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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 7 7 解析几何第解析几何第 3232 练圆锥曲线中的练圆锥曲线中的探索性问题文探索性问题文题型分析高考展望 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值范围问题或探索性问题，试题难度较大体验高考体验高考1(2016课标全国乙)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N
2、，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解 (1)由已知得 M(0，t)，P，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，ON 的方程为 yx，代入y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x2，因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点2 / 162(
3、2016四川)已知椭圆 E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l：yx3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点A、B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得|PT|2|PA|PB|，并求 的值解 (1)由已知，得 ab，则椭圆 E 的方程为1.由方程组得 3x212x(182b2)0.方程的判别式为 24(b23)，由 0，得 b23，此时方程的解为 x2，所以椭圆 E 的方程为1.点 T 的坐标为(2,1)(2)由已知可设直线 l的方
4、程为 yxm(m0)，由方程组可得Error!所以 P 点坐标为，|PT|2m2.设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得 3x24mx(4m212)0.方程的判别式为 16(92m2)，由 0，解得b0)经过点(0，)，离心率为，直线 l经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由解 (1)依题意得 b，e，a2b2c2，a2，c1，椭圆 C 的方程为1.(2)直线 l 与 y 轴相交于点 M，故斜率存
5、在，又 F 坐标为(1,0)，设直线 l 方程为yk(x1)，求得 l 与 y 轴交于 M(0，k)，设 l 交椭圆 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理 ，x1x22x1x2 1x1x2x1x2.当直线 l 的倾斜角变化时， 的值为定值.点评 (1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，4 / 16既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，
6、这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点(2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值变式训练 1 已知抛物线 y22px(p0)，过点 M(5，2)的动直线l 交抛物线于 A，B 两点，当直线 l 的斜率为1 时，点 M 恰为 AB 的中点(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点 P，使得以弦 AB 为直径的圆恒过点P，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由解 (1)
7、当直线 l 的斜率为1 时，直线 l 的方程为 xy30，即 x3y，代入 y22px(p0)得 y22py6p0，p2，p2，y1y2 2所以抛物线的方程为 y24x.(2)设直线 l 的方程为 xm(y2)5，代入 y24x 得 y24my8m200，设点 A(，y1)，B(，y2)，则 y1y24m，y1y28m20，假设存在点 P(，y0)总是在以弦 AB 为直径的圆上，则()()5 / 16(y1y0)(y2y0)0，当 y1y0 或 y2y0 时，等式显然成立；当 y1y0 或 y2y0 时，则有(y1y0)(y2y0)16，即 4my0y8m2016，(4my02)(y02)0，
8、解得 y02，x01，所以存在点 P(1,2)满足题意题型二 定直线问题例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C(0，p)作直线与抛物线 x22py(p0)相交于 A，B 两点(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由解 方法一 (1)依题意，点 N 的坐标为(0，p)，可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 ykxp，与 x22py 联立得Error!消去 y 得 x22pkx2p20.由
9、根与系数的关系得 x1x22pk，x1x22p2.于是 SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|px1x224x1x26 / 16p2p2，当 k0 时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya，AC 的中点为 O，l 与以 AC 为直径的圆相交于点 P，Q，PQ 的中点为 H，则 OHPQ，O点的坐标为(，)|OP|AC|，|OH|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令 a0，得 a，此时|PQ|p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方
10、程为 y，即抛物线的通径所在的直线方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得|AB|x1x2|x1x224x1x24p2k28p22p，又由点到直线的距离公式得 d.从而 SABNd|AB|2p 2p1k22p2.7 / 16当 k0 时，(SABN)min2p2.(2)假设满足条件的直线 l 存在，其方程为 ya，则以 AC 为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，将直线方程 ya 代入得 x2x1x(ap)(ay1)0，则 x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有|PQ|x3x4|4ap2
11、y1apa2 .令 a0，得 a，此时|PQ|p 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 y，即抛物线的通径所在的直线点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定(2)定直线一般为特殊直线 xx0，yy0 等变式训练 2 椭圆 C 的方程为1(ab0)，F1、F2 分别是它的左、右焦点，已知椭圆 C 过点(0,1)，且离心率 e.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，直线 l 的方程为x4，P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别交直线l 于 D、E 两点，求的值；(3)过点 Q(1,0)任意作直线 m(与 x 轴不垂直)与椭圆 C
12、 交于 M、N 两8 / 16点，与 l 交于 R 点，x，y，求证：4x4y50.(1)解 由题意可得 b1，a3，椭圆 C 的方程为y21.(2)解 设 P(x0，y0)，则直线 PA、PB 的方程分别为y(x3)，y(x3)，将 x4 分别代入可求得 D，E 两点的坐标分别为D(4，)，E(4，)由(1)知，F1(2，0)，F2(2，0)，(42，)(42，)8，又点 P(x0，y0)在椭圆 C 上，y1，.(3)证明 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由x 得(x14，y1t)x(1x1，y1)，(x1)，代入椭圆方程得(4x)29t29(1x)2，同理由y 得(4
13、y)29t29(1y)2，消去 t，得 xy，4x4y50.题型三 存在性问题例 3 (1)已知直线 ya 交抛物线 yx2 于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为_答案 1，)解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2(ya)2a，9 / 16由得 y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得 a1.(2)如图，已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆 T：(x2)2y2r2 (r0)，设圆 T 与椭圆 C 交于点M，N.求椭圆 C 的方程；求的最小值，并求此时圆 T 的方程；设点 P 是椭圆 C 上异于 M，
14、N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点试问：是否存在使 SPOSSPOR 最大的点 P？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解 由题意知解之，得 a2，c，由 c2a2b2，得 b1，故椭圆 C 的方程为y21.点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设 y10，由于点 M 在椭圆 C 上，y1.由已知 T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2(1x2 1 4)2.由于2b0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P(1，)在椭圆 C 上，O
15、 为坐标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)过椭圆 C1：1 上异于其顶点的任一点 P，作圆 O：x2y2的两条切线，切点分别为 M，N(M，N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在13 / 16x 轴，y 轴上的截距分别为 m，n，证明：为定值(1)解 由题意得 c1，所以 a2b21，又因为点 P(1，)在椭圆 C 上，所以1，可解得 a24，b23，所以椭圆 C 的标准方程为1.(2)解 设直线 l 方程为 ykx2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
16、得(4k23)x216kx40，因为 12k230，所以 k2，又 x1x2，x1x2，因为AOB 为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以 x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所以 k2b0)的右焦点为 F(1,0)，短轴的一个端点B 到 F 的距离等于焦距(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，是否存在直线l，使得BFM 与BFN 的面积比值为 2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)由已知得 c1，a2c2，b2a2c23，所以椭圆 C 的方程为1.(2)2 等价于2，当直线 l 斜率不存在时，1，不符合题意，舍去；当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由消去 x 并整理得，16 / 16(34k2)y26ky9k20，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2，y1y2，由2 得 y12y2，由解得 k，因此存在直线 l：y(x1)使得BFM 与BFN 的面积比值为 2.