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1、第六章 静电场习题6-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）（2）这种平衡与三角形的边长有无关系解：（1）如图任选一点电荷为研究对象，分析其受力有F合合 F1 F2 F3 0y轴方向有F合合 2F1cos F3 2q40a2q240a23qQ24a3023q3Q 03q3（2）这种平衡与三角形的边长无关。6-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为 2，如图所示。设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球
2、所带的电量。解：对其中任一小球受力分析如图所示，有T cos mg得Q q2T sin F 1e40(2lsin)2解得q 2lsin40mg tan6-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl与其最邻近的八个一价铯离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。（1）由对称性可知F1=0q1q2e291.9210N方向如图所示（2）F22240r30a96-4 长l cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 5.010C m的正电荷。试求：（1）在导线的延长线上与导线B端相距a1 5.0cm处P点的场
3、强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2 5.0cm处Q点的场强。解：（1）如图所示，在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为1dx40(a x)211ll2dxEPdEPll40l0(4a2l2)a a 402(a x)22291用l 15cm，5.010Cm，a 12.5cm代入得EP 6.74102NC1方向水平向右1dxdE（2）同理Q方向如图所示40 x2 d22dEP由于对称性可知ldEQxdEQy1dx40 x2 d22 0，即EQ只有y分量d2222x dEQydEQyld242l2l2dx(x d)22232l20l2 4d22以 5.0109Ccm1,l
4、 15cm,d2 5cm代入得EQ EQy14.96102NC1方向沿y轴正向*6-5 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。解：取平面S与半球面S构成闭合曲面，因其内部无电荷，根据高斯定理有eSEdS SEdS SEdS 0eSSEdS SEdS R2EcosR2E6-6 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度E=E1kxi+E2j（k，E1，E2为常数）的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。解：由题意知场强E的方向在Oxy平面内，
5、即OABCDEFG 0OAFE ESOAFEE1i+E2ja2(i)E1a222BCDG ESBCDG E1 kai+E2ja i (E1ka)a22OCDE ESOCDE E1 kxi+E2ja(-j)E2a22ABGF ESABGF E1 kxi+E2ja j E2a整个立方体表面e E1a2(E1ka)a2 E2a2 E2a2 ka3*6-7 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2，求电场分布。解：由对称性分析可知，电场成球对称分布。可应用高斯定理1SEdS q0过场点作与球壳同心的球形高斯面，有2SEdS 4
6、 r ErR1时，q 0，4 r2E=0,得得E 0；r3 R13r3 R13Q1Q1r3 R132,得得E eR1rR2时，q 33Q1，4 r E=33233rR2R1R2R104 0rR2R12R2rR3时，q Q1Q2，4 r E=06-8 均匀带电球壳内半径 6cm，外半径 10cm，电荷体密度为2105C m3。试求距球心 5cm，8cm 及 12cm 的各点的场强。112EdS q4R E，得q解：由高斯定理S当r 5cm时，q 0，E 0433(rr内)r 8cm时，q p342r3 r内413，方向沿半径向外 3.4810 NCE 240r433(r外r内）r 12cm 时，
7、q 3433r外 r内14NC，方向 沿半径向外3E 4.101040r26-9 在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O的矢量用a表示，如图所示。试证明球形空腔中任一点的a。电场强度为E 3000解：采用补偿法求解。空腔等效为电荷体密度为和-的两个带电体。腔内任一点的电场强度等于电荷体密度为的大球和电荷体密度为-的小球所产生的电场强度的矢量和。由高斯定理可知，均匀带电球内任一点的电场强度为qrrE 340R30空腔内任一点的电场强度rrOE EO EOOrOrOa30303030*6-10 半径为R1和R2（R1R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度
8、上分别带有电量 和-，试求：（1）r R1；（2）R1 r R2处各点的场强。解：由对称性分析可知电场成轴对称分布。可应用高斯定理1SEdS q0选取同轴闭合圆柱形高斯面，有SE dS sE dS=2rhE侧面rR1时，q 0,2rhE 0,E 0hq h,2rhE,E erR1rR2时，q 0,2rhE 0,E 06-11 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强。1E(12)n解：设向右为正方向。两面间，201E ()n1面外，12201(12)n2面外，E 20*6-12 如图所示，在A，B两点处放有电量分别为q，q的点电荷，AB间距离为 2R，现将另一
9、正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力做的功。1 qq 解：VO 040RR1 qq qqq0 A q U qV V0OC0OC403RR60R60R6-13 如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R。试求环中心O点处的场强和电势。解：（1）由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl Rd，则dq Rd产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向。Rd2E dEycossinsin4R240R2220R02VC（2）AB电荷在O点产生电势，以U 0Adx2RdxU1ln2B4xR4x400
10、0Uln2同理CD产生240RU 半圆环产生340R40ln220406-14 在一半径为R的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2，R3。设球A带有总电荷QA，球壳B带有总电荷QB。（1）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。解：（1）根据空腔导体的静电性质，球壳B内、外表面上所带的电荷量分别为QB内=-QA，QB外=QA+QB根据均匀带电球壳电势特点及电势叠加原理可得QAQAQ QBVAA40R140R240R3QAQAQAQBQAQ
11、BVB40r40r40R340R3Q QB 0,得QAQB=0（2）球壳B接地则VB A40R3 QA即球壳外表面电荷为零，内表面电荷-QA不变。断开后球壳带电QBQAQAQ QAR1R2QA A 0得QA球A接地则VA40R140R240R3R1R2 R2R3 R1R3根据空腔导体的静电性质，球壳B内、外表面上所带的电荷量分别为R1R2QA内=-QA -QBR1R2 R2R3 R1R3(R1R3 R2R3)QAR1R2QA外=QA QAQBQAR1R2 R2R3 R1R3R1R2 R2R3 R1R3外QB(R1R3 R2R3)QA断开后球壳电势VB40R340R3(R1R2 R2R3 R1R
12、3)*6-15 半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q。试求：（1）电介质内、外的场强；（2）电介质层内、外的电势；（3）金属球的电势。解：（1）由有电介质时的高斯定理DdS D4r2 q0UOU1U2U3s金属球内部D4r2 q0 0，得D 0,E 0Q金属球外部D4r2 q0 Q，得D e2r4rDQDQ电介质内部E 电介质外部eE e0r40rr2r040r2r（2）由电势定义得金属球内部R2R2QdrQQ 11 QV1E2dr E3dr dr=R1R2R14 r2R24r240rR1R240R20r0电介质内部QdrQQV2E2d
13、r E3dr dr rR2r4 r2R24r240r0r0QQdr 电介质外部V3E3dr rr4r24r00R2R211 QrR4R202 11 Q40rR1R240R2*6-16 两个同轴的圆柱面，长度都是l，半径分别为R1和R（，且lR2-R1。2R2R1）两柱面之间充满介电常数为的电介质。当两圆柱面分别带有等值异号电荷Q时，求（1）在半径为r（R1rR2）厚度为 dr的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度是多少（2）薄壳中的总电场能量是多少（3）电介质中的总电场能量是多少（4）由总电场能求圆柱形电容器的电容。解：由有电介质时的高斯定理DdS q0（3）金属球的电势V1Qs有DdS 2rLD
14、Q得D sQDQ，E (RA r RB)2rl0r20rrl2（1）取半径为r，厚度为 dr的同心圆柱薄壳。其体积及电场能量密度分别为11QdV=2rldr，weE22220rrl1QQ2dr（2）薄壳中的总电场能量为dW wedV=2rldr=220rrl40rrl2（3）电介质中的总电场能量为W wedV=V40rlRA=lnQ2RBRdrQ2lnBr40rlRA1 Q21（4）圆柱形电容器的电容C=2 W2Q2Q2RB40rlRA*6-17 一平行板空气电容器极板面积为S，间距为d，充电至带电Q断开电源。用外力缓缓地把两极板间距拉开到 2d。求（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所
15、做的功，并讨论此过程中功能转换关系。SS解：（1）极板间距为d和 2d时电容各为C10和C20d2dQ2Q2dQ2Q2d电容器储存的能量分别为W1和W22C120S2C20S20rlRBlnRAQ2d电容器中能量的增量为W W2W120S（2）此过程中外力克服两极板之间引力所做的功转化为电容器的能量，即Q2dA W 20S6-18 半径为的长直导线，外面套有内半径为的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气（已知空气的击穿电场强度Eb=106V/m）。略去边缘效应，求：（1）导线表面最大电荷面密度；（2）沿轴线单位长度的最大电场能量。解：（1）设导线表面电荷量为Q，则导线和圆筒间电场强度为Q20r20rLQ导线表面附近的电场强度E20R120R1L01062.66 10-5C m2导线表面最大电荷面密度max0Eb8.85 10-123.0（2）导线最大电荷线密度max2 R1max20R1EbR导线和圆筒间电场强度为Emmax1Eb20rrE11R2电场能量密度we0Em01Eb22r沿轴线单位长度的最大电场能量为2WwedV=VR2R1R2drR1R1220Eb2 rdr0R1Eb0R12Eb2ln2R1r2rR12 =5.76 10-4J m1