握水平的调查。调查分知识掌握程度检测和数学能力水平检测两项，这里重点介绍能力测试与评价。联系不同的知识基础和数学能力，
31、我们设计了如下测试题。1.下列各题中，被除数最大是几？最小是几？8 6 9 7 8 6 9 7 解答此题的能力核心是对“余数要比除数小”规律的灵活运用。2.每组被除数相同，而且是两位数。被除数和商分别填几？3 2 6 3 计算教学中的创新思维培养资料 13 5 2 4 3 每组题的两个式子同余，对学生的挑战是把两个式子联系起来考虑。3.在里填数。这是“商除数+余数被除数”关系以及估算等知识的综合应用。4.70以内的数除以 7,余数是 5。你能写出哪些数？解题的关键有两个，一是把题目转译成7 5,二是有序思考。5.一个两位数除以 8,商和余数相同，这样的两位数你能写出哪一些？有什么特点？此题区别
32、于上题主要的数学能力是对规律的发现与概括。6.求各图形所表示的数（相同的图形表示相同的数）。263 502 344 -2 解题的关键是思考数与数、式与式之间的联系，这是数感的核心。7.一串图形，按 2 个，3 个，1 个这样排下去：第 35 个图形是（），第 50 个图形是（）。这是比较常见的周期问题，解题的关键是确定一个周期。浙教版数学把带余除法安排在二年级上册学习，共 3 课时，分别是横式计算，练习，竖式计算。测试在学生学完带余除法之后一周内进行。各题通过率和标准差如下表：题号 1 2 3 4 5 6 7 通过率（%）76.35 74.80 95.72 89.87 74.47 89.74
33、92.15 标准差 0.42 0.43 0.20 0.30 0.43 0.30 0.25 编制这组测试题围绕的核心知识是带余除法。解答上述各题需要的数学能力有别于一般的基础训练，除了运算求解之外，还有直觉猜想、归纳推理等多种数学能力。从解题的通过率来看，学生解答“带余除法”的能力水平是比较高的，甚至超出了我们事先的预期。这对于我们的重要启示是，学生的数学能力发展潜力是很大的，关键在于结合数学知识的教学，设计出合适的学习内容，让学生的思维受到恰当的挑战。在这项测试中，我们也积累了评价学生数学能力的一些经验，特别是体会到根据核心知识评价学生的数学知识掌握水平与能力发展水平，是一个值得投入精力不断探
34、索的方向。不过，如何根据对学生的数学能力进行科学细分和准确刻画，仍然是一个研究的难题，如果这个难题得以破解，学生能力评价对于改进教学的重要作用会进一步凸现出来。多位数认识和加减运算 这里所指的多位数主要是三、四位数。一般来讲，对数的认识包括意义、读写、组成、排序、分类等几个方面。在不同的学习阶段，根据数本身的特点和学生已有的经验基础，教学应当在以上几个方面有不同侧重。三、四位数的认识侧重于数的意义、读写、组成等方面，计算教学中的创新思维培养资料 14 教学的核心任务是掌握数的构造结构并运用这个结构生成新的数，主动认识“成千上万”的数。同样的，数的运算在不同的学习阶段也有不同侧重。在之前的运算教
35、学中，主要是建立运算定义，掌握基本算理，认识运算类型，学习运算法则，而三、四位数的运算，应当侧重于对类型的沟通和对法则的完善。在三、四位数的认识与运算中，对数的多元理解和表征，算法的多样化以及运用数概念和运算灵活地解决数学问题等，都联系着创新思维。一、三、四位数的认识与简单的计算 在认识 20 以内的数时，结合现实情境和数数是学生认数的重要方法，比如，认识 5 时，可以伸出 5 个手指数一数。相比较而言，三、四位数数目比较大，离学生的现实生活比较远，学生需要学习“结构生成”的方法，以便能把握和运用更加庞大的数。1.认数与简单计算相结合 数的运算是建立在数概念发展的基础上的，有了数概念的扩展才有
36、相应数运算的存在。或者说，数运算算理形成最基本的出发点是数概念的基本单位及其组成，在此基础上才有可能抽象和建立相应的法则，这就是认数与计算相结合的意义所在。通常对认数与计算相结合的理解，主要体现为数意义的理解是学习计算的基础，这里所指的认数与简单的计算相结合，主要是计算支持意义理解。具体地说，有两种含义：一是通过整千数、整百数、整十数和一位数相加或乘法的运算构造三、四位数；二是紧密联系数的意义学习三、四位数的简单计算，主要是不进位加法和不退位减法。这里重点介绍第一种含义。（1）认识三位数。在以 100 为单位的计数中，把整百数的认识与整百数的加减以及 100乘几相结合起来。如，实际上是把数数的
37、活动与加法或乘法计算联系起来，扩展了学生认数的通道，可以丰富学生对数的认识与理解。又如，400+1005 +本质上，运算只是发生在百位上，对于学生理解整百数的意义与构成可以起到促进作用。相应地，可以用类似的方法认识其它的三位数，掌握三位数的组成和数位。如 1003300 10220 144（2）认识四位数。首先是认识 1000。在认识三位数的基础上，可以用不同的计算单位数数，逐步逼近 1000，不同的数数方法都可以用算式表征出来。计算教学中的创新思维培养资料 15 其次是认识了不同的计算单位之后，通过对这些单位的整理，引出个位到万位的数位顺序表，并以此为“框架”，认识更多、更大范围的数。如，5
38、000+400+60+75467 对照数位顺序表认识任意四位数，把拨珠记数与写数、读数相结合，加减计算与读数相结合。如 在一定阶段，可以把数与物质实体相分离，摆脱具象（数位表、算盘）的支撑，在抽象的层面上理解数的意义和相应数位上的运算。这种练习，可以直接与数的组成相联系，并在相互转译过程中获得对数的多角度理解。理解数的意义也是形成运算技能的基础。整数加减法的计算法则是相同数位上的数相加减，其本质是相同计数单位个数的加减运算。从以意义理解为基础到依据法则进行计算是个循序渐进的过程。在概括计算法则之前，应当不断地把数的运算与其意义相联系。三、四位数的简单计算，由于这些计算不涉及进位或退位，可以“孤
39、立”地计算每个数位上的数，把每个数位上的运算归结到计数单位个数的相加减上来。如，2.从学习一个过渡到学习一类 在整数运算中，虽然数的概念不断扩展，但运算方法和相应的法则并没有变化。教学应当让学生运用运算之间的互逆关系，理解不同数域范围的计算有着相同本质，这不仅有利提高教学效率，也有利于学生理解知识的内在联系和掌握“类方法”，并发展学生的概括、类比、推理和迁移等多方面的数学能力，而这些数学能力的发展，正是培养创新思维的基础。（1）从表内乘除法扩展到整十数、整百数乘一位数与相应的除法。如，观察算式，找规律：用发现的规律在 里填数。5315 503150 50031500 1535 150350 1
40、5003500 7963 6379 6397 709 6307 6309 7009 63007 63009 计算教学中的创新思维培养资料 16 在一定的抽象和方法层面，以上每组题都可以看作同一类。运用已有知识并结合类比的方法探索新知识，使学生的思维从具象逐步向抽象提升，并聚集到“类”上来。（2）从两位数加两位数进位加法与相应减法扩展到几百几十数加几百几十数，几千几百数和几千几百数的进位加法与相应的减法。如，用发现的规律在 里填数。这样安排，把数本身的结构和运算方法提炼为学生学习的结构和方法，学生在经历“观察发现概括方法迁移运用”的过程中，完成对知识的主动建构，并获得成功的学习体验。二、三、四位
41、数的进位加法和退位减法 进位加法和退位减法有相对应的类型和相似的学习层次。教学要区分不同类型并设计好层次，运用知识的联系在组合中引进新知，通过比较突破难点。1.进位加法。教学进位加法，可以从组合中引进，教学分三个层次：第一，把两个四位数分解为一个几千几百数和一个两位数，再用几千几百数的进位加法和 100以内进位加法的计算，引出隔位进位加法。45674500+2815 +15 重点让学生理解哪几位上的数相加满十后往哪里进位。第二，从改变隔位进位加法中一个加数某一位上的数字，引出连续进位的加法。4 7 4 7 0 4 7 0 0 +3 6 +3 6 0 +3 6 0 0 8 3 8 3 0 8 3
42、 0 0 42-15 29+45 420-150 290+450 4200-1500 2900+4500 4 5 0 0 6 7 +2 8 0 0 +1 5 7 3 0 0 8 2 4 5 6 7 +2 8 1 5 7 3 8 2 4 5 6 7 +2 8 1 5 7 3 8 2 4 5 6 7 +2 8 4 5 7 4 1 2 十位上写几？为什么？百位上写几？为什么？计算教学中的创新思维培养资料 17 在相似性的计算中，把思维集中于连续进位与隔位进位的比较，突破学习的难点。第三，在一般连续进位加法和遇“9”连续进位加法的比较中，突破遇“9”连续进位加法的难点。第一层次在组合中引进，第二、三层
43、次在比较中突破。以上我们可以看到，每一个例题总是放在一定的关系和一定的联系中，并展示了教学的三个层次，使学生不仅掌握计算方法，并且在联系与比较中，形成主动学习的能力。三位数进位加法，难点是个位进位后十位遇 9,又向百位进位。可以设计专项练习，如 作为对后继学习的基础，还应当重点加强几百几十数加两位数的训练，其中一部分题目是两位数乘一位数的基础。如 480+56 是 678 的计算过程。此外，还应适当安排一些四位数加几百几十数的练习题，如安排 1463+560 之类的训练，为探索三位数乘一位数的算法作准备，即 2897 1463+5602023，计算时，先用 7乘百位、个位得部分积 1463,再
44、用 7乘十位得到部分积 560,然后把两个部分积相加。教学退位减法与进位加法一样，在组合中引进，在比较中突破。教学的三个层是：第一，通过几千几百数退位减法和两位数退位减法计算，引出隔位退位减法；第二，从改变隔位退位减法中被减数某一位数字，引出连续退位减法；第三，通过与一般连续退位减法的比较，突破某一位同数相减与被减数中间有 0 的连续退位减法的难点。三、多位数认识与运算的思考性训练 三、四位数的加减法，如果把笔算定义为循规蹈矩的正规算法，那么与“正规算法”相比，学生在估算、简便运算或用自己的方法计算的活动中，更有利于加深他们对数的理解，计算的灵活性更高，培养创新思维的价值更突出。如估算教学，要
45、求学生做到：探讨估算的策略。认识何时适用估算。对估算结果的合理性进行判断。掌握一些估算方法。显然，这些要求比按标准程序计算对学生的挑战更大。再以算法多样化为例，强调让学生发展自己的计算策略，可以深化对运算的理解，培养学生计算活动中的创新思维。如，（1）讨论 386+275的不同计算方法。9 5 6 7 +2 8 4 5 7 4 1 2 4 5 6 7 +2 8 3 5 72 十位上写几？为什么？百位上写几？为什么？400+275-14 400+261 661 380+270+11 650+11 661 计算教学中的创新思维培养资料 18 多位数的认识与运算，涉及意义、位值、法则等关键概念。联系
46、这些概念，可以从不同角度设计富有思考性的练习。1.结合数的大小比较 如下图所示，一个点子放在百位上表示 100,放在十位上表示 10,放在个位上表示 1。试用 5 个点表示三位数，并按从小到大的顺序排列起来。百位 十位 个位 这个练习着重于位值理解，先通过有序思考构建出不同的数，并以图示获得大小比较的直观理解。如，用“”表示大于（232223），找出字母所表示的数，并把它们从大到小排列起来。D 只有射出的箭头，最大。D643 C 只有射进的箭头，最小。C346 A 射出 2 个箭头，B 射出一个箭头。AB A634 B463 DABC 这个练习以数的大小比较为基础，能力核心是运用推理思考数与数
47、之间的关系。2.结合简单的计算 如，将 50,100,150,250,300,350 这六个数分别填入右图中，使每行两个数的和相等，同时使每列三个数的和相等。解题的关键是确定每行两个数的和为 400,每列三个数的 和为 600,得到一种答案之后，通过变换得到多解。又如，B 与 C 的和是多少？A 与 C 的差是多少？解题时需要通过联系两个条件，发现新的关系，并选择这些关系作为解题的条件。3.结合进位加法和退位减法 结合三、四位数的进位加法和退位减法，可以设计出不同难度的竖式数字谜题，这些题目结合了基本的运算技能和一些推理的技巧。较简单的，如，86-2561 3002+61 661 752+11
48、161 300+200+161 661 计算教学中的创新思维培养资料 19 较复杂的，如，很复杂的，如，按要求在方框里填数。（填 1 9 的数）（填 0 9 的数）这个练习解题过程比较复杂，并涉及重要数学规律的运用，可以设计系列的训练引导学生探索发现。两三位数乘一位数 计算教学的目标之一是培养学生的数感。关于数感的定义有很多，这些定义并没有统一起来。在众多定义中，我们比较认同把数感理解为对数之间的关联意识以及灵活地解决计算问题的能力。在小学数学教学中，计算不能只局限于掌握某种方法和求得最后结果，而是应当把计算学习与发展思维联系起来考虑，在计算活动中突出对数与数之间关系的思考，探索算法的多样化，
49、培养思维的灵活性。我们以两三位数乘一位数的计算为例，通过对计算方法的改造和教学体系的调整，进行探索和尝试。一、两位数乘一位数的类型与口算的可行性分析 两位数（不含整十数）乘一位数的题目共 648 题。这些题目可分为 6 种类型：编号 类型 题数 说明 1 十位积、个位积都不进位 34 不进位 2 十位积进位，个位积不进位 92 一次进位 3 十位积不进位，个位积进位 58 4 十位积、个位积都进位，乘积十位叠加不进位 336 二次进位 5 十位积不进位，个位积进位，乘积十位叠加进位 34 6 十位积、个位积都进位，乘积十位叠加进位 94 三次进位 我们认为，计算的难易程度取决于进位的次数，以上
50、 6 种类型，比较简单的是第 1-3 类，最难的是第 6 类。2008 年 10 月下旬至 11 月初，我们对杭州市 9 个县（市、区）36 年级的 33 所学校4471 名学生进行了两位数乘一位数的口算测试。其中上城区的 2048 名被试使用浙教版数 8 8 8 8 +9 8 0 9 8 6 8 +计算教学中的创新思维培养资料 20 学，其余 2423 名被试使用其它版本教材。表一：两位数乘一位数口算速度（每分钟做对题数）统计表 年级 三年级 四年级 五年级 六年级 浙教版 11.03 10.64 14.00 14.19 其它版 9.70 10.8 12.8（注：测试时使用其它版本教材的三年