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1、-椭圆测试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 1、离心率为32，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 A22195xy B22195xy或22159xy C2213620 xy D2213620 xy或2212036xy 2、动点 P 到两个定点1F-4，0、2F4，0的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为 A.椭圆 B.线段12FF C.直线12FF D.不能确定 3、椭圆的标准方程22110yx，则椭圆的焦点坐标为 A.(10,0)B.(0,10)C.(0,3)D.(3,0)4、椭圆22159xy上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是 A
2、.2 53 B.2 C.3 D.6 5、如果22212xyaa表示焦点在*轴上的椭圆，则实数 a 的取值围为 A.(2,)B.2,12,C.(,1)(2,)D.任意实数 R 6、关于曲线的对称性的论述正确的选项是 A.方程220 xxyy的曲线关于*轴对称 B.方程330 xy的曲线关于 Y 轴对称 C.方程2210 xxyy的曲线关于原点对称 D.方程338xy的曲线关于原点对称7、方程 22221xykakbab0,k0 且 k1)与方程22221xyabab0)表示的椭圆 .A.有一样的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有一样的顶点.8、椭圆2222:1(0)xyCa
3、bab 的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与C相交于 AB、两点假设3AFFB，则k()A1 B2 C3 D2 9、假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.54 B.53 C.52 D.51 10、假设点 O 和点 F 分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A2 B3 C6 D8-11、椭圆222210 xyaabb 的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值围是()A 0，22 B 0，12 C21，1 D12，1 12
4、 假设直线yxb与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值围是()A.12 2,12 2 B.12,3 C.-1,12 2 D.12 2,3 二、填空题：本大题共 5 小题，共 20 分.13 假设一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则RtPF1F2的面积为.15 F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且DFFB2，则C的离心率为 .16 椭圆22:12xcy的两焦点为12,F F,点00(,)P xy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值
5、围为 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.10 分 点 M 在椭圆221259xy上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且 M 为线段PP的中点，求P点的轨迹方程.18.(12 分)椭圆221(045)45xymm的焦点分别是1F和2F，椭圆的离心率53e 过中心O作直线与椭圆交于 A，B 两点，O为原点，假设2ABF的面积是 20，求：1m的值2直线 AB 的方程 1912 分设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为2
6、 3.求椭圆C的焦距；如果222AFF B,求椭圆C的方程.2012 分设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB.(I)求椭圆 C 的离心率；-(II)如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程.2112 分在平面直角坐标系*Oy 中，点 B 与点 A-1,1关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线*=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？假设存在，求出点
7、P 的坐标；假设不存在，说明理由。22 12 分椭圆22221xyabab0的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 面积为 4.求椭圆的方程；设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，点 A 的坐标为-a，0.i假设4 2AB5|=，求直线 l 的倾斜角；ii假设点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且4QQBA，求y0的值.椭圆参考答案 1.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，
8、B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过B 作 BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由，得，即 k=，应选 B.9 10【解析】由题意，F-1，0，设点 P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，-因为00(1,)FPxy，00(,)OPx y，所以2000(1)OP FPx xy=00(1)OP FPx x203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x ，因为022x，所以当02x 时，OP FP取得最大值222364，选 C。【命题意图】此题考察椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与
9、最值等，考察了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|22abccc|PF|ac,ac 于是2bcac,ac 即acc2b2acc2 222222accacacacc 1112caccaa 或 又e(0,1)故e1,12 答案：D 122010 文数9.假设直线yxb与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值围是 A.12 2,12 2 B.12,3 C.-1,12 2 D.12 2,3 二、填空题：本大题共 4 小题，共 16 分.13 假设一个椭圆长轴的长度.短轴
10、的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是-14 椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则RtPF1F2的面积为.15 2010 全国卷 1 文数(16)F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为 .33【命题意图】本小题主要考察椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考察了数形结合思想、方程思想,此题凸显解析几何的特点：数研究形，形助数，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图，22|BFbca,作1DDy轴于点 D1,则由BF2FD，得 1|2|3OFBFDDBD,所以133|22D
11、DOFc,即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca 又由|2|BFFD,得232,caaa33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,D xy，F 分 BD 所成的比为 2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，代入 222291144cbab，33e 162010 文数15.椭圆22:12xcy的两焦点为12,F F,点00(,)P xy满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值围为_。【答案】2,2 2,0【解析】依题意知，点 P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原
12、点处时12max(|)2 PFPF，当 P 在椭圆顶点处时，取到12max(|)PFPF为 x O y B F 1D D-(21)(21)=2 2，故围为2,2 2.因为00(,)xy在椭圆2212xy的部，则直线0012x xy y上的点*,y均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个.二.填空题：13 35 14 24 15 33 16 2,2 2,0 三.解答题：17.解：设p点的坐标为(,)p x y，m点的坐标为00(,)xy，由题意可知 000022yyxxxxyy 因为点m在椭圆221259xy上，所以有 22001259xy，把代入得2212536xy，所以 P
13、 点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2212536xy的椭圆.18.解：1由53cea，453 5a，得5c，所以222452520mbac 2根据题意21 220ABFFF BSS，设(,)B x y，则1 21212F F BSFFy，12210FFc，所以4y ，把4y 代入椭圆的方程2214520 xy，得3x ，所以B点的坐标为34（，），所以直线AB 的方程为4433yxyx 或 192010 文数 20 本小题总分值 12 分 设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为2
14、 3.求椭圆C的焦距；如果222AFF B,求椭圆C的方程.解：设焦距为2c，由可得1F到直线l的距离32 3,2.cc故-所以椭圆C的焦距为 4.设112212(,),(,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立2222422223(2),(3)4 330.1yxabyb ybxyab得 解得221222223(22)3(22),.33babayyabab 因为22122,2.AFF Byy所以 即2222223(22)3(22)2.33babaabab 得223.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为221.95xy 202010 理数(20)本小题总
15、分值 12 分 设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l的倾斜角为 60o,2AFFB.(III)求椭圆 C 的离心率；(IV)如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程.解：设1122(,),(,)A x yB xy，由题意知1y0，2y0.直线 l 的方程为 3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2 330abyb cyb 解得221222223(2)3(2),33b cab cayyabab 因为2AFFB，所以122yy.-即 2222223(2)3(2)233b ca
16、b caabab 得离心率 23cea.6 分 因为21113AByy，所以22224 315343abab.由23ca得53ba.所以51544a，得 a=3，5b.椭圆 C 的方程为22195xy.12 分 212010 理数 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系*Oy 中，点 B 与点 A-1,1关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于13.()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线*=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明理由。I解：因为点 B
17、与 A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).设点P的坐标为(,)x y 由题意得111113yyxx 化简得 2234(1)xyx.故动点P的轨迹方程为2234(1)xyx II解法一：设点P的坐标为00(,)xy，点M，N得坐标分别为(3,)My,(3,)Ny.则直线AP的方程为0011(1)1yyxx，直线BP的方程为0011(1)1yyxx 令3x 得000431Myxyx，000231Nyxyx.于是PMN得面积 又直线AB的方程为0 xy，|2 2AB，-点P到直线AB的距离00|2xyd.于是PAB的面积 当PABPMNSS时，得20000020|(3)|1|xyx
18、xyx 又00|0 xy，所以20(3)x=20|1|x，解得05|3x。因为220034xy，所以0339y 故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.解法二：假设存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为00(,)xy 则11|sin|sin22PAPBAPBPMPNMPN.因为sinsinAPBMPN,所以|PAPNPMPB 所以000|1|3|3|1|xxxx 即 2200(3)|1|xx，解得0 x53 因为220034xy，所以0339y 故存在点PS 使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为533(,)39.222010*文数 21
19、 本小题总分值 14 分 椭圆22221xyabab0的离心率 e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.求椭圆的方程；设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，点 A 的坐标为-a，0.i假设4 2AB5|=，求直线 l 的倾斜角；-ii假设点 Qy0（0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y0的值.【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等根底知识，考察用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考察综合分析与运算能力.总分值 14 分.解：由 e=32ca，得2234ac.再由222cab，解得
20、a=2b.由题意可知12242ab，即 ab=2.解方程组2,2,abab得 a=2，b=1.所以椭圆的方程为2214xy.()(i)解：由可知点 A 的坐标是-2,0.设点 B 的坐标为11(,)x y，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k*+2.于是 A、B 两点的坐标满足方程组22(2),1.4yk xxy消去 y 并整理，得 2222(14)16(164)0kxk xk.由212164214kxk，得2122814kxk.从而12414kyk.所以22222222844 1|2141414kkkABkkk.由4 2|5AB，得224 14 2145kk.整理得42329
21、230kk，即22(1)(3223)0kk，解得 k=1.所以直线 l 的倾斜角为4或34.ii解：设线段 AB 的中点为 M，由i得到 M 的坐标为22282,1414kkkk.以下分两种情况：1当 k=0 时，点 B 的坐标是2,0，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 002,2,.QAyQBy 由4QA QB，得y2 2 0。-2当0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为2222181414kkyxkkk。令0 x，解得02614kyk。由02,QAy，110,QBx yy，42224 16151414kkk，整理得272k。故147k 。所以02 145y 。综上，02 2y 或02 145y