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1、 因数与倍数 知识框架 一、约数的看法与最大合约数 0 被消除在约数与倍数以外 1求最大合约数的方法 分解质因数法：先分解质因数，而后把同样的因数连乘起来 比方：231 2 2，因此(231,252)3 7 21；3711，2522 37 218 12 短除法：先找出全部共有的约数，而后相乘比方：39 6，因此(12,18)23 6；3 2 展转相除法：每一次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求的最大合约数用展转相除法求两个数的最大合约数的步骤以下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次
2、用后一个余数 去除前一个余数，直到余数是 0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大合约数(假如最后的除数是 1，那么本来的两个数是互质的)比方，求 600 和 1515 的最大合约数：15156002L315；600 3151L285；315 2851L30；285309L15；3015 2L0；因此 1515 和 600 的最大合约数是 15 2最大合约数的性质 几个数都除以它们的最大合约数，所得的几个商是互质数；几个数的合约数，都是这几个数的最大合约数的约数；几个数都乘以一个自然数 n，所得的积的最大合约数等于这几个数的最大合约数乘以n 3求一组分数的最大合约数 先把带分数化成假分数，其余
3、分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子 的最大合约数 b；b即为所求 a 二、倍数的看法与最小公倍数 1.求最小公倍数的方法 分解质因数的方法；比方：2313711，25222327，因此 231,25222327112772；短除法求最小公倍数；218 12 比方：39 6，因此 18,12 233236；3 2 a,b a b (a,b)2.最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数拥有倍数关系，则它们的最大合约数是此中较小的数，最小公倍数是较大的数 3.求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数
4、化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a；求出各个分数分母的最大合约数 b；b a 即为所求比方：3,5 3,5 15 4 12(4,12)4 注意：两个最简分数的最大合约数不可以是整数，最小公倍数可以是整数.比方：1 4 1,4 2,4 3 2,3 三、最大合约数与最小公倍数的常用性质 1两个自然数分别除以它们的最大合约数，所得的商互质。假如 m 为A、B的最大合约数，且Ama，Bmb，那么a、b互质，因此A、B的最小公倍数为mab，因此最大合约数与最小公倍数有以下一些基本关系：ABmambmmab，即两个数的最大合约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大合约数是A、B、AB、AB及最
5、小公倍数的约数 2两个数的最大合约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(a,b)a,bab，此性质比较简单，学生比较简单掌握。3对于任意 3 个连续的自然数，假如三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 比方：5 6 7 210，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 比方：6 7 8，而 6,7,8 的最小公倍数为 336 2 168 336 性质（3）不是一个常有考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数必定不会比他们的乘积大”。四、求约数个数与全部
6、约数的和 1求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。如:1400 严格分解质因数以后为 3 2，因此它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=4 32=24 个。(包 2 57 括 1 和 1400 自己)约数个数的计算公式是本讲的一个要点和难点，讲课时应要点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲 过的数字“独一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要 求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型观察的就是对这个公式的逆用，即先告诉 一个数有多少个约数，而后再结合其余几个条
7、件将原数“还原构造”出来，也许是“构造出可能的最值”。2求任一整数的全部约数的和 一个整数的全部约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数挨次从 1 加至这个质因数的 最高次幂乞降，而后再将这些获取的和相乘，乘积即是这个合数的全部约数的和。如：21000 3 3 7，因此 21000 全部约数的和为 2 35(1 2 22 23)(1 3)(1 5 52 53)(1 7)74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要好多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的 记忆即可。重难点 要点：分解质因数法是一个数论要点方法，本讲另一个讲课要点在于让孩子对这个方法可以熟练并 且灵巧运用
8、。难点：在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上可以会与从前的一些知识点结合运用。例题精讲 【例 1】有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.此刻要把它们截成相等的小段，每根都 不可以有节余，每小段最长多少厘米一共可以截成多少段 【例 2】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；均匀每 2 个人饮用一瓶 A饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶C 饮料.问参加会餐的人数是多少人 【例 3】用展转相除法求 4811 和 1981 的最大合约数。【例 4】现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的合约数中，最大的可以是多少 【例 5】两个自然数的和是 50，它们的最大合约数是 5，试求这两个数的差 【例 6】一次考试，参加的学生中有 1 得优，1 得良，1得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 50 7 3 2 人，那么得差的学生有多少人 【例 7】数 360 的约数有多少个这些约数的和是多少 【例 8】求在 1 到100中，恰好有10个约数的全部自然数.【例 9】甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是 126，那么甲数是多少 【例 10】已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数