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1、朱老师初二（上）数学辅导讲义-1-第三讲 全等三角形的相关模型 【要点梳理】要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论:（1）ABD AEC （2）+BOC=180 （3）OA 平分BOC 变形：要点二:角平分线模型 特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：（1）AFGAEG （2）FG=GE 变形：朱老师初二（上）数学辅导讲义-2-要点三:半角模型 特点：结论：（1）MN=BM+DN （2）CMN 的周长=2AB (3）AM、AN 分别平分BMN 和DNM 变形：要点四:等腰直角三角形模型 1.在斜边上任取一点的旋转全等 操作过程：（1）将A
2、BD 逆时针旋转 90，使ACMABD，从而推出ADM 为等腰直角三角形.（2)过点 C 作 BCMC，连 AM 导出上述结论 2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等 操作过程：连 AD。(1)使 BF=AE（或 AF=CE），导出BDFADE（2）使EDF+BAC=180，导出BDFADE 3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：要点五：双垂直模型 特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。结论：若 AD=BD,则 BH=AC 变形:1=2,则 AE=AF 1=2,BAP=DAP，则 AE=AF，APCF 朱老师初二（上）数学辅导讲义-3-要点六：三垂直模型 特点：图形中包
3、含三条垂线，且有一组边。结论:（1）ABEBCD （2）ED=AE-CD 变形:要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法 1。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。2。遇到三角形的中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3。遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线;(2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线
4、上的某点作边线,构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。4。过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5。截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6.已知某线段的垂直平分线,可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。7。在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。【典型
5、例题】例 1（手拉手模型）：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ABC、CDE 是等边三角形，请你证明：。（1）AD=BE （2）ACB=AOB （3）PCQ 为等边三角形 (4)PQAE （5）AP=BQ （6）CO 平分AOE （7)OA=OB+OC （8）OE=OC+OD 朱老师初二（上）数学辅导讲义-4-例 2（角平分线模型)：如图，已知1=2，3=4，求证：AP 平分BAC.举一反三:1、如图,在四边形 ABCD 中,BCAB，AD=CD,BD 平分 BAC，求证A+C=180 2、如图，在ABC 中,ABC=3C，AD 是BAC 的平分线,BEAD 于 F.求证：3、ABC 中，B
6、AC=60,C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P,BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。例 3（半角模型)：在正方形 ABCD 中,若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MN=BM+DN，求证：MAN=45;CMN 的周长=2AB；AM、AN 分别平分BMN 和DNM 举一反三：1、在正方形 ABCD 中,已知MAN=45,若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动：试探究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系;求证:AB=AH。朱老师初二（上）数学辅导讲义-5-2、在四边形 ABCD 中,B+D=180，AB=AD，若 E、F 分别在边
7、BC、CD 且上，满足 EF=BE+DF。求证:例 4(等腰直角三角形模型）：等腰直角ABC 中，BAC=90，点 M、N 在斜边 BC 上滑动，且MAN=45，试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系.举一反三:1、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置,E、A、C 三点在一条直线上,连接 BD，取 BD 的中点 M，连接 ME、MC，试判断EMC 的形状,并证明你的结论。2。如图，在等腰直角ABC 中,AC=BC，ACB=90,P 为ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC.求证：BCP=15 例 5(双垂线模型):如右图，ABC 中，ABC=45
8、，AC=4,H 是高 AD 和 BE 的 交点，则线段 BH 的长度为 .举一反三:1、如图 141,在ABC 中，BC 边在直线 L 上，ACBC,且 AC=BC.EFP 的边 FP 也在直线 L 上,边 EF 与 AC 重合，且 EF=FP。（1）猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系;(2）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP、BQ，则 BQ 与 AP 满足什么样的数量关系和位置关系,请猜想并证明；（3）将EFP 沿直线 L 向左平移至图 14-3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接 AP、BQ
9、，你认为（2)中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和朱老师初二（上）数学辅导讲义-6-位置关系还成立吗？例 6（三垂线模型):如图所示，在ABC 中,AB=AC，BAC=90,D 为 AC 中点，AFBD 于 E，交 BC 于 F，连接 DF.求证:ADB=CDF。举一反三:1、如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F,连接 NF。求证：ADB=CDF；BM=AF+FN 2、如图所示，在ABC 中，AB=AC，AM=CN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF，并分别延长 BM和 FN 交于点 P。求证:PM=PN；PBPF+AF 【巩固练习
10、】1、如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，BC=CD，,求证:AC 平分 BAD.朱老师初二（上）数学辅导讲义-7-2、如图,ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证:BE=CF 3、如图所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F 为垂足，DEAB 于 E,并且 ABAC。求证:BEAC=AE。4、如图,D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。5、如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，B
11、D 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E.求证:BD=2CE。6、如图，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D，且 AB=AD,作 CMAD 的延长线与 M，求证：7、如图，在ODC 中，D=90，CE 是DCO 的角平分线，且 OECE，过点 E 作 FFOC 交 OC于点 F,猜想：线段 OD 与 EE 之间的关系,并证明。朱老师初二（上）数学辅导讲义-8-8、如图，BD、C E 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 ADBD,AECE，垂足分别是 D、E，连接 DE。求证：（1）DEBC，且(2）若 BD、CE 分别是ABC
12、 的内角平分线(如图 2)，其他条件不变，则线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量关系?（3）若 BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线（如图 3），则线段 FG 与ABC三边又有怎样的数量关系？9、如图，在ABC 中，AD 是 BAC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由.10.如图，RtABC 中，AB=AC，BAC=90,O 为 BC 中点,若 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持 AN=CM。(1）判断OMN 的形状,并证明你的结论.（2)当 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形 AMON 的面积如何变化？11.在正方形 ABCD 中，BE=3，EF=5，DF=4,求BAE+DCF=？13.如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=2ABC，P 为ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC。求朱老师初二（上）数学辅导讲义-9-证：2=21 14.如图，在四边形 ABCD 中，B=D=90,AB=AD，若 E、F 分别在边 BC、CD 上的点，且 求证:EF=BE+DF。15.如图 ADBC,ABE 和CDF 是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形 AEDF 的面积。