六年级几何篇练习题集_1.pdf

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1、 .附五大模型概念及用法：一、等积变换模型 等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1 DCBA 如左图12:SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS；反之，如果ACDBCDSS，则可知直线AB平行于CD 正方形的面积等于对角线长度平方的一半；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC

2、上的点如图（或D在BA的延长线上，E在AC上），则:():()ABCADESSABACADAE EDCBAEDCBA 图 图 推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA 1243:SSSS或者1324SSSS1243:AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面 .可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：ABCDObaS3S2S1S4 2213:SSab 221

3、324:SSSSabab ab；梯形S的对应份数为2ab 四、相似模型 相似三角形性质：GFEABCD（金字塔模型）ABCDEFG（沙漏模型）ADAEDEAFABACBCAG；22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五、燕尾定理模型 SABG:SAGCSBGE:SEGCBE:EC；SBGA:SBGCSAGF:SFGCAF:FC；SAGC:SBCGSADG:SD

4、GBAD:DB；GFEDCBA .练习题集：1.（第3届华杯赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米问：长方形的面积是 平方厘米 红红绿黄21平方厘米 2.(2007 年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且2ADDE则两块地ACF和CFB的面积比是 _ FEDCBA 3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积 分别是 3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？377 .4.如图，已知长方形ADEF的面积16，三角

5、形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？FEDCBA 5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 FEDCBA 6.如图，在ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使12CEBC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？ABCDEF .7.如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是 3、2、1，则MNC的面积是 8.四边形ABCD的对角线AC与BD

6、交于点O（如图所示）如果三 角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_ 倍 9.如右图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，ABC由这 6 部分组成，其中比大 6 平方厘米，那么ABC的面积是多少平方厘米？10.如右图，长方形ABCD中，16EF，9FG，求AG的长 DABCEFG ODCBANMOCBAFEDCBA5 3 6 4 2 1 .11.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知5AH cm，3HF cm，求AG.12.图中四边形ABCD是边长为 12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D

7、连成 一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为 4cm，那么三角形 GDC的面积是多少？GFEDCBA 13.如右图，三角形 ABC 中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求 AF:FB.14.如图，三角形 ABC 的面积是 1，BDDEEC，CFFGGA，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少?GFEDCBA OGHFEDCBAOFEDCBA .15.如右图，ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？NMGABCDE

8、F 16.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为1S，正方形PCNG的面积为2S，则12:SS _ QPNMGFEDCBA 17.如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE 1.5，CF 2长方形 EFGH 的面积为 HGFEDCBA .18.如图，1ABCS，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求FGSS SGFEDCBA 19.如图，在长方形ABCD中，6AB，2AD，AEEFFB，求阴影部分的面积 BCADEFO 20.如右图，已知

9、BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是 30，求阴影部分面积.FEDCBA .21.(第六届希望杯五年级一试)如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE于O,OB长9厘米，则AE 长_厘米。OEDCBA321 22.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)23.如图中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取3.14).24.（2008 年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O

10、，求OBC的面积 53OABCDE 25.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中90BPC，10cmAP，求四边形ABPC的面积 PDCBA 26.(2008 年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积 ABCDOE .27.长方形ABCD的面积为 362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA 28.（小学生数学报邀请赛）从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2

11、厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)29.用 10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?30.(05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5 5 5 的立方体，在一个方向上开有1 1 5 的孔，在另一个方向上开有2 1 5 的孔，在第三个方向上开有3 1 5 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？.参考答案 1.（第3届华杯赛试题）一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米问：长方形的面积是 平方厘米 红红绿黄21

12、平方厘米【分析】由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的0.5倍，所以黄色三角形面积是长方形面积的0.50.150.35倍，所以长方形的面积是270.3560平方厘米 2.(2007 年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DFDC,且2ADDE则两块地ACF和CFB的面积比是 _ FEDCBAFEDCBAGFEDCBA【分析】方法一：连接BD 设CED的面积为 1，BED的面积x，则根据题上说给出的条件，由DFDC得，BDCBDFSS 即BDF的面积为1x、ADCADFSS;又 有2ADDE，22ADCADFCDESSS

13、、22ABDBDESSx，而122ABDSxx；得3x，所以:(22):(134)1:2ACFCFBSS 方法二：连接BD，设1CEDS(份)，则2ACDADFSS,设BEDSxBFDSy则有122xyxy，解得34xy，所以:(22):(431)1:2ACFCFBSS 方法三：过F点作FGBC交AE于G点，由相似得:1:1CD DFED DG,又因为2ADDE，所以:1:2AG GEAF FB，所以两块田地 ACF 和 CFB 的面积比:1:2AF FB .3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积 分别是 3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？377 FEC

14、BDA377 分析：方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形。设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BFFE，再连结DE。所以三角形DEF的面积为 3.设三角形ADE的面积为x，则33:10:10 xAD DBx，所以15x，四边形的面积为18。方法二：连接AF,用燕尾定理解 4.如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？FEDCBA FEDCBA FEDCBA 分析：方法一：连接对角线AE ADEF是长方形 12ADEAEFADEF

15、SSS 38ADBADESDBDES，12ACFAEFSFCEFS 58BEDEDBDEDE，12CEFECFEFEF 1515162822BECS 132ABCADEFADBACFCBESSSSS 方法二：连接BF,由图知1628ABFS,所以16835BEFS,又由4ACFS,恰 好 是AEF面 积 的 一 半，所 以C是EF的 中 点，因 此522.5BCEBCFSS,所以16342.56.5ABCS .5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是 FEDCBAABC

16、DEF 【分析】(法1)连接AE、CD 11ABCDBCSS，1ABCS，S1DBC 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18(法2)用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESAC BCSFC CE 又1ABCS，所以8FCES 同理可得6ADFS，3BDES 所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS 6.如图，在ABC中，延长AB至D,使BDAB，延长BC至E,使12CEBC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？ABCDEF 分析：(法1)利用共角定理 在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，2241 11ABCFCE

17、SAC BCSFC CE 又2ABCS，所以0.5FCES 同理可得2ADFS，3BDES 所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS 7.如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是 3、2、1，则MNC的面积是 NMOCBA .【分析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 1322AOMBONMONAOBSSSS 设MONSx，根据共边定理我们可以得 ANMABMMNCMBCSSSS，33322312xx，解得 22.5x 8.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如

18、图所示）如果三 角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_ 倍 分析对于四边形ABCD为任意四边形，两种处理方法：1利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；2通过画辅助线来改变任意四边形 根据题目中给出条件:1:3ABDBCDSS，可得:1:3AO OC 2OA,所以2 36OC 故:6:32:1OC OD 9.如右图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，ABC由这 6 部分组成，其中比大 6 平方厘米，那么ABC的面积是多少平方厘米？【分析】解法一：因为E是DC中点，F为AC中点，有2ADFE且FE平行于AD，则四边形AD

19、EF为梯形 在梯形ADEF中有=，=，:=22:4ADFE 又已知=6，所以6(41)2，=48;所以=2 816，而=，所以=4，梯形ADEF的面积为、四块图形的面积和，为844218 有CEF与DEF的面积相等，为246 所以ADC面积为18624 因为D是BC中点，所以ABC的面积是：222448ABCACDSS(平方厘米)解法二：如右图所示：题上给出了6ADGEFGSS，所以6ADEDEFSS;因为E是CD的中点，F是AC的中点，由共边定理得：22ADEAECECFDEFSSSS;所以由上面的分析得到：62DEFDEFSS，6DEFS；进一步共边原理可得：2488648ABCADCAE

20、CDEFSSSS(平方厘米)同样这个题目可以用相似模型也能解 ODCBAFEDCBA5 3 6 4 2 1 GFEDCBA .10.如右图，长方形ABCD中，16EF，9FG，求AG的长 DABCEFG【分析】因为DABE，根据相似三角形性质知DGAGGBGE，又因为DFAB，DGFGGBGA，所以AGFGGEGA，即2225922515AGGE FG，所以15AG 11.如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知5AH cm，3HF cm，求AG.【分析】注意三角形AHB和三角形DHF相似，利用三角形相似的性质可 以得到:5:3AB DFAH HF，作EO垂直

21、于AD，且交AF于点O，又因为E为AD中点，则有:1:2OE DF，所以3:5:10:32AB OE,:10:3AG GO,11(53)422AOAF,所以104041313AG.12.图中四边形ABCD是边长为 12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成 一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为 4cm，那么三角形 GDC的面积是多少？GFEDCBANMGFEDCBA 【分析】根据题中条件，我们可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，我们就可以用相似三角形的性质来解决问题.做GM垂直DC交AB于N，因为 EFDC，所以三角形GEF与三角形GDC相似

22、，且相似比为:4:121:3EF DC，由此我们可以得:1:3GN GM，又因为MNGMGN，且12MN cm，OGHFEDCBA .所以:2:3MN GM，得18GM，故三角形GDC的面积为 2112 181082cm.13.如右图，三角形 ABC 中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求 AF:FB.【分析】根据燕尾定理得:4:912:27AOBAOCSSBD CD :3:412:16AOBBOCSSAE CE（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAF FB 14.如图，三角形 ABC 的面积是 1，BDDEEC，CFFGGA，三角形 ABC 被分

23、成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少?GFEDCBANMQPGFEDCBA 分析 设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N连接 CP，CQ，CM，CN 根据燕尾定理，:1:2ABPCBPSSAG GC，:1:2ABPACPSSBD CD，设1ABPS(份)，则1225ABCS(份)，所以15ABPS 同 理 可 得，27ABQS,12ABNS,而13ABGS，所 以2137535APQS，1213721AQGS 同理，335BPMS121BDMS,所以1239273570PQMNS四边形，13953357042

24、MNEDS四边形,1151321426NFCES四边形,1115321642GFNQS四边形 15.如右图，ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？OFEDCBA .NMGABCDEFNMGABCDEF【分析】连接CM、CN 根据燕尾定理，:1:1ABMCBMSSAG GC，:1:3ABMACMSSBD CD，所以15ABMABCSS；再根据燕尾定理，:1:1ABNCBNSSAG GC，所以:4:3ABNFBNCBNFBNSSSS，所以:4:3AN NF，

25、那么1422437ANGAFCSS，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS 根据题意，有157.2528ABCABCSS，可得336ABCS(平方厘米)16.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF，DE，相交于点G，过G作MN，PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设 正 方 形MGQA的 面 积 为1S，正 方 形PCNG的 面 积 为2S，则12:SS _ QPNMGFEDCBAQPGNMFEDCBAABCDEFMNGPQ【分析】解法一：求两个正方形的面积比，实际上就是求:QG GP,根据 正方形的性质，可以得到：:

26、QG GPDG GE;连接GC，根据2CFDF，:1:2DGFGFCSS,而ECGFCGSS(对称)，所以得:(21):23:2DCGECGSS,即:3:2DG GE，所以:3:2QG GPDG GE 所以2212:3:29:4SS 解法二：连接BD、EF.设正方形边长为 3，则2CECF，1BEDF，所以，2EF=22+22=8，2BD=23+23=18因为，22EFBD=818=144=212，所以，EF BD=12.由梯形蝴蝶定理，得GEFSBDGSDFGSBGES 2EF2BDEF BDEF BD8:18:12:124:9:6:6 所以，66496625BEGBDFEBDFESSS四边

27、形四边形.因为93 322BCDS ，12222CEFS，所以，52BDFEBCDCEFSSS，.所以，BEGS=62552=35因为正方形PCNG的边长等于BEG底边BE对应的高，所以，CN=3521=65，ND=365=95.因为1S=9595=8125，2S=6565=3625，所以，1S2S=81253625=94.17.如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE 1.5，CF 2 长方形 EFGH 的面积为 HGFEDCBA ABCDEFGH【分析】连接 DE，DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍 三 角 形DEF的 面 积 等 于 正 方 形 的 面 积 减

28、 去 三 个 三 角 形 的 面 积661.5622624.54216.5DEFS,所以长方形 EFGH 面积为 33 18.如图，1ABCS，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求FGSS SGFEDCBA【分析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况最后求得FGSS的面积为4321115432210FGSS 19.如图，在长方形ABCD中，6AB，2AD，AEEFFB，求阴影部分的面积 BCADEFO

29、BCADEFO .【分析】如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为26322 由于:1:3EF DC，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEOEFOSS，所以34DEODEFSS，而2DEFADESS，所以321.54DEOS，阴影部分的面积为21.53.5 20.如右图，已知BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是 30，求阴影部分面积.分析：连接CF,因为BDDC，2ECAE，三角形ABC的面积是 30，所以1103ABEABCSS，1152ABDABCSS.根据燕尾定理，12ABFCBFSAESEC，1ABFACFSBDSCD,所以17.54ABFABCSS，

30、157.57.5BFDS.所以阴影部分面积是30107.512.5.21.(第六届希望杯五年级一试)如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE于O,OB长9厘米，则AE 长_厘米。OEDCBA321【分析】在四边形OECB中，2180OEC，因为3180OEC，所以32，1DAC,所以,ABOBAEAD,即12912AE,所以16AE 22.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)FEDCBA .【分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆 的 内 接

31、 正 方 形 设 大 圆 半 径 为r，则222Sr，2212Srr，所 以12:3.142:257:100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 23.如图中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取3.14)分析 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为25 5 3.14239.25cm 24.（2008 年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积 53OABCDE F53OABCDE 解析：如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达O

32、CF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB，所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它的面积为218164 根据面积比例模型，OBC的面积为516108 25.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中90BPC，10cmAP，求四边形ABPC的面积 .PDCBA PPDCBA 分析 因为BAC和BPC都是直角，和为180，所以ABP和ACP的和也为180，可以旋转三角形APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形AP P，面积

33、为10 10250平方厘米 26.(2008 年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积 ABCDOE FABCDOE 分析 如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE ，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且3AFAE，所以梯形AFBE的面积为：1353122(2cm)又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，所以21172ABDSAB(2cm)那么171

34、25BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS(2cm)，所以12.52OBEBDESS(2cm).27.长方形ABCD的面积为 362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：HGFEDCBA 可得：12EHBAHBSS、12FHBCHBSS、12DHGDHCSS，而 36ABCDAHBCHBCHDSSSS 即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS；而EHBBHFDHGEBFSSSSS阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC 所以

35、阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS阴影 解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：GABCDEF(H)这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS阴影 解法三：可以找到长方形ABCD的特殊状态正方形ABCD，然后就和上面的特殊点法一样 28.（小学生数学报邀请赛）从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【分析】按图 1 所示沿一条棱挖，为 592

36、 平方厘米；按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米；按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米；按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米 .29.用 10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?分析：教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证102 个 75 的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将 75 面做底面，而后将 10 个长方体连排，衔接的面选用 35 的面（衔接的面将不能成为表面积），这样得到的长方体表面积最大 同样要想最小，可把 75 面做衔接的面，可得到 10

37、个长方体的 连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了 2 个 57 的面，减少了 10 个37 的面，总体来讲表面积减少了 表面积是：2(7151510107)650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积 30.(05 年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5 5 5 的立方体，在一个方向上开有1 1 5 的孔，在另一个方向上开有2 1 5 的孔，在第三个方向上开有3 1 5 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】求体积：开了3 1 5 的孔，挖去3 1 515 ，开了1 1 5 的孔，挖去1 1 5 14 ；开了2 1 5 的孔，挖去2 1 5(22)6 ，剩余部分的

38、体积是：5 5 5(1546)100 (另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：224 12100 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分外部的表面积为5 5 6 12138 ，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为22 5 1 5 1 2 1 320 、21 53 5 1 3 132 、21 5 1 5 1 1214 ，所以总的表面积为 138203214204 .(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32 上下方向：30 左右方向：40 112211121222211211221122112111111222111111211211211222222222221121122 总表面积为2323040204