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1、小 学 四 年 级 数 学 奥 数 练 习 题 八 鸡 兔 同 笼 问 题 第九节 鸡兔同笼问题 基本公式是：兔数=实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数每只兔子脚数-每只鸡脚数 鸡兔同笼问题例题透析 1 1、有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只 解：我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是 2442=122 只.在 122 这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总头数 88,剩下的就是兔子头数 122-88=34,有 34 只兔子.当然鸡就有
2、54 只.答：有兔子 34 只,鸡 54 只.上面的计算,可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和2,4 又是 2 的 2 倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数”就不一定是 4 和 2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.还说此题.如果设想 88 只都是兔子,那么就有 488 只脚,比 244 只脚多了 884-244=108 只.每 只 鸡 比 兔 子 少 4-2 只 脚,所 以 共 有 鸡884-2444-2=54 只.说明我们
3、设想的 88 只“兔子”中,有 54 只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=兔脚数总头数-总脚数兔脚数-鸡脚数.当然,我们也可以设想 88 只都是“鸡”,那么共有脚 288=176 只,比 244 只脚少了 244-176=68 只.每只鸡比每只兔子少 4-2 只脚,682=34 只.说明设想中的“鸡”,有 34 只是兔子,也可以列出公式兔数=总脚数-鸡脚数总头数兔脚数-鸡脚数.上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为“假设法”.鸡兔同笼问题例题透析 2 红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元
4、,两种铅笔共买了16支,花了 2.80 元.问红、蓝铅笔各买几支 解：以“分”作为钱的单位.我们设想,一种“鸡”有 11 只脚,一种“兔子”有 19 只脚,它们共有 16 个头,280 只脚.现在已经把买铅笔问题,转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数 公 式,就 有 蓝 笔 数=1916-28019-11=248=3 支.红 笔 数=16-3=13 支.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中,8 只是“兔子”,8 只是“鸡”,根据这一设想,脚数是 811+19=
5、240.比 280 少40.4019-11=5.就知道设想中的8只“鸡”应少5只,也就是“鸡”蓝铅笔数是3;308 比1916 或1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想 16 只中,“兔数”为10,“鸡数”为6,就有脚数1910+116=256.比280少 24.2419-11=3,就知道设想 6 只“鸡”,要少 3 只.要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.鸡兔同笼问题例题透析 3 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了 7 小
6、时.甲打字用了多少小时 解：我们把这份稿件平均分成 30 份 30 是 6 和 10 的最小公倍数,甲每小时打 306=5 份,乙每小时打 3010=3 份.现在把甲打字的时间看成“兔”头数,乙打字的时间看成“鸡”头数,总头数是 7.“兔”的脚数是 5,“鸡”的脚数是 3,总脚数是 30,就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=30-375-3=4.5,“鸡”数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了 4.5 小时,乙打字用了 2.5 小时.答：甲打字用了 4 小时 30 分.鸡兔同笼问题例题透析 4 今年是1998 年,父母年龄整数和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后 2
7、002 年父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年 解：4 年后,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数,弟的年龄看作“兔”头数.25 是“总头数”.86 是“总脚数”.根据公式,兄的年龄是 254-864-3=14 岁.1998 年,兄年龄是 14-4=10 岁.父年龄是 25-144-4=40 岁.因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 40-103-1=15 岁.这是 2003 年.答：公元 2003 年时,父年龄是兄年龄的 3
8、 倍.鸡兔同笼问题例题透析 5 蜘蛛有 8 条腿,蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只,有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只 解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的 蜘蛛数=118-6188-6=5 只.因此就知道 6 条腿的小虫共 18-5=13只.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只,它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式蝉数=132-202-1=6 只.因此蜻蜓数是 13-6=7 只.答：有 5只蜘蛛,7 只蜻蜓,6 只蝉.鸡兔同笼问题例题透
9、析 6 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人 解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有 52-7-6=39 人.他们共做对 181-17-56=144 道.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人 2+32=2.5.这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39.对 4 道题的有 144-2.5394-1.5=31人.答：做对 4 道题的有 31 人.鸡兔同笼练习题 1
10、鸡兔共 100 只,共有脚 280 只,鸡兔各有多少只 2在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共 15 只,总共有 48 条腿,百灵鸟和松鼠各有多少只 3.56 个学生去划船,共乘坐 10 只船恰好坐满,其中大船坐 6 人,小船坐 4 人,大船和小船各几只 4.一辆卡车运矿石,晴天每天可运 16 次,雨天每天只能运 11 次,它一连运了 17 天,共运了 222 次,问这些天中有多少天下雨 5.某食堂买来的面粉是米的5倍,如果每天吃30千克米,75千克面粉,几天后米吃完了,而面粉还剩下 225 千克,这个食堂买来的米和面粉各多少千克 6.鸡和兔放在一只笼子里,共有29个头和92只脚,那么笼中有多少只兔
11、7.15 元钱买 50 分邮票和 20 分邮票共 63 张,那么 20 分邮票与 50 分邮票相差多少张 8.人民路小学的教师和学生共100人去植树,教师每人栽3棵树,学生平均每 3 个人栽 1 棵,一共栽 100 棵;那么,有多少名学生参加植树 9.张三买了两种戏票一共 30 张,付出 200 元,找回 5 元;甲种票每张 7元,乙种票每张 6 元;张三买了多少张甲种票 10.杨帆每学期的21次测验成绩全是4分或5分老师采用5分评分制;总共加起来是 100 分;他得了多少次 5 分 11.给货主运 2000 箱玻璃;合同规定,完好运到一箱给运费 5 元,损坏一箱不给运费,还要赔给货主 40
12、元;将这批玻璃运到后收到运货款9190 元,损坏了多少箱 12.20 分和 50 分的邮票共 36 枚,共值 9 元 9 角,那么两种邮票分别有多少枚 13.有一堆土方共400方,有大小两辆汽车,大车一次拉了7方,小车一次拉 4 方,运完这堆土共拉了 70 车;那么大车拉了多少次 14.电视机厂每天生产电视机 500 台,在质量评比中,每生产一台合格电视机记 5 分,每生产一台不合格电视机扣 18 分;如果四天得了 9931分,那么这四天生产了多少台合格电视机 15.松鼠妈妈采松子,晴天每天可采20个,雨天每天可采12个,它一连几天采了 112 个松子,平均每天采 14 个,那么这几天当中共有
13、几个雨天 16.有大小拖拉机共30台,今天一共耕地112公顷,大拖拉机每天耕地5 公顷,小拖拉机每天耕地 3 公顷,大小拖拉机各有几台 17.现有大小塑料桶共50个,每个大桶可装果汁4千克,每个小桶可装果汁2千克,大桶和小桶共装果汁120千克;问大小塑料桶各有多少个 18.某运动员进行射击考核,共打 20 发子弹;规定每中一发记 20 分,脱靶一发扣 12 分,最后这名运动员共得 240 分;问这名运动员共打中几发 19.某校在组织篮、排球联赛之前一次拿出 720 元人民币,准备购置一些比赛用球;已知一个篮球比一个排球要贵 20 元,6 个篮球和 8 个排球的价格相等;请你算一算,如果用这些钱都买篮球能买多少个 如果都买排球能买多少个 20 蜘蛛有 8 条腿,蜻蜒有 6 条腿和 2 对翅膀,蝉有 6 条腿和一对翅膀;现有这三种小虫 16 只,共有 110 条腿和 14 对翅膀;问：每种小虫各几只 21搬运 1000 只玻璃瓶,规定安全运到 1 只可得搬运费 3 角,但打碎1只,不但不给搬运费,还要赔5角;如果运完后共得运费260元,那么,搬运中打碎了几只玻璃瓶 22、一辆卡车装运玻璃仪器 360 个,每个运费 5 元,若损坏一个仪器不但不给运费,还要赔 50 元,结果司机只收到运费 1250 元,问损坏了几个仪器