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1、1/18 实验 10 符号计算基础与符号微积分（第 7 章 MATLAB 符号计算）一、实验目的 1.掌握定义符号对象的方法。2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算。3.掌握求符号函数极限及导数的方法。4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法。二、实验内容 1.利用符号表达式求值 已知 x=6,y=5，利用符号表达式求 13xzxy 提示：定义符号常数 x=sym(6)，y=sym(5)。程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：2.分解因式(1)x4-y4 (2)5135 数学软件课内实验 王平 2/18 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：3.化简表达式 21212
2、483(1)sincoscossin(2)21xxx 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：4.符号矩阵运算 已知 12010100100,010,001101abcPPAdefghk 完成下列运算：(1)B=P1P2A。(2)B 的逆矩阵并验证结果。(3)包括 B 矩阵主对角线元素的下三角阵。(4)B 的行列式值。程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：5.用符号方法求下列极限或导数 sintan301(1)2(1)arccos1 cos(2)(1)lim (2)lim (3),sin1xxxxx eexxyy yxxx求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：3
3、222(4),coslnxatdA d A d AAdxdtdxdttxx已知分别求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：22220,1(5)(,)(2),xyxyxyyff x yxx exx y 已知求 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行，参考教材 P203）：3/18 6.用符号方法求下列积分 4822(1)(2)1(arcsin)1dxdxxxxx 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：2ln224001(3)(4)(1)1xxxdxeedxx 程序及运行结果（建议在命令窗口输入命令并运行）：三、实验提示 四、教程：第 7 章 MATLAB 符号计算(1
4、/2)7.1 符号计算基础 p192 7.1.1 符号对象 1.建立符号变量和符号常量(1)sym 函数 符号量名=sym(符号字符串)建立单个符号字符串。符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。例（符号变量与数值变量）p192 符号变量与数值变量在代数运算时的差别。clear all;%定义符号变量 a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);w=a2+b2+c2 v=210 Name Size Bytes Class Attributes 4/18%定义数值变量 x=5;y=-8;z=11;w=a*a+b*
5、b+c*c v=x*x+y*y+z*z whos a 1x1 58 sym b 1x1 58 sym c 1x1 58 sym v 1x1 8 double w 1x1 116 sym x 1x1 8 double y 1x1 8 double z 1x1 8 double 例（符号常量与数值常量）p193 符号常量与数值常量在代数运算时的差别。（精确与近似）(2)syms 命令 syms 符号变量名 1 符号变量名 2 定义多个符号变量。不要在变量名上加字符串分界符()。变量间用空格而不用逗号分隔。2.建立符号表达式 含有符号对象的表达式称符号表达式。3 种方法：(1)用单引号。(2)用 s
6、ym 函数。(3)用已经定义的符号变量。5/18 例（建立符号表达式）p194 7.1.2 基本的符号运算 p194 1符号表达式的四则运算 符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、/、运算符实现，运算结果依然是符号表达式。2符号表达式的提取分子和分母运算 n,d=numden(s)提取符号表达式 s 的分子和分母，分别将它们存放在 n 与 d 中。例（提取分子分母运算）p196 a=sym(0.33)a=33/100 n,d=numden(a)n=33 d=100 f=sym(a*x2/(b+x)f=(a*x2)/(b+x)s,t=numden(f)6/18 s=a*x2 t=b+
7、x g=sym(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)g=(3*x)/(x-1)+(x2+3)/(2*x-1)n,d=numden(g)n=x3+5*x2-3 d=2*x2-3*x+1 h=sym(3/2,(2*x+1)/3;a/x+a/y,3*x+4)h=3/2,(2*x)/3+1/3 a/x+a/y,3*x+4 n,d=numden(h)n=3,2*x+1 a*x+a*y,3*x+4 d=2,3 x*y,1 3符号表达式 s 的因式分解与展开 factor(s)分解因式 expand(s)展开 collect(s)合并同类项 collect(s,v)按变量 v 合并同类项 7/18
8、 例（因式分解与展开）p197 4符号表达式的化简 simplify(s)应用函数规则化简。simple(s)调用 MATLAB 的其他函数综合化简，并显示化简过程。例（化简）p197 syms x y a s=log(2*x/y+1/y);simplify(s)ans=log(2*x+1)/y)s=(-a2+1)/(1-a);simplify(s)ans=a+1 syms x y s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s)%给出多种化简结果供选择 simplify:2*x4+2*y4 radsimp:(x2+y2)2+(x2-y2)2 simplify(100):2*x4+2
9、*y4 8/18 combine(sincos):(x2+y2)2+(x2-y2)2 combine(sinhcosh):(x2+y2)2+(x2-y2)2 combine(ln):(x2+y2)2+(x2-y2)2 factor:2*(x4+y4)expand:2*x4+2*y4 combine:(x2+y2)2+(x2-y2)2 rewrite(exp):(x2+y2)2+(x2-y2)2 rewrite(sincos):(x2+y2)2+(x2-y2)2 rewrite(sinhcosh):(x2+y2)2+(x2-y2)2 rewrite(tan):(x2+y2)2+(x2-y2)2
10、collect(x):2*x4+2*y4 mwcos2sin:(x2+y2)2+(x2-y2)2 ans=2*x4+2*y4 5符号表达式与数值表达式之间的转换 sym 数值表达式变换成符号表达式。eval 符号表达式变换成数值表达式。例（符号表达式与数值表达式之间的转换）p198 clear all;clc;sym(1.5)ans=3/2 sym(3.14)ans=157/50 phi=(1+sqrt(5)/2 phi=(1+sqrt(5)/2 eval(phi)ans=9/18 1.6180 eval(234/5)ans=46.8000 7.1.3 符号表达式中变量的确定 p198 fin
11、dsym(s,n)查找一个符号表达式 s 中的 n 个符号变量。若没有指定 n，返回全部符号变量。应用：在求极限、导数和积分时，若未指定自变量，则按默认原则确定变量。可用 findsym(s,1)查找系统的默认变量。按离 x 最近原则确定默认变量。例（查找符号变量）p199 syms x a y z b;s1=3*x+y;findsym(s1)ans=x,y s2=a*y+b;findsym(s2,2)ans=y,b findsym(5*x+2)ans=x c=sym(3);findsym(a*x+b*y+c)%c 不是变量 ans=a,b,x,y 例（默认变量）p199 syms a b w
12、 y z findsym(a*y+b*w,1)ans=y findsym(a*z+b*w,1)ans=w findsym(a*5+b,1)ans=b 10/18 7.1.4 符号矩阵 p199 transpose(s)返回 s 矩阵的转置矩阵。diag、triu、tril、inv、det、rank、eig 等。例（符号矩阵）p199 利用 sym 函数建立符号矩阵并化简。33222sincos153785abmxyxxy clear all;clc;syms a b x y alp m=sym(a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78
13、);factor(m)simplify(m)ans=(a-b)*(a2+a*b+b2),cos(alp)2+sin(alp)2 (-3)*x,2*3*13 ans=a3-b3,1 (-3)*x,78 例（符号矩阵函数）p200 定义一个符号矩阵，并进行各种符号运算。A=sym(sin(x),cos(x);acos(x),asin(x)A=sin(x),cos(x)acos(x),asin(x)B=transpose(A)B=sin(x),acos(x)cos(x),asin(x)C=det(A)C=asin(x)*sin(x)-acos(x)*cos(x)D=inv(A)D=-asin(x)/
14、(acos(x)*cos(x)-asin(x)*sin(x),cos(x)/(acos(x)*cos(x)-asin(x)*sin(x)acos(x)/(acos(x)*cos(x)-asin(x)*sin(x),-sin(x)/(acos(x)*cos(x)-asin(x)*sin(x)E=diag(A,1)%第1条对角线 E=cos(x)F=triu(A)11/18 F=sin(x),cos(x)0,asin(x)n=rank(A)n=2 例 7.1（符号矩阵）求解齐次线性方程组 p200 当 取何值时，齐次线性方程组：123123123(1)2402(3)0(1)0 xxxxxxxxx
15、有非零解（系数行列式为 0）。clear all;clc;syms lamda A=1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda;D=det(A);factor(D)ans=-lamda*(lamda-2)*(lamda-3)表 符号计算基础函数 p192201 函数 说 明 sym 建立单个符号量 将数值表达式变换成符号表达式 syms 定义多个符号变量 numden 提取分子和分母 factor 分解因式 expand 展开 collect 合并同类项 simplify 应用函数规则化简 simple 综合化简 eval 将符号表达式变换成数值表达式 finds
16、ym 查找符号表达式中的符号变量 transpose 符号矩阵的转置 7.2 符号函数及其应用 p201 7.2.1 符号函数的极限(1)limit(f,x,a)：x 趋近于 a 时的极限。(2)limit(f,a)：系统默认变量趋近于 a 的极限。12/18(3)limit(f)：系统默认变量趋近于 0 的极限。(4)limit(f,x,a,right)：x 从右边趋近于 a 的极限。(5)limit(f,x,a,left)：x 从左边趋近于 a 的极限。例 7.2 求下列极限 p201 0222sin()sin()(1)lim(2)lim(3)lim(1)(4)limmmxaxxxaxax
17、axaxaxxaxaxxxxa syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a)ans=NaN f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f)ans=2*cos(a)f=x*(sqrt(x2+1)-x);limit(f,x,inf,left)ans=1/2 f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right)ans=-1/(2*a)(1/2)7.2.2 符号函数求导及其应用 p202(1)diff(s)：默认变量对 s 求一阶导数。(2)diff(s,v)：v 对
18、s 求一阶导数。(3)diff(s,n)：默认变量对 s 求 n 阶导数。(4)diff(s,v,n)：v 对 s 求 n 阶导数。s 为符号表达式。例 7.3 求下列函数的导数 p202 22222(1)1,(2)cos,cos(3),(4),sin(5)(,),xyxxxyxyyeyyxxyyxatxeyyzzzyatyzf x yxyzaz求求求求由方程定义,求z syms a b t x y z;13/18 f=sqrt(1+exp(x);%(1)diff(f)ans=exp(x)/(2*(exp(x)+1)(1/2)f=x*cos(x);%(2)diff(f,x,2)ans=-2*s
19、in(x)-x*cos(x)diff(f,x,3)ans=x*sin(x)-3*cos(x)f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);%(3)diff(f2)/diff(f1)ans=-(b*cos(t)/(a*sin(t)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 ans=-(a*b*cos(t)2+a*b*sin(t)2)/(a3*sin(t)3)f=x*exp(y)/y2;%(4)diff(f,x)ans=exp(y)/y2 diff(f,y)ans=(x*exp(y)/y2-(2*x*exp(y)/y3 f=x2+y2+
20、z2-a2;%(5)zx=-diff(f,x)/diff(f,z)zx=-x/z zy=-diff(f,y)/diff(f,z)zy=-y/z 例 7.4 在曲线 y=x3+3x-2 上哪一点的切线与直线 y=4x-1 平行 p203 x=sym(x);y=x3+3*x-2;f=diff(y);g=f-4;solve(g)%求根 ans=-3(1/2)/3 3(1/2)/3 14/18 表 符号函数的极限和导数 p201204 函数 说 明 limit 求符号函数的极限 diff 求符号函数的导数 7.3 符号积分 p204 7.3.1 符号函数的不定积分(1)int(f)：按默认变量对被积函
21、数或符号表达式 f 求不定积分。(2)int(f,v)：以 v 为自变量，对被积函数或符号表达式 f 求不定积分。例 7.5 求下列不定积分 p204 2 322(1)(3)(2)sin5(3)(4)1txdxxdxxte dtdtx x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f)ans=(9*x5)/5-x7/7-9*x3+27*x f=sin(x)2;int(f)ans=x/2-sin(2*x)/4 syms alpha t;f=exp(alpha*t);int(f)ans=exp(alpha*t)/alpha f=5*x*t/(1+x2);int(f,t)ans=(5*t2*x)/(
22、2*(x2+1)7.3.2 符号函数的定积分 p205 int(f,v,a,b)求被积函数 f 在区间a,b上的定积分。a 和 b 可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当 f 关于变量 v 在a,b上可积时，返回一个定积分结果。当 a,b 中有一个是 inf 时，返回一个广义积分。15/18 当 a,b 中有一个符号表达式时，返回一个符号函数。例 7.6 求下列定积分 p205 22133sin10221(1)|1|(2)14(3)(4)(1)xx dxdxxxxdxdtxt 例 7.7 求椭球的体积 p205 2222221xyzabc 用平面 Z=z0(z0
23、c)去截取上述椭球时，其相交线是一个椭球，该椭球在 xy 平面投影的面积是：222()()ab czs zc 椭球的体积：()ccVs z dz 16/18 例 7.8 求空间曲线 c 从点(0,0,0)到点(3,3,2)的长度 p206 设曲线 c 的方程是：23332xtytzt 求曲线 c 的长度是曲线一型积分问题。曲线的起点和终点分别对应 t=0 和 t=1。曲线积分转化为定积分的公式是：12220(,)(),(),()()()()cf x y zf x ty tz tx ty tz tdt 计算曲线长度时，被积函数 f=1。clear all;clc;syms t;x=3*t;y=3
24、*t2;z=2*t3;f=diff(x,y,z,t);%求x,y,z对t的导数 g=sqrt(f*f);%计算根式部分 l=int(g,t,0,1)%有问题！l=5 7.3.3 积分变换 p206 积分变换是通过积分运算把一个函数 f（原函数）变成另外一个函数 F（像函数）。变换过程是：()()(,)btF tf x K x t dx 其中 K(x,t)称为变换的核，它决定变换的不同名称。应用：若难从原方程求解 f，则对原方程变换；若从变换后的方程中求解 F，则对 F 逆变换；得原方程的解 f。1.傅里叶（Fourier）变换 当 K(x,t)=e-itx（i 为虚数单位）时，称 17/18(
25、)()itxF tf x edx 为傅里叶变换，其逆变换为 1()()2itxf xF t e dx (1)fourier(f,x,t)：求 f(x)的像函数 F(t)。(2)ifourier(F,t,x)：求 F(t)的原函数 f(x)。例 7.9 求函数 y=|x|的傅里叶变换及其逆变换 p207 clear all;clc;syms x t;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)fx=ifourier(Ft,t,x)Ft=-2/t2 fx=x*(2*heaviside(x)-1)Heaviside为单位跳跃函数，见教材。2.拉普拉斯（Laplace）变换 当 K(x,t)=
26、e-tx时，称 0()()txF tf x edx 为拉普拉斯变换，其逆变换为 0()()txf xF t e dx(1)laplace(f,x,t)：求 f(x)的像函数 F(t)。(2)ilaplace(F,t,x)：求 F(t)的原函数 f(x)。例 7.10 计算 y=x2 的拉普拉斯变换及其逆变换 p207 clear all;clc;x=sym(x);t=sym(t);y=x2;Ft=laplace(y,x,t)fx=ilaplace(Ft,t,x)Ft=2/t3 fx=x2 3.Z 变换 当 f(x)呈现为一个离散数列 f(n)时，称 0()()nnF zf n z 为 Z 变换
27、，其逆变换为 11()()2nf nF z zdzi (1)ztrans(fn,n,z)：求 fn 的像函数 F(z)。18/18(2)ztrans(Fz,z,n)：求 Fz 的原函数 f(n)。例 7.11 求数列 fn=e-n 的 Z 变换及其逆变换 p208 clear all;clc;syms n z;fn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)f=iztrans(Fz,z,n)Fz=z/(z-1/exp(1)f=kroneckerDelta(n,0)-(exp(1)*kroneckerDelta(n,0)-(1/exp(1)n*exp(1)/exp(1)表 符号积分函数 p204208 函数 说 明 int 求积分 fourier 傅里叶（Fourier）变换 ifourier 傅里叶（Fourier）逆变换 laplace 拉普拉斯（Laplace）变换 ilaplace 拉普拉斯（Laplace）逆变换 ztrans Z 变换 iztrans Z 逆变换