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1、1 / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习难点精选高考数学二轮复习难点 2-82-8 立体几何中的折叠问题立体几何中的折叠问题最值问题和探索性问题教学案理最值问题和探索性问题教学案理对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨1 1 立体几何中的折叠问题立体几何中的折叠问题折叠问题是立体几何的两个重要问
2、题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系.折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.例例【黑龙江省黑龙江省市市 20182018 届期末联考届期末联考】如图所示，平面图形中，其中矩形的如图所示，平面图形中，其中矩形的边长分别为，边长分别为， ，等
3、腰梯形的边长分别为，等腰梯形的边长分别为， . .现将该平面图形沿着折叠，使梯形现将该平面图形沿着折叠，使梯形与矩形垂直，再连接，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：与矩形垂直，再连接，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：ABCDFEABCD3AB 8BC ADFE5AE 2EF ADADFEABCD,BE CF（1）证明： ； ABDF2 / 8（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.ABECDF思路分析：（思路分析：（1 1）因为，根据面面垂直的性质，可证明平面，即可证明结论；）因为，根据面面垂直的性质，可证明平面，即可证明结论；（2 2）建立空间直角坐标系，求
4、平面的法向量及平面的法向量，利用法向量夹角）建立空间直角坐标系，求平面的法向量及平面的法向量，利用法向量夹角即可求出即可求出. .ABADAB ADFEABECDF解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， （1）则， ， ， ， ， .， ， ，0,0,0O0, 3,0A3, 3,0B0,5,0D0,2,4F0,0,4E3,0,0AB 0, 3,4DF AB DF 3 0030 40 .ABDF（2）设平面的法向量为，则，即，ABE, ,vx y z0, 0v AB v AE 30, 340x yz 不妨取，则.同理可得平面的法向量为.4y 0, 4,3v CDF0,4,3u cos,v uv
5、uv u .二面角的角的余弦值为.0 0443 37 5 525 APBC7 25点评：本题考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体.如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还3 / 8要正确识别出折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题这正是折叠问题的价值之所在在求二面角时，如果根据定义要作出二面角的平面角，并证明，然后计算，要求较高，一般是寻找图形中的两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，用空间向量法来求
6、这个角设分别是平面的法向量，设二面角的大小为，则用这种方法求解时要注意判断二面角的大小，即判断二面角是锐角不是钝角12,n n , l 12 1212cos,cosn nn n n n 2 2 立体几何中的最值问题立体几何中的最值问题解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序
7、思考，基本可以找到解题的途径例例 2 2 在四棱锥中，设底面是边长为在四棱锥中，设底面是边长为 1 1 的正方形，面的正方形，面. .PABCDABCDPA ABCD（1）求证：；PCBD（2）过且与直线垂直的平面与交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小.BDPC PCEEBCDEBDC思路分析：（思路分析：（1 1）要证线线垂直，可利用线面垂直的性质定理，即先证线面垂直，）要证线线垂直，可利用线面垂直的性质定理，即先证线面垂直，题中由正方形有，由已知线面垂直有，从而可证与平面垂直，从而得证题设结题中由正方形有，由已知线面垂直有，从而可证与平面垂直，从而得证题设结论；（论；（2 2）求二
8、面角，一般建立空间直角坐标系，用空间向量法求解，题中有两）求二面角，一般建立空间直角坐标系，用空间向量法求解，题中有两4 / 8两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，由三棱锥体积最大时，求得的两垂直，以他们为坐标轴建立空间直角坐标系，由三棱锥体积最大时，求得的长，然后写出各点坐标，同时计算出点坐标，求得平面和平面的法向量，求出长，然后写出各点坐标，同时计算出点坐标，求得平面和平面的法向量，求出法向量夹角，可观察出此二面角为锐角，从而得二面角法向量夹角，可观察出此二面角为锐角，从而得二面角BDACBDPABDPAC,AB AD APEBDCPAEEBDCBD， ， ，得，设是平面的一个法向量
9、， ， ，则，得.又是平面的一个法向量，二面角为.( , , )E x y zPEPC BEPC 3 43 32( ,)4 44E( ,)nx y z EBD( 1,1,0)BD 1 32(,)4 44BE 00n BDn BE (1,1,2)n (0,0,2)AP BCD2cos,2n AP EBDC4点评：立体几何中经常碰到求最值问题，不少学生害怕这类问题，主要原因是难以将立体几何问题转化为平面几何问题或代数问题去求解，对立体几何的最值问题，一般可以从两方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值解题途径
10、很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等3 3 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题5 / 8探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要
11、耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的例例 3【3【市市区区 20182018 届期末届期末】在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面， 分别分别是的中点，是的中点， ， . .PABCDABCDPA ABCD,E F,AB PC2PAAD2CD （）求证： 平面；|EFPAD（）求与平面所成角的正弦值；PCEFD（）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.BCMPAM EFDBM BC思路分析：（思路分析：（）根据中位线定理得，）根据中位线定理得， ，所以为平行四边形，进而可证平面；，所以为平
12、行四边形，进而可证平面；（）建立直角坐标系，）建立直角坐标系， ，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求解即可；（解即可；（）设上存在一点，则，令，求解即可）设上存在一点，则，令，求解即可. ./AE FGAEFGAEFG/EFPADAxyz0,1,1EF EFDnPCEFDsincos,PC nPC nPCn BCM2, ,00,2Mtt0AM ED 试题解析：（）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以， PDG,AG FG,F G,PC PD/FG CD6 / 8（）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在
13、一点，则，所以.因为，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.PA ABCDBCMDEAMPAM EFDBCM2, ,00,2Mtt2, ,0AMt 2,2,02ED 0AM ED 120t 1 2t BCMPAM EFD1 4BM BC7 / 8点评：本题考查线面平行的判定，考查了直线与平面所成的角和直线与平面平行的判定，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题把线面的关系转化为向量之间的关系，直线与平面所成的角的正弦值即直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值；线平行于面即线的方向向量与面的法向量垂直，等价于其数量积为.探索性题型通常
14、是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：通过各种探索尝试给出条件;找出命题成立的必要条件，也证明了充分性0综合以上三类问题，折叠与展开问题、最大值和最小值问题和探究性问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛折叠与展开问题是立体几何的一对问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；求最值的途径很多，其中运用公理与定义法、利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是常用的一些求最值的方法；对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在另外对于立体几何中的上述三种问题有时运用空间向量的方法也是一种行之有效的方法，能使问题简单、有效地解决解答这些问题，需要主观的意志力，不要见到此类问题先发怵，进行消极的自我暗示，要通过一些必要的练习，加强解题信心的培养，确定解题的一般规律，积极的深入分析问题的特征，进而实现顺利解答8 / 8