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1、北师大版七年级下册数学第四章知识点详细归纳 附第四章测试卷及参考答案 第四章 三角形 考点归纳 1.三角形三边关系 一、三角形 2.三角形内角和定理 (1).角平分线 3.三条重要线段 (2).中线 (3).高线 1.全等图形的概念 2.全等三角形的性质 （1）.SSS 三角形 (2).SAS 二、全等三角形 3.全等三角形的判定 (3).ASA (4).AAS (5).HL（适用于 Rt）4.全等三角形的应用利用全等三角形测距离 三、作三角形 一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“”表示。2、顶点是 A、B、C 的三角形，记作“ABC
2、”，读作“三角形 ABC”。3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边 AB、BC、AC，有时也用 a，b，c 来表示，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b，c 来表示；4、A、B、C 为ABC 的三个内角。二、三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表示为 a+bc,a+cb,b+ca；a-bc,a-cb,b-cc,a+cb,b+ca 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、
3、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 1800。2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt”表示“直角三角形”,其中直角C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内
4、角之和为 1800的性质。6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的abcab重要等量关系。四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。2、三角形的角平分线：（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。3、三角形的中线：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。4、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间
5、的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。区 别 相 同 中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部 高 线 垂 直 于 对边（或其延长线）锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中两条恰好是直角边 钝角三角形：其中两条在三角表外部 五、全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。3、全等图形的面积或周长均相等。4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。5、全等
6、图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。六、全等分割 1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。2、对一个图形全等分割：（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。七、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。2、用“”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶
7、点是关键。八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。5、注意以下内容（1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等。（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。6、熟练运用以下内容（1）熟练运用三角形判定
8、条件，是解决此类题的关键。（2）已知“SS”，可考虑 A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。（3）已知“SA”，可考虑 A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。（4）已知“AA”，可考虑 A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。九、作三角形 1、作图题的一般步骤：（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法
9、，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。2、熟练以下三种三角形的作法及依据。（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。（3）已知三角形的三边，作三角形。十、利用三角形全等测距离 1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何
10、图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径。十一、直角三角形全等的条件 1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。十二、分析-综合法 1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来
11、使用，既运用综合法，又运用分析法。第 4 章三角形单元测试卷 一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1图中三角形的个数是（）A8 B9 C10 D11 2下面四个图形中，线段 BE 是ABC 的高的图是（）A B C D 3以下各组线段为边，能组成三角形的是（）A1cm，2cm，4cm B8cm，6cm，4cm C12cm，5cm，6cm D2cm，3cm，6cm 4三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D属于哪一类不能确定 5如图，在直角三角形 ABC 中，ACAB，AD 是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为 E、F，则图中与C
12、（C 除外）相等的角的个数是（）A、3 个 B、4 个 C、5 个 D、6 个 第 2 题图 第 1 题图 第 5 题图 6下面说法正确的个数有（）如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC 是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC 中，若AB=C，则此三角形是直角三角形。A、3 个 B、4 个 C、5 个 D、6 个 7在ABC 中，的平分线相交于点 P，设用
13、 x 的代数式表示的度数，正确的是（）A、B、C、D、8如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于 O，则AOC+DOB=（）A、900 B、1200 C、1600 D、1800 9以长为 13cm、10cm、5cm、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 21CB ,xABPCx2190 x2190 x290 x90第 8 题图 10给出下列命题：三条线段组成的图形叫三角形 三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 三角形的角平分线是射线 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 任何一个三角形都有三
14、条高、三条中线、三条角平分线 三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题（每题 3 分，共 30 分）11如图，一面小红旗其中A=60,B=30,则BCD=。12为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是_.13把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中ADE 是 度。14如图,1=_.15.若三角形三个内角度数的比为 2:3:4,则相应的外角比是 .16如图，ABC 中，A=40，B=72，CE 平分ACB，CDAB 于 D，DFCE，则CDF=度。CDBA第 11 题图 第 12
15、 题图 ABCDE第 13 题图 140801第 14 题图 第 16 题图 17.如果将长度为 a-2、a+5 和 a+2 的三根线段首尾顺次相接可以得到 一个三角形，那么 a 的取值范围是 18如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的倍，等于与 它不相邻的一个内角的倍，则此三角形各内角的度数是_。19如图，ABC 中，A=1000，BI、CI 分别平分ABC，ACB，则BIC=，若 BM、CM 分别平分ABC，ACB 的外角平分线，则M=20如图ABC 中，AD 是 BC 上的中线，BE 是ABD 中 AD 边上 的中线，若ABC 的面积是 24，则ABE 的面积是_。三、解答题（共 60
16、 分）21（本题 6 分）有人说，自己的步子大，一步能走三米多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由。22（本题 6 分）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 8m 和 5m 的木棒。如果要 求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？ABCDE第 20 题图 1 2 B A E C D M I 19 题图 23（本题 7 分）小华从点 A 出发向前走 10m，向右转 36然后继续向前走 10m，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗？若能，当他走回到点 A 时共走多少米？若不能，写出理由。24（本题 7 分）ABC 中，ABC、ACB 的平
17、分线相交于点 O。（1）若ABC=40，ACB=50，则BOC=。（2）若ABC+ACB=116，则BOC=。（3）若A=76，则BOC=。（4）若BOC=120，则A=。（5）你能找出A 与BOC 之间的数量关系吗？25（本题 8 分）一个零件的形状如图按规定A=90，C=25，B=25，检验已量得BDC=150，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。ACDB第 25 题图 26（本题 8 分）已知，如图，在 ABC 中，AD，AE 分别是 ABC 的高和角平分线，若B=30，C=50.（1）求DAE 的度数。（2）试写出 DAE 与C-B 有何关系?（不必证明）2
18、7.（本题 9 分）如图,已知 D 为ABC 边 BC 延长线上一点,DFAB 于 F 交 AC 于 E,A=35,D=42,求ACD 的度数.28.（本题 9 分）如图,在ABC 中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,求CDE 的度数.AECDB第 26 题图 FDCBEA第 27 题图 DCBEA第 28 题图 第 4 章三角形单元测试卷参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1 B；2 A；3 B；4 C；5 B；6 D；7 A；8 D；9 C；10.B；二、填空题（每题 3 分，共 30 分）11 9；12 三角形的稳定性；13 135；14 120；15 7:6:5；
19、16 74；17.a5；18 72，72，36；19 140，40；20 6；三、解答题（共 60 分）21 不能。如果此人一步能走三米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于 3 米多，这与实际情况不符。所以他一步不能走三米多。22 小颖有 9 种选法。第三根木棒的长度可以是 4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，11cm，12cm。23 小华能回到点 A。当他走回到点 A 时，共走 1000m。24（1）135；（2）122；（3）128；（4）60；（5）BOC=90+A 25 零件不合格。理由略 CECD DCE=90 26(1)DAE=10(2)C-B=2DAE 27.解:AFE=90,AEF=90-A=90-35=55.CED=AEF=55,ACD=180-CED-D=180-55-42=83.28.解:设DAE=x,则BAC=40+x.B=C,22=180-BAC,C=90-BAC=90-(40+x).同理AED=90-DAE=90-x.CDE=AED-C=(90-x)-90-(40+x)=20.12121212121212