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1、-22、定积分 222 微积分根本定理与应用 一知识构造 1、定积分 定积分的定义：)(lim)(1inibanfnabdxxf注意整体思想 定积分的性质：babadxxfkdxxkf)()(k常数；bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121；bcbacadxxfdxxfdxxf)()()(其中)bca。分步累加 微积分根本定理牛顿莱布尼兹公式：babaaFbFxFdxxf)()(|)()(熟记11nxxnn1n，xxln1，xxcossin，xxsincos，aaaxxln，xxee 2 定积分的应用：求曲边梯形的面积：dxxgxfSba)()(两曲线所围面积；注意：假
2、设是单曲线)(xfy 与*轴所围面积，位于*轴下方的需在定积分式子前加 求变速直线运动的路程：badttvS)(；求变力做功：badssFW)(。二，典型例题【典型例题】例 11由抛物线xy2和直线*=1 所围成的图形的面积等于 A1 B34 C32 D31 2如图，阴影局部的面积是 A32 B329-C332 D335 3dxx|4|102=A321 B322 C323 D325 4dxx222cos=5按万有引力定律，两质点间的吸引力221rmmkF，k 为常数，21,mm为两质点的质量，r 为两点间距离，假设两质点起始距离为 a，质点 m1沿直线移动至离 m2的距离为 b 处，试求所作之
3、功a 例 2 如图，求由两条曲线2xy，24xy及直线y=-1 所围成图形的面积 例 3如图，抛物线C1：y=-*2与抛物线C2：y=*2-2a*(a0)交于O、A两点假设过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程 例 4A-1，2为抛物线C：y=2*2上的点直线l1过点A，且与抛物线C相切 直线l2：*=a(a-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D 1求直线l1的方程；2设ABD的面积为S1，求BD及S1的值；3设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1S2的值为与a无关的常数【课练习】1 50(24)xdx=A5 B。4 C。3 D。2 2
4、 211lnxdxx=A21ln 22 B。ln2 C。2ln 2 D。ln2 3 假设11(2)3ln2axdxx，且 a1，则 a 的值为 A6 B。4 C。3 D。2 4 自由落体运动的速率 v=gt，则落体运动从 t=0 到 t=t0所走的路程为 y*o 1 2 2-1-1 A B C D 2xy 24xy 例 2图 例 3 图 A-A203gt B20gt C202gt D206gt 5 曲线2xy 与直线2 xy所围成的图形阴影局部的面积等于 6 0dxF tt 。7(cos5sin2)daaxxxx=。8计算以下定积分的值 1312)4(dxxx；2dxxx20)sin(；3dx
5、x222cos。9 平地上有一条小沟，沟沿是两条长 100m 的平行线段，沟宽AB为 2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深 1.5m，沟中水深 1m 求水面宽；如下图形状的几何体称为柱体，柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？10设)(xfy 是二次函数，方程0)(xf有两个相等的实根，且22)(xxf 1求)(xf的表达式 2假设直线)10(ttx把)(xfy 的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值 22、定积分 222 微积分根本定理与应用 A 组 1 以下有定义的定积分为 A111dxx B。221cosdxx C。4
6、20(2)dxx D。20ln xdx 2 dxeexx10)(=Aee1 B2e Ce2 Dee1 3 曲线23,0,cosxxy与坐标轴围成的面积 -A4 B2 C25 D3 4 假设20(345)axxdx=a3-2a1，则 a=。5 94(1)dxxx=。6 求定积分：122320(9)xxdx。7 求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积 8 如图，抛物线24yx与直线y3*的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。1求使PAB的面积为最大时P点的坐标(,)a b；2证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线*a分为面积相等的两局部.22、定积分 222 微积分根本定理与应
7、用 B 组 1 230(2cos1)2xdx=A32 B。12 C。12 D。32 2 320|312|xdx=A21 B。22 C。23 D。24 3 以下命题：假设 f(*)是定义在 R 上的奇函数，则0()xf t dt为 R 上的偶函数；假设 f(*)是周期为 T0的周期函数，则0()()aa TTf x dxf x dx；0()()xft dtfx。其中正确命题的个数为 A0 B。1 C。2 D。3 4 由曲线22yx与直线yx 所围成的平面图形的面积为。5 弹簧每拉长 0.02 米要用 9.8N 的力，则把弹簧拉长 0.1 米所作的功为 6 求由曲线22yxx与*轴所围的封闭区域的
8、面积。xy024246812102424BPA-7 设*物体一天的温度T是时间t的函数，T(t)=at3+bt2+ct+d(a0)，其中温度的单位是C，时间的单位是小时，t=0 表示 1200，t取正值表示 1200 以后假设测得该物体在800 的温度为 8C，1200 的温度为 60C，1300 的温度为 58C，且该物体的温度在 800 和 1600 有一样的变化率 1写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；2该物体在 1000 到 1400 这段时间中包括 1000 和 1400，何时温度最高？并求出最高温度；3如果规定一个函数)(xf在)(,2121xxxx上函数值的平均为 21)(
9、112xxdxxfxx，求该物体在 800 到 1600 这段时间的平均温度 8 一物体按规律*bt3作直线运动，式中*为时间 t 通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由*0 运动到*a 时，阻力所作的功 8 物体的速度233)(btbtdtdxV媒质阻力422229)3(tkbbtkkvFzu，其中 k为比例常数，k0 当*=0 时，t=0；当*=a 时，311)(batt，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu。参考答案 222 微积分根本定理与应用【典型例题】例 11B
10、 2C 3C 4214。5)11(21bamkm。例 2由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的 2 倍 由12yxy得C1，-1 同理得D2，-1 所求图形的面积 S=)1(4)(422122102dxxdxxx y*o 1 2 2-1-1 A B C D 2xy 24xy 2-34)124(221213103xxx 例 3设过原点的直线方程为y=k*，解方程组axxykxy22，得*1=0，*2=k+2a 当k+2a0 时，akakdxxxakdxaxxkxS202022)2()2(6)2()3122(32032akxxakak 于是(k+2a)3=27a3，解得k=a 所以，直线l的方程为y=a*当k+2a-1 时，aaxxxdxxxS112322)2232()242(323)1(3222322232aaaa，当a0 当*=0 时，t=0；当*=a 时，311)(batt，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu。*F*0