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1、小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).1/7 模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上如图 2)，则:():()ABCADESSABACADAE EDCBA EDCBA 图 图 【例 1】如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC，16ADES平方厘米，求ABC的面积 EDCBA EDCBA【解析】连接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSAD AB，:
2、4:7(45):(75)ABEABCSSAE AC，所以:(24):(75)ADEABCSS，设8ADES份，则35ABCS份，16ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).2/7【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的面积等于 1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】连接BE 3ECAE 3ABCABESS
3、又5ABAD 515ADEABEABCSSS，1515ABCADESS 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBA ABCDE甲乙【解析】连接AD 3BE，6AE 3ABBE，3ABDBDESS 又4BDDC，2ABCABDSS，6ABCBDESS，5SS乙甲 【例 2】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2AB AD，:3:2AE EC，12ADES平方厘米，求ABC的面积 EDCBA EDCBA【解析】连接BE，:2:5(23):(53)ADEABESSAD AB :3:(32
4、)(3 5):(32)5ABEABCSSAE AC，所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS，设6ADES份，则25ABCS份，12ADES平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，2AFCF，三角形 AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).3/7 EFDCBA【解析】连接 FB三角形 AFB 面积是三角
5、形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的3 26（）倍因此，平行四边形的面积为8 648(平方厘米)【例 4】已知DEF的面积为7平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求ABC的面积 FEDCBA【解析】:():()(1 1):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC，:():()(1 3):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA:():()(2 1):(34)1:6ADF
6、ABCSSADAFABAC 设24ABCS份，则4BDES份，4ADFS份，9CEFS份，244497DEFS份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS平方厘米 【例 5】如图，三角形ABC的面积为 3 平方厘米，其中:2:5AB BE，:3:2BC CD，三角形BDE的面积是多少？ABECDDCEBA【解析】由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB 份，3BC 份，则5BE 份，325BD 份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD，设6ABCS份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE
7、的面积是12.5平方厘米 【例 6】(2007 年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为 6 厘米，13AEAC，13CFBC 三角形DEF的面积为 _ 平方厘米 FEDCBA【解析】由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC根据”共角定理”可得，小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).4/7:():()1 2:(3 3)2:9CEFABCSSCFCECBAC；而66218ABCS；所以4CEFS；同理得，:2:3CDEACDSS;，183212CDES，6CDFS 故412610DEFCEFDECDFCSSSS(平方厘米)【例 7】如图，已知三角形ABC面积为1，延长A
8、B至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积 FEDCBA ABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用 连接AE、CD 11ABCDBCSS，1ABCS，S1DBC 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18(法2)用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESAC BCSFC CE 又1ABCS，所以8FCES 同理可得6ADFS，3BDES 所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS 【例 8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积
9、是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比 HGABCDEF HGABCDEF【解析】连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF 又1ABCS，所以3FBES 同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS 所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).5/7 所以213618ABCDEFGHSS 【例 9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积 HGFEDCBA ABCDEFGH
10、【解析】连接BD由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF，即2CGFCDBSS 同理:1:2ABDAHESS，即2AHEABDSS 所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS四边形 连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS四边形 5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS四边形四边形四边形 所以66513.2ABCDS四边形平方米 【例 10】如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为 5，则四边形EFGH的面积是 ABCDEFGH ABCDEFGH【解析】连接A
11、C、BD 由于2BEAB，2BFBC，于是4BEFABCSS，同理4HDGADCSS 于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS 再由于3AEAB，3AHAD，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS 于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS 那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS 【例 11】如图，在ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使12CEBC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？ABCDEF【解析】在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，2241 11
12、ABCFCESAC BCSFC CE 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).6/7 又2ABCS，所以0.5FCES 同理可得2ADFS，3BDES 所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS 【例 12】如图，1ABCS，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求FGSS SGFEDCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况 最后求得FGSS的面积为4321115432210FG
13、SS 【例 13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？ABCDEFG ABCDEFG【解析】连接AF、EG 因为218164BCFCDESS，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS，8EFGS，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS，32ABFES，24ABFS，所以12ABGS平方厘米 【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积 HGFEDCBA【解析】
14、如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形 假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).7/7 由于4FAa，3FBa，所以AFB与三角形DEF的面积之比为43127749 同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC的面积占三角形DEF面积的1213134949，所以ABC的面积的面积为4913136496 【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是 BDCEA 【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于111 32363，所以五边形的面积是12103633