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1、1 / 22【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-79-7 抛物线教师用书抛物线教师用书1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2
2、yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】2 / 221抛物线 y22px (p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax 的焦点坐标为，准线方程为 x.3设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦【思考辨析】判断下列结论是否正确(请
3、在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是 x.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F(，0)的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( )1(2016四川)抛物线 y24x 的焦点坐标是( )A(0,2) B(0,1)C(2,0) D(1,0)3 / 22答案 D解析 对于抛物线 y2ax，其焦点坐标为，
4、对于 y24x，焦点坐标为(1,0)2(2016金华一诊)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|等于( )A9 B8 C7 D6答案 B解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.3设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,2C1,1 D4,4答案 C解析 Q(2,0)，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k
5、2x2(4k28)x4k20，由 (4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.4(2016合肥模拟)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆x2y26x70 相切，则 p 的值为_答案 2解析 抛物线 y22px(p0)的准线为 x，4 / 22圆 x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半径为 4.又因为抛物线 y22px(p0)的准线与圆 x2y26x70 相切，所以 34，解得 p2.题型一 抛物线的定义及应用例 1 (1)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B
6、1 C. D.7 4(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_答案 (1)C (2)4解析 (1)|AF|BF|xAxB3，xAxB，线段 AB 的中点到 y 轴的距离为.(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.引申探究1若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部5 / 22|PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，|PB|PF|BF|42
7、222，即|PB|PF|的最小值为 2.2若将本例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l的方程为 xy50，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1d2 的最小值解 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)点 P 到 y 轴的距离 d1|PF|1，所以 d1d2d2|PF|1.易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2|PF|的最小值为3，所以 d1d2 的最小值为 31.思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 “看到准
8、线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_答案 5解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到 F 的距6 / 22离于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点 1 求抛物线的标准方程例 2 已知双
9、曲线 C1：1(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( )Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案 D解析 1 的离心率为 2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1 的渐近线方程为 yx，即yx.由题意得2，p8.故 C2 的方程为 x216y.命题点 2 抛物线的几何性质例 3 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；7 / 22(3)以 AB 为直径的圆与抛
10、物线的准线相切证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)由题意可设直线方程为 xmy，代入 y22px，得 y22p，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y2px1，y2px2，所以 yy4p2x1x2，所以 x1x2.(2)1x2p2.因为 x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切思维升华 (1)求抛物
11、线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如8 / 22此(1)(2016全国乙卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则C 的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D8(2)(2016昆明三中、玉溪一中统考)抛物线 y22px(p0)的焦点为F，已知点 A、B 为抛物线上的两
12、个动点，且满足AFB120.过弦AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的最大值为( )A. B1 C. D2答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线 C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0,2)， ，点 A(x0,2)在抛物线 y22px 上，82px0，点 A(x0,2)在圆 x2y2r2 上，x8r2，点 D 在圆 x2y2r2 上，52r2，联立，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.(2)设|AF|a，|BF|b，分别过 A、B 作准线的垂线，垂足分别为Q、P，由抛物线的定义知，|AF|AQ|
13、，|BF|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|BP|ab.9 / 22|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.又 ab()2，所以(ab)2ab(ab)2(ab)2(ab)2，得到|AB|(ab)，所以，即的最大值为.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点 1 直线与抛物线的交点问题例 4 已知抛物线 C：y28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k的直线与 C 交于 A、B 两点若0，则 k_.答案 2解析 抛物线 C 的焦点为 F(2,0)，则直线方程为 yk(x2)，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k28)x4k20.设点A(
14、x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x24，x1x24.所以 y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得 k24k40，所以 k2.命题点 2 与抛物线弦的中点有关的问题例 5 (2016全国丙卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于10 / 22x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q两点(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ；
15、(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程(1)证明 由题意知，F，设 l1：ya，l2：yb，则 ab0，且 A，B，P，Q，R.记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1bk2.所以 ARFQ.(2)解 设过 AB 的直线为 l，设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以 x11，x10(舍去)设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由
16、 kABkDE 可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)，所以，所求轨迹方程为 y2x1(x1)思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系11 / 22(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” 、 “整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(2016天津模拟
17、)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为，求直线 l 的斜率；(2)设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不垂直于 x 轴，若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值(1)解 由已知，得 x4 不合题意，设直线 l 的方程为 yk(x4)，由已知，得抛物线 C 的焦点坐标为(1,0)，因为点 F 到直线 l 的距离为，所以，解得 k，所以直线 l 的斜率为.(2)证明 设线段 AB 中点的坐标为 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 AB 不垂直于 x 轴，则直线 MN 的斜率为，
18、直线 AB 的斜率为，12 / 22直线 AB 的方程为 yy0(xx0)，联立方程Error!消去 x 得(1)y2y0yyx0(x04)0，所以 y1y2，因为 N 是 AB 中点，所以y0，即y0，所以 x02，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.7直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (14 分)已知抛物线 C：ymx2(m0)，焦点为 F，直线2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标；(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR ,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值；(3)是
19、否存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由思维点拨 (3)中证明0.规范解答解 (1)抛物线 C：x2y，它的焦点 F(0，)3 分(2)|RF|yR，23，得 m.5 分(3)存在，联立方程Error!消去 y 得 mx22x20，依题意，有 (2)24m(2)0m.7 分13 / 22设 A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P 是线段 AB 的中点，P(，)，即 P(，yP)，Q(，)9 分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx
20、)0，12 分结合(*)化简得40，即 2m23m20，m2 或 m，而 2(，)，(，)存在实数 m2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形14 分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出 0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于 x1x2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1(2016太原模拟)若抛物线 yax2 的焦点坐标是(0,1)，则 a 等于( )A1 B. C2 D.1 4答案 D解析 因为抛物线的标
21、准方程为 x2y，14 / 22所以其焦点坐标为(0，)，则有1，a，故选 D.2(2016浙江统一检测)已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，如果12，那么抛物线 C 的方程为( )Ax28y Bx24yCy28x Dy24x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去 x 得 y22pmyp20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线 C 的
22、方程为 y28x.3已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案 B解析 y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx，15 / 22即 xy，将其代入 y22px，得 y22pyp2，即 y22pyp20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22p，p2，抛物线的方程为 y24x，其准线方程为 x1.4(2016绵阳模拟)已知直线 l1：4x3y60 和直线l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线
23、 l1 和 l2 的距离之和的最小值为( )A. B. C3 D2答案 D解析 直线 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则点 P 到直线 l2：x1 的距离等于|PF|，过点 F 作直线 l1：4x3y60 的垂线，和抛物线的交点就是点 P，所以点 P 到直线 l1：4x3y60 的距离和直线 l2：x1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值为2，故选 D.5(2016九江一模)过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，交抛物线的准线于点 C，若|AF|6，则 的值为( )A.
24、B. C. D3答案 D16 / 22解析 设 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则 x126，解得 x14，则 y14，则直线 AB 的方程为 y2(x2)，令 x2，得 C(2，8)，联立Error!解得或Error!则 B(1，2)，|BF|123，|BC|9，3，故选 D.*6.(2016济南模拟)已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k 的值为( )A. B. C. D.2 3答案 C解析 抛物线 C 的准线为 l：x2，直线 yk(x2)恒过定点 P(2，0)，如图，过 A
25、，B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，由|FA|2|FB|，得|AM|2|BN|，从而点 B 为 AP 的中点，连接 OB，则|OB|AF|，所以|OB|BF|，从而点 B 的横坐标为 1，点 B 的坐标为(1,2)，所以 k，故选 C.7设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A，B 两点，则|AB|_.答案 1217 / 22解析 焦点 F 的坐标为，方法一 直线 AB 的斜率为，所以直线 AB 的方程为 y，即 yx，代入 y23x，得 x2x0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，所以|AB|x1x2p12.方法二 由抛
26、物线焦点弦的性质可得|AB|12.8已知抛物线 C：y22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p_.答案 2解析 如图， 由 AB 的斜率为，知60，又，M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P，则ABP60，BAP30，|BP|AB|BM|.M 为焦点，即1，p2.9已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|_.答案 618 / 22解析 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，准线方程为 x2.设椭
27、圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得 a4，b216412.故椭圆方程为1.把 x2 代入椭圆方程，解得 y3.从而|AB|6.*10.设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是_答案 (2,4)解析 如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条当 k 存在时，x1x2，则有2，又 y1y22y0，所以 y0k2.由
28、CMAB，得 k1，即 y0k5x0，因此 25x0，x03，即 M 必在直线 x3 上将 x3 代入 y24x，19 / 22得 y212，则有24(为保证有 4 条，在 k 存在时，y00)，所以 40)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，以A(x1，y1)(x10)为直角顶点的等腰直角ABC 的三个顶点 A，B，C均在抛物线 E 上(1)过 Q(0，3)作抛物线 E 的切线 l，切点为 R，点 F 到切线 l 的距离为 2，求抛物线 E 的方程；(2)求ABC 面积的最小值解 (1)设过点 Q(0，3)的抛物线 E 的切线 l：y
29、kx3，联立抛物线 E：x22py(p0)得 x22pkx6p0，4p2k246p0，即 pk26.点 F(0，)，点 F 到切线 l 的距离 d2，化简得(p6)216(k21)，(p6)216(1)，p0，p60，得 p26p16(p8)(p2)0，p2，因此抛物线 E 的方程为 x24y.(2)已知直线 AB 不会与坐标轴平行，设直线 AB：yy1k(xx1)(k0)，B(xB，yB)，联立抛物线方程得 x22pkx2p(kx1y1)0，则 x1xB2pk，则 xB2pkx1，同理可得 xCx1.|AB|AC|xBx1|xCx1|21 / 22k(xBx1)x1xCx1，|AB|xBx1
30、|(2pk2x1)2p.2，k21 k22k1 (当且仅当 k1 时等号成立)，故|AB|2p，ABC 面积的最小值为 8p2.*13.如图，由部分抛物线：y2mx1(m0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C” ，若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和(，)(1)求“黄金抛物线 C”的方程；(2)设 P(0,1)和 Q(0，1)，过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A，P，B 三点，问是否存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解 (1)“黄金抛物线 C”过点(3,2)和(，)，r2()2()21,43m1，m1.“黄金抛物线 C”的方程为 y2x1(x0)和 x2y21(x0)(2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx1，联立消去 y，得 k2x2(2k1)x0，xB，yB，即 B(，)，kBQ，22 / 22联立消去 y，得(k21)x22kx0，xA，yA，即 A(，)，kAQ，QP 平分AQB，kAQkBQ0，0，解得 k1，由图形可得 k1应舍去，k1，存在直线 l：y(1)x1，使得 QP 平分AQB.