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1、 第 22 章:二次函数与反比例函数总复习 题型 1：二次函数的判定 例 1.下列函数中，哪些是二次函数 分析：一般地，形如2yaxbxc（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数。其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再看自变量是否为 2，最后看二次项系数是否为 0 这个关键条件 题型 2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.二次函数2yaxbxc中图象与系数的关系:（1）二次项系数a的正负决定开口方向，a的大小决定开
2、口的大小 a0 时，开口向上，a0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，图象交于 y 轴正半轴,当 bO，bO，则函数y=ax2+bx 的开口向上，对称轴为 x=b2a0，例 2（09 湖北黄石市）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0 2a+b0 4a2b+c0 a+c0，其中正确结论的个数为（）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 分析:从图像的开口方向和图像与 y 轴交点的纵坐标可以直接得到 a0.对于 b,要根据抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在 y 轴右侧,即b2a0,则ba0
3、;所以abc0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得,b2a1,所以 2a+b0.而 4a2b+c 是二次函数当自变量取值为2 时的函数值,观察图像可发现点(2,4a2b+c)在 x 轴下方,所以 4a2b+c0,所以 a+c0.故选答案 B.【点拨】由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定 的符号，若x轴标出了 1 和1，则结合函数值可判定ba 2、cba、cba的符号。例 3.二次函数 yax2bxc 与一次函数 yaxc 在同一坐标系中的图象大致是（）A B C D【解析】本题
4、考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与 y 轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于 A、B,直线 yaxc 与二次函数 yax2bxc 不经过同一点(0,c),所以不正确.对于 C、D,直线都经过第一、二、四象限,所以 a0,所以抛物线开口向下.答案为 D.例 4.（2011 四川凉山州，12，4 分）二次函数2yaxbxc的图像如图所示，反比列函数ayx与正比列函数ybx在同一坐标系内的大致图像是（B ）例 5.（2011 安徽芜湖，10,4 分）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图
5、象是（D ）.例 6.（09 安徽省芜湖）如图所示是二次函数2yaxbxc图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为1x，给出四个结论：例 4 O x y O y A O y x B O y D O y x C O y x 1x (3 0)A，例 6 24bac；0bc；20ab；0abc，其中正确结论是（B.）】A B C D【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口向下能够得到 a0;根据对称轴b2a=1 能够推出 b+2a=0,在根据 a0,所以 bc0;当 x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以 a+
6、b+c0.例 7(2008 安徽)如图为二次函数的图象，在下列说法中：；方程的根为，；当时，随着的增大而增大 正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）题型 3:利用二次函数、反比例函数的增减性比较函数值的大小 例 1 若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与 x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线 x=1，此时121,2xx 时，对应的 y1 与 y2的大小关系是（C）Ay1 y2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法 解法 1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值 y 随 x 的变化规律确定：a0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；ay2y3 B y2
7、y1y3 C y2y3y1 D y3y1y2 二次函数的图象与性质附图如下：二次函数 y=ax2+bx+c 图象的性质。函数的图象 图象特点【函数性质 当aO时向上无限伸展；当aO时开口向上；当aO时，当x=ab2时，y有最小值 为abac442；aO时，对称轴左侧图象从左到右下降，对称轴右侧图象从左到右上升；当aO时，当xab2时，y随x的增大而增大；aO时，当xab2时，y随x的增大而减小 二次函数2()ya xhk的图像和性质 a0(a0 图 象 开 口 向上 向下 对 称 轴 x=h x=h 顶点坐标(h,k)，(h,k)最 值 当 x h 时，y 有最 小值 当 x h 时，y 有最
8、 大 值 增减性 在对称轴左侧 即当 xh 时 y 随 x 的增大而 增大 y 随 x 的增大而 减小 例 4:在反比例函数(0)kykx 的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（A）A213yyy B123yyy C321yyy D231yyy 解：用图像法，在直角坐标系中作出(0)kykx 的图像草图,描出三个点，满足3210 xxx观察图像直接得到213yyy选 A 例 5.（2008 烟台）在反比例函数1 2myx的图象上有两点 A11,x y，B22,xy，当120 xx时，有12yy，则m的取值范围是（）A0m B.0m C.12m
9、D.12m 题型 4：有关抛物线的平移问题 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数 a 确定，所以两个二次函数如果 a 相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如 y=ax2，y=ax2+k，y=a(xh)2+k(aO，a、k、h 为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定平移方式如下图：任意抛物线 y=ax2+bx+c 可以由抛物线 y=ax2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：数形结合法：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；（抓住顶点）保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，
10、处。公式法（结论法）：概括成八个字“左加右减，上加下减”沿 x 轴向左（右）平移 h 个单位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c（或 y=a(x-h)2+b(x-h)+c ）y=ax2沿 x 轴向左（右）平移 h 个单位得 y=a(x+h)2（或 y=a(x-h)2）y=a(x+h)2+k 沿 x 轴向左（右）平移 m 个单位得 y=a(x+h+m)2+k（或 y=a(x+h-m)2+k）y=ax2+bx+c 沿 y 轴向上（下）平移 k 个单位得 y=ax2+bx+c+k （或 y=ax2+bx+c-k）y=ax2沿 y 轴向上（下）平移 k 个单位得 y=ax2+k （或 y=ax2-
11、k）y=a(x+h)2+k 沿 y 轴向上（下）平移 n 个单位得 y=a(x+h)2+n（或 y=a(x+h)2+n）注：对于一般式抓住与 y 轴的交点或顶点，对于顶点式抓住顶点。)例 1、将二次函数5822xxy的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，求所得二次函数的解析式。解：3)2(258222xxxy，将图象向左平移 3 个单位，再将图象向下平移 2 个单位，得22(23)32yx ，故所求的解析式为1)1(22xy.或 例 2.把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移平移 2 个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，求 b、c 的值。分
12、析：可逆向求解，将 y=x2-3x+5 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线即为 y=x2+bx+c，进而可判断出 b、c 的值 解：根据平移规律可知平移前原抛物线顶点坐标为 ，又知二次项系数为 1。原抛物线解析式为 b=3,c=7 223113 1135(),)242 4yxxx由知新抛物线的顶点坐标为(3 19(,)24222319()3724yxxxxbxc 例 3已知0cba，a0，把抛物线cbxaxy2向下平移 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由0cba可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向
13、右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为2)2(xay，则原抛物线的解析式为1)52(2xay，又易知原抛物线过点（1，0）1)521(02 a，解得41a 原抛物线的解析式为：1)3(412xy 例 4.（09 鄂州市）把抛物线 yax2+bx+c 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图象的解析式是 yx23x+5，则 a+b+c=_17 【解析】.首先把抛物线 yx23x+5 化成顶点式然后把抛物线先向左平移 3 个单位得到再向上平移 2 个单位得到=x29x+25,所以 a+b+c=17.题型 5：求二次函数、反比例函数解
14、析式的有关问题 1.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标|2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x(y轴)(0,0)kaxy2 0 x(y轴)(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)。2.二次函数三种表示方法：（1）一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；（2）顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；（3）交点式（两根式）：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）3.求二次函数解析式的方法.(1)利用待定系法
15、求二次函数关系式时，一般先设函数关系式，然后通过解方程（组）来求待定的系数。有 3 种设法。顶点未知时，设一般式：2yaxbxc（0a）已知顶点坐标为(h,k),设顶点式：2()ya xhk（0a）2222222222319()2437331131135(),7(3(3)2242435323)(3)3735,72xxxyxyxyxxxxbxcbxcyxxxxcbcxxb 知原抛物线方程向左平移 个单位，再向上平移 个单解：由所以解：把位所以得 已知抛物线与x轴两交点的坐标为（x1,0）与(x2,0),设交点式12()()ya xxxx（0a）注：以下 4 种是以上 3 种的特例：已知顶点在原点
16、，可设 y=ax2（0a）对称轴是 y 轴或顶点在 y 轴上，可设 y=ax2+c（0a）顶点在 x 轴上，可设 y=a(x-h)2（0a）抛物线过原点，可设 y=ax2+bx（0a）另外选择一般式时,把三点或三对x、y的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程.例 1、已知二次函数的图象经过点 A)23,2(、B)6,7(、C)30,5(，求这个二次函数的解析式。解：设这个二次函数的解析式为2yaxbxc，则由题意得：3052567492324cbacbacba|解得21a，3b，25c.故所求的二次函数的解析式为253212xxy.例 2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与
17、y 轴的交点的纵坐标为 13，求这个二次函数的解析式。解：设这个二次函数的解析式为5)2(2xay.它与 y 轴的交点为（0，13），135)20(2a，2a 故所求的解析式为5)2(22xy.即13822xxy 例 3、已知二次函数的图象过点（1，2），对称轴为1x且最小值为2，求这个函数的解析式。解：由题设知抛物线的顶点为（1，2），因此，设所求二次函数为2)1(2xay。抛物线过点（1,2）22)11(2a 1a 故所求的解析式为2)1(2 xy，即122xxy。例 4、已知二次函数的图象与 x 轴交于)0,1(A、)0,3(B两点，与 y 轴交点的纵坐标为 2，求此二次函数的解析式。解
18、：二次函数的图象与 x 轴交于)0,1(A、)0,3(B两点，故设其解析式为)3)(1(xxay，又点（0,2）在图象上，2)30)(10(a 32a 所求解析式为)3)(1(32xxy，即234322xxy.例 5 已知抛物线 y=ax2bxc 与 x 轴相交于点 A(-3，0)，对称轴为 x=-1，顶点 M 到 x 轴的距离为 2，求此抛物线的解析式解法(一)：抛物线的对称轴是 x=-1，顶点 M 到 x 轴距离为 2，顶点的坐标为 M(-1，2)或 M(-1，-2)故设二次函数式 y=a(x1)22 或 y=a(x+1)2-2 又抛物线经过点 A(-3，0)0=a(-31)22 或 0=
19、a(-31)2-2 、所求的函数关系式是：解法(二)：设函数解析式为 y=ax2bxc 点 A(-3，0)在抛物线上 0=9a-3bc 又对称轴是 x=-1 顶点 M 到 x 轴的距离为 2 解由，组成的方程组：所求函数的解析式是：解法(三)：抛物线的对称轴是 x=-1 又图象经过点 A(-3，0)点 A(-3，0)关于对称轴 x=-1 对称的对称点 A(1，0)设函数式为 y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点 M 的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得 2=a(-13)(-1-1)或-2=a(-13)(-1-1)解得 例 6已知0cba，a0，把抛物线cbxaxy2向下平移
20、 1 个单位，再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由0cba可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为2)2(xay，则原抛物线的解析式为1)52(2xay，又易知原抛物线过点（1，0）1)521(02 a，解得41a 原抛物线的解析式为：1)3(412xy (2)根据抛物线间的关系求二次函数解析式.解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维所求的函数关系式是：的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动
21、，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。例 7、把函数1422xxy的图象绕顶点旋转 1800，求所得抛物线的解析式。解：1)1(214222xxxy,所 求 二 次 函 数 解 析 式 为1)1(22xy，即3422xxy.例 8、把二次函数522xxy的图象沿 x 轴翻折，求所得抛物线的解析式。解：4)1(5222xxxy，抛物线沿 x 轴翻折后所得解析式为4)1(2xy，故所求解析式为522xxy.(
22、3)已知抛物线与 x 轴两交点间的距离求二次函数解析式 当已知二次函数与 x 轴两交点间的距离时，常用一般式cbxaxy2、韦达定理和关系式：例 9、已知二次函数的图象 x 轴两交点间的距离为 6，且经过点（2，2）和（4，4），求这个二次函数的解析式。解：设所求解析式为cbxaxy2，由题设得。6444162242aacbcbacba 解这个方程，得41a，21b，2c.所求的解析式为221412xxy.例 10、已知二次函数的图象与 x 轴两交点间的距离为 2，若将图象沿 y 轴方向向上平移 3 个单位，则图象恰好经过原点，且与 x 轴两交点间的距离为 4，求原二次函数的表达式 解：新抛物
23、线的图象恰好经过原点，且与 x 轴两交点间的距离为 4，此抛物线与 x 轴的交点为：（0，0），（4，0）或（4，0），设新抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a0）当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把 x=4，y=0 代入得，16a+4b=0，即 b=4a，新抛物线的解析式为：y=ax24ax，原抛物线的解析式为：y=ax24ax3，设原抛物线与 x 轴的两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0）则|x2x1|=2，：由根与系数的关系可知，x1+x2=4，x1 x2=，（x2x1）2=4，又（x2x1）2=（x2+x1）24x1 x2=164（）=16+，16+=4，解得 a=1，原二次
24、函数的解析式为：y=x2+4x3；当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把 x=4，y=0 代入得，16a4b=0，即 b=4a，新抛物线的解析式为：y=ax2+4ax，原抛物线的解析式为：y=ax2+4ax3，同可得 a=1，原二次函数的解析式为：y=x24x3 故原二次函数的表达式为：y=x2+4x3 或 y=x24x3 (4)根据根与系数的关系求二次函数关系式。】例 11、二次函数 y=ax2bx-5 的图象的对称轴为直线 x=3，图象与 y 轴相交于点 B，2222121212124()()4()4bcbacxxxxxxx xaaa求解 (1)求二次函数的解析式；(2)求原点 O 到直
25、线 AB 的距离 解：(1)如图，a=-1 解析式为 y=-x26x-5=-(x-3)24 4.求反比例函数解析式 （1）.反比例函数解析式xky（k0）的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）为了计算的方便通常变形成k=xy,即k等于图像上任意一个点的横坐标与纵坐标的乘积。（2）.反比例函数 yxk（k0）中的比例系数 k 的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线yxk（k0）上的任意一点 P（x,y）做 x 轴、y 轴的垂线 PA、PB，所得矩形 OBPA的面积:SOA PAxyxyk矩形OAPB 推
26、论：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k (3）反比例函数 yxk（k0）图象的对称性：图象关于原点对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线y=-x 或 y=x对称:即若（a，b）在双曲线的一支上，则(-b,-a)或（b,a）在双曲线的另一支上 例 12（2011 安徽）如图函数 y1=k1x+b 的图象与函数（x0）的图象交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点已知 A 点的坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）（1）求函数 y1的表达式和 B 点坐标；（2）观察图象，比较当 x0 时，y1和 y2的大小 解：（1）把
27、A(2，1)、C（0，3）代入11yk xb得 213kbb 解得 13kb 所以13yx 由已知有：21212)226xxx x（1111SS2222OPAOPBOA PAxyxyk 把 A（2，1）代入220kyxx得 22k 所以22yx:解方程组xyxy2,3 得.2,111yx .1,222yx 所以 点 B 的坐标为（1，2）6 分（2）解：由图像可知，当 0 x1 或 x2 时，y1y2;当 1x2 时，y1y2;当 x=1 或 x=2 时，y1=y2.12 分 例 13、（2010 安徽）点 P（1，a）在反比例函数 y=的图象上，它关于 y 轴的对称点在一次函数 y=2x+4
28、的图象上，求此反比例函数的解析式分析：先求出点 P（1，a）关于 y 轴的对称点，代入 y=2x+4，求出a 的值，再把 P 点坐标代入 y=即可求出 k 的值 解：点 P（1，a）关于 y 轴的对称点是（1，a），2 分 点（1，a）在一次函数 y=2x+4 的图象上，a=2（1）+4=2，4 分 点 P（1，2）在反比例函数 y=的图象上，k=2，反比例函数的解析式为为 y=8 分 题型 6：二次函数、反比例函数与一次函数综合的运用 根据实际问题列二次函数关系式，并会求自变量的取值范围。用配方法或公式法把一般式或交点式化成顶点式,并能根据顶点式说出因变量随自变量变化情况(注要自变量的取值范
29、围外还一定要注意在对称轴的左右两侧二次函数的增减性是相反的),以及有关最值问题.何时取得最值及最值是多少,一般有两种方法:配方法或公式法.运动变化思想的运用.会看函数图象.会利用图象解一元二次不等式.要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围(如从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于或小于反比例函数的函数值等)例 1、（2010 安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用 20 天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第 x 天（1x20 且 x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期
30、间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第 x 天的收入 y（元）与 x（天）之间的函数关系式（当天收入=日销售额日捕捞成本）(3)试说明（2）中的函数 y 随 x 的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少 分析：（1）由图表中的数据可知该养殖场每天的捕捞量与前一天减少 10kg；（2）根据收入=捕捞量单价捕捞成本，列出函数表达式；（3）将实际转化为求函数最值问题，从而求得最大值 解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天减少 10kg；2 分 O 6 2 40 日最高销量（kg）80 零售价（元）
31、例 3 图（2）4：8（6，80）（7，40）（2）由题意，得 y=20（95010 x）（5）（95010 x）=2x2+40 x+14250；7 分（3）20，y=2x2+40 x+14250=2（x10）2+14450，9 分 又1x20 且 x 为整数，当 1x10 时，y 随 x 的增大而增大；当 10 x20 时，y 随 x 的增大而减小；当 x=10 时即在第 10 天，y 取得最大值，最大值为 1445012 分 例 2、（2011 安徽压轴题）如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1、h2、h3（
32、h10，h20，h30）*（1）求证：h1=h3；（2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S=（h2+h3）2+h12；（3）若，当 h1变化时，说明正方形 ABCD 的面积为 S 随 h1的变化情况 （1）证法一：设 AD 与2l的交点为 E，BC 与3l的交点为 F。四边形 ABCD 是正方形 BAD=BCD=90,AB=CD,BC则BE1h2h12hh1l1h1h2h222ABAMBM22222SABAMBMDNBM22121Shhh1l1l4l12312hh21312hh 22121Shhh2222111111355241124455Shhhhhh 1103102hh325252
33、545232 14 分 ）例 3、（2009 安徽压轴题）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 第23题图FEABDC 例 3 图（1）：解：（1）图表示批发量不少于 2
34、0kg 且不多于 60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；图表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 3 分（2）由题意得：2060 6054mmwmm（）（，函数图象如图所示 7 分 由图可知资金金额满足 240w300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8 分（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量32040mx 当m60 时，x，由题意，销售利润为 2(4)(32040)40(6)160yxxx 12 分 当x6 时，160y最大值，此时m80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元
35、14 分 解法二：设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p元满足：32040 xp，于是32040 xp 销售利润23201(4)(80)1604040 xyxx 12 分 当x80 时，160y最大值，此时p6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元14 分 例 4、（2008 安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线23315yxx 的一部分，如图所示 金额w（元）O 批发量m（kg）300 200 100 20 40 60 240 （1）求演员弹跳离地面的
36、最大高度；（7 分）,（2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功请说明理由 （5 分）解：（1）23y=x3x15=23519x524 5 分 305，函数的最大值是194。答：演员弹跳的最大高度是194米。7 分（2）当 x4 时，23y=43 415BC，所以这次表演成功。12 分 例 5、（2007 安徽压轴题）按如图所示的流程，输入一个数据 x，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20100（含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列
37、两个要求：（）新数据都在 60100（含 60 和 100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大（1）若 y 与 x 的关系是 y=x+p（100 x），请说明：当 p=时，这种变换满足上述两个要求；（6 分）（2）若按关系式 y=a（xh）2+k（a0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）（8 分）解:.（1）当 P=12时，y=x11002x,即 y=1502x。y 随着 x 的增大而增大，即 P=12时，满足条件（）3 分 当 x=20 时，y=120502=6
38、0。又当 x=50 时 y=1100502=100。而原数据都在 20100 之间，所以新数据都在 60100 之间，即满足条件（），综上可知，当 P=12时，这种变换满足要求；6 分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h20；（b）若 x=20,100 时，y 的对应值 m，n 能落在 60100 之间，则这样的关系式都符合要求。如取 h=20,y=220a xk,8 分 a0，当 20 x100 时，y 随着 x 的增大 10 分,令 x=20,y=60，得 k=60 令 x=100,y=100，得 a802k=100 由解得116060ak，212060160
39、yx。14 分 例6、(2011年广安)若二次函数2()1yxm，当1x 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）例 5 A、1m B、1m C、1m D、1m 例 7、（2006 安徽大纲卷）某公司年初推出一种高新技术产品，该产品销售的累积利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间的关系（即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系）为 y=x22x（x0）（1）求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴；（4 分）（2）请在所给坐标系中，画出这个函数图象的简图；（3 分）（3）根据函数图象，你能否判断出公司的这种新产品销售累积利润 是从什么时间开始盈利的（2 分）（4）这个公司第 6 个月所
40、获的利润是多少 （3 分）解：（1）由2211(4)(2)222yxxx2 分 函数图象的顶点坐标为(22)，对称轴为直线2x 4 分 （2）如右图7 分（3）从函数图象可以看出，从 4 月份开始新产品的销售累积利润盈利9 分（4）5x 时，2152 52.52y ，6x 时，2162 662y ，62.53.5 这个公司第 6 个月所获的利润是3.5万元12 分 ,例 8、（2005 安徽大纲卷）已知函数 y1=x1 和（1）在所给的坐标系中画出这两个函数的图象（2）求这两个函数图象的交点坐标（3）观察图象，当 x 在什么范围时，y1y2 分析：（1）画图的步骤：列表，描点，连线需注意函数
41、y1的自变量取值范围是：全体实数；函数 y2的自变量取值范围是：x0（2）交点都适合这两个函数解析式，应让这两个函数解析式组成方程组求解即可（3）从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 解：（1）函数 y1的自变量取值范围是：全体实数；函数 y2的自变量取值范围是：x0列表可得：y（万元）x（月）1 2 3 4 5 4】2 1 1 2 例 7 答案图 （2）联立解析式：，解得：，两函数的交点坐标分别为 A（2，3）；B（3，2）；（3）由图象观察可得：当2x0 或 x3 时，y1y2 例 9.（2005 安徽课改卷）如图所示，直线与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B
42、 两点，将AOB 绕点 O 顺时针旋转 90得到。（1）在图中画出；（2）求经过三点的抛物线的解析式。解：（1）如图 （2）设该抛物线的解析式为yaxbxc2 由题意知AAB、三点的坐标分别是()()()100120，、，、，01042abccabc 解这个方程组得abc 12121 抛物线的解析式是yxx121212 例 10.、（2004 安徽压轴题）某企业投资 100 万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万该生产线投产后，从第 1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为 y（万元），且y=ax2+bx，若第 1 年的维修、保养费用为 2 万元，第
43、2 年为 4 万元 （1）求 y 的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资 解:由题意，x1 时，y2；x2 时，y246,分别代入 yax2bx,得 ab2,4a2b6,解得，a1,b1,yx2x.-设 g33x100 x2x,则 gx232x100(x16)2156.由于当 1x16 时，g 随 x 的增大而增大，故当 x=3 时 g=(x16)2156=-13，当 x=4 时 g=(x16)2156=12，故当 x4 时，即第 4 年可收回投资。例 11、（2003 安徽）已知函数 y=x2+bx1 的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图
44、象的顶点坐标；（3）当 x0 时，求使 y2 的 x 的取值范围|解：（1）函数 y=x2+bx1 的图象经过点（3，2），9+3b-1=2，解得 b=-2；函数解析式为 y=x2-2x1（2）y=x2-2x1=(x1)22；图象如图所示,图象的顶点坐标为（1，-2）；（3）当 x=3 时，y=2，根据图象知，当 x3 时，y2；当 x0 时，使 y2 的 x 的取值范围是 x3 注:要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围；练习 1、（2000 安徽）（12 分）已知，二次函数的图像如图。（1）求这个二次函数的解析式和它的图像的顶点坐标；（2）（2）观察图像，回答：何时 y 随 x
45、的增大而增大；何时y 随 x 的增大而减小。2（2002 安徽）（12 分）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y43 （0 x30）y值越大，表示接受能力越强 （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低|（2）第 10 分时，学生的接受能力是多少 （3）第几分时，学生的接受能力最强 3（2002 安徽）（7 分）已知一次函数的图象与双曲线yx2交于点（1，m），且过点（0，1），求该一次函数的解析式 题型 7：构造二次函数、反比例函数与一次函数的模型题。1.直线与抛物线的交点 （1）y轴与抛物线cbx
46、axy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点%二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实
47、数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121 例 1,画出 y=2x2+3x-2 与 y=-2x+1 的图象并解答下列问题：试写出方程 2x2+3x-2=0 的解：试写出
48、不等式 2x2+3x-20 的解：试写出不等式 2x2+3x-20 的解：试根据图象写出方程 2x2+3x-2=-2x+1 的解：试写出不等式 2x2+3x-2-2x+1 的解：试写出不等式 2x2+3x-2-2x+1 的解：例 2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（
49、2）如果 DE 与 AB 的距离 OM cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12，计算结果精确到 1 米）解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 xy 1092axy 因为点 A（25，0）（或 B（25，0）在抛物线上，所以109)25(02a，得12518a 因此所求函数解析式为)2525(109125182xxy （2）因为点 D、E 的纵坐标为209，所以109125182092x，得245x 所以点 D 的坐标为（245，209），点 E 的坐标为（245，209）所以225)245(245DE 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 385227
50、501.011000225（米），题型 8:二次函数对称轴的应用 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：设 A(x1，ya），B(x2，yb）是抛物线上的两点，且 ya=yb，则抛物线的对称轴为直线122xxx 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.0 时，y 随 x 的增大而增大。（1）求 k 的值（2）求顶点坐标和对称轴。