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1、 北师大版腰三角形直角三角形教案 Revised by Petrel at 2021 九年级上数学北师大版（2）等腰三角形、直角三角形 一、同步辅导：等腰三角形、直角三角形 1、等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.2、等腰三角形和等边三角形的性质和判定。性质 判 定 等腰三角形 1.由定义可得：等腰三角形两个腰相等。2.定理：等腰三角形的两个底角相等。(同一三角形中,等边对等角)3.定理推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高线互相重合。4.对称性，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。（底
2、边的中垂线）1.用定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。即同一三角形中，等角对等边。等边三角形 1.由定义可得：三边相等。2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于 60。3.对称性：等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴，即三条边的垂直平分线。4.具有等腰三角形的所有性质。1.由定义：三边都相等的三角形是等边三角形。2.定理推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。3.定理推论：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。直角三角形 1.直角三角形中两个锐角互余。2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角
3、边等于斜边的一半。3.勾股定理：直角三角形两直角边 a，b的平方和等于斜边 c的平方，即a2+b2=c2 4.直角三角形全等的判定方法除了常用的以外,还有 HL.1.由定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有下面关系：a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。二、例题精讲：说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.例 1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245,求它的顶角的度数.分析:这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.解:
4、(一)设这个等腰三角形的顶角为 x,根据同一三角形中等边对等角,则它的一个底角为，这个顶角的外角为，底角的外角为180-.由题意可得:(180-x)+180-(180-x)=245 180-x+180-90+x=245 -x=245-270 x=50 答:这个三角形顶角为 50.解:(二)设顶角为 x,底角为 y,顶角外角为(180-x),底角外角为(180-y).由三角形内角和定理可得:x+2y=180 由题意可得:(180-x)+(180-y)=245,x+y=115,解方程组得 答:这个三角形顶角为 50.例 2.等腰三角形中的一个内角为 50,求另外两个角的度数.分析:等腰三角形的顶角
5、可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个 50的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.解:若顶角为 50时,由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65.三角形另外两个角都为 65,若底角为 50,则另一底角也为 50,由内角和又可求另一角为 180-(250)=80。三角形另外两个角一个为 50,另一个为 80.例 3.等腰三角形的两边长分别为 25cm 和 13cm.求它的周长.分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为 25cm 和 13cm,有可能腰为 25cm 或
6、 13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论.解:(1)若腰长为 25cm 时,则另一腰也为 25cm,底边长为 13cm.等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)(2)若底边长为 25cm 时,则腰长为 13cm,等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.2.若等腰三角形两边长为 25cm和 12cm,求三角形周长时,腰长只能为 25cm,周长只能为 62cm.若腰长为 1
7、2cm,则两腰长的和 24cmBC 符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=BC,也符合题意.若 AB+ACBC 时应将这解舍去.例 5.如图 AB=AC，D是 AE上一点，且 BD=DC。求证：AEBC。分析：由 AB=AC 可知 ABC 是等腰三角形应联想它的性质，要证明 AEBC 须证 AE平分BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得 ABDACD，得出1=2，再由性质证出 AEBC。证明：在 ABD 和 ACD中，ABDACD（SSS）1=2（全等三角形的对应角相等）又AB=AC（已知）AEBC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。例 6.如图在 ABC 中，
8、AB=AC，E在 BA 延长线上，且 AE=AF，求证：EFBC。分析：要证明 EFBC 不大好入手，但是否可以找到一条垂直于 BC 的直线，再证 EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰 ABC，BC 边的中线、高线与BAC 的平分线三线合一。证明：作A的平分线 AD交 BC 于 D，延长 EF交 BC 于 M，ABC 中，AB=AC（已知），ADBC 于 D （等腰三角形顶角平分线是底边的高线）BAC 是 AEF的外角（如图）BAC=3+4 （三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）AE=AF（已知）3=4（同一三角形中等边对等角）BAC=24（等式性质）4=BAC，又2=1（作
9、图），2=BAC（角平分线定义）2=4（等量代换）AD图ABC 是等边三角形,ADE是以 AD,AE为腰的等腰三角形,DAE=80,BAD=15,求CAE 和EDC 的度数.分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是 60的条件.这样可以从DAC=BAC-BAD求得DAC 度数,也就求得了CAE的度数.又可由ADE为等腰三角形,则ADE=(180-DAE),以及ADC 是ABD 的外角,也可求得EDC 的度数.解:ABC 为等边三角形(已知)B=BAC=60(等边三角形的每一个角为 60)2=BAC-1(全量等于部分之和)1=15(已知)2=60-15=45(等式性质)又3
10、=DAE-2(全量等于部分之和)DAE=80(已知)2=45(已求)3=80-45=35(等式性质),即CAE=35 在ADE中,AD=AE(已知)ADE=AED(同一三角形中,等边对等角)又ADE+AED+DAE=180(三角形内角和定理)ADE=(180-DAE)=(180-80)=50(等式性质)ADC 是ABD 外角,1=15 B=60(已求)ADC=1+B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和),=15+60=75(等式性质)EDC=ADC-ADE(全量等于部分之和)=75-50(等量代换)=25 答:CAE为 35,EDC 为 25.例 8.如图,在直角ABC 中,BAC=90,D
11、,E 在 BC 上,且 BE=AB,CD=AC,求DAE的度数.分析:如图（1）先观察DAE在图形中的位置,首先,DAE是ADE 的内角,则DAE=180-(1+2),而1,2 又分别是等腰ABE和等腰ADC 的底角,又可从中找到1,2 与B,C 的关系,又B+C=90,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得DAE.解:(一)BE=AB(已知)1=BAE(同一三角形中,等边对等角)1+BAE+B=180(三角形内角和定理)1=(180-B)(等式性质)同理可求2=(180-C)在ADE中,DAE=180-(1+2)(三角形内角和定理)DAE=180-(180-B)+(180-C)(等量代
12、换)=180-(180-B-C)=(B+C)又BAC=90(已知)BAC+B+C=180(三角形内角和定理)B+C=180-90=90(等式性质)DAE=(B+C)(已证)=90(等量代换)=45 答:DAE的度数为 45.解法二：分析：如图（2）由上可知DAE 与1、2是 AED 的三个内角，同时DAE与3 和4 又能组成直角，且2=DAC，1=BAE，都与EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。解：设EAD=x,3=y,4=z,CA=CD（已知）CAD=2（同一三角形中等边对等角）CAD=2=x+y,又AB=BE（已知），1=EAB（同一三角形中，等边对等角）EAB=1=
13、x+z,EAD+1+2=180(三角形内角和定理)，x+(x+z)+(x+y)=180,即 3x+y+z=180,又3+EAD+4=CAB（全量等于部分之和），即 y+x+z=90,由（2）-（1）2x=90,x=45,答：EAD为 45。例 9.如图在 ABC 中，A，B的外角平分线分别交对边 CB、AC 的延长线于D，E且 AD=AB=BE，求BAC 的度数。分析：题目的已知条件中，没有出现一个角的具体数值，却有着相当多的角的关系：两个等腰三角形，两个外角平分线。点B的周围是这些角的汇集处。可以从两个方面分析，向点 B集中。为了使思维清楚表达方便，设BAC=x，从BAD出发，通过 AD是
14、ABC 外角的平分线以及 ABD是等腰三角形，可用 x 表示ABD。而另一个方向是从BAC 出发，通过 ABE是等腰三角形，BE是 ABC 外角平分线，用 x表示CBF，最终通过对顶角ABD=CBF 关系，列出关于 x 的方程，解得 x，即求出BAC。解：设BAC=x,BAG是 ABC 外角，BAG=180-x（平角定义），AD是BAG 平分线（已知），DAB=BAG（角平分线定义），DAB=(180-x)=90-x（等式性质）ABD中，AB=AD（已知）ABD=D（同一三角形中等边对等角）又D+ABD+DAB=180（三角形内角和定理），ABD=D=(180-DAB)（等式性质）=180-(
15、90-x)（等量代换）=45+AB=BE（已知），BAE=E（同一三角形中等边对等角），E=x（等量代换），FBE是 ABE 外角（如图），FBE=BAE+E（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和），=2x（等式性质），BE是CBF的角平分线（已知），FBC=2FBE（角平分线定义）=2(2x)=4x(等式性质)，ABD=FBC（对顶角相等），45+=4x(等量代换)，解方程得 x=12,答：BAC 的度数为 12。例 10、求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。说明：此题是文字题，把文字题“翻译”成“已知”，“求证”等符号语言，是我们这段学习中应当掌握的。已知：ABC 中，AB=
16、AC，BDAC 于 D。求证：DBC=BAC。分析：要证明DBC=BAC，则需找出一个角使它等于DBC 的二倍，再证其与BAC 相等。因此以 BD为一边，以 B为顶点，在 BD另一旁作EBD=CBD，得EBC=2CBD，再证EBC=BAC。证法（一）：以BD 为一边，以 B为顶点，在 BD的另一旁作 EBD=CBD，BE交 AC 于 E，EBC=2CBD，BDAC 于 D（已知），EDB=90，BDC=90（垂直定义），EDB=BDC（等量代换），在 BED和 BCD 中，BEDBCD（ASA）BEC=C（全等三角形对应角相等）在 EBC 中，EBC=180-BEC-C（三角形内角和定理），E
17、BC=180-2C（等式性质），又AB=AC（已知），ABC=C（同一三角形中等边对等角），A=180-ABC-C（三角形内角和定理），A=180-2C（等式性质），EBC=A（等量代换），EBC=2DBC（已证），A=2DBC（等量代换），DBC=BAC（等式性质）。方法（二）：分析要证明CBD=BAC，则需找一个角使它等于BAC，再证其与DBC 相等，作BAC 平分线 AF得到2=BAC，由 AB=AC AFBC，由DBC=90-C，2=90-C 2=DBC，即DBC=BAC。方法（三）：分析：直接应用定理进行计算出 BAC=180-ABC-C=180-2C=2(90-C)，又因为 DBC
18、=90-C，可证出DBC=BAC。方法（四）：类似法（一）如图作 CBE=DBC，BE 交 AC 延长线于 E，很容易推出ACB=2+E，ABC=1+3 3=E，由垂直条件 3+A=90，1+2+E=90，则1+2=A，DBC=A。说明：证明一个角等于另一个角的二倍或一半时，常用以下几种方法：（1）先作一个角等于小角的二倍，再证其与大角相等（如法一，法四）（2）先作一个角等于大角的一半，再证其与小角相等（如法二）（3）运用代数运算来推导（如法三）研究与探讨：如果一个等腰三角形可以被一条直线分割成两个较小的等腰三角形，那么这样的等腰三角形共有几个？这条直线怎样画？讨论所有可能的情况，并画出图形
19、分析与解：我们常见的此类等腰三角形有顶角为 90的等腰直角三角形，所以第一种如图（1），但是怎样能够把所有的情况都考虑到？需要利用分类讨论的思想。设原等腰三角形中 AB=AC。因为等腰三角形被直线分成两部分仍旧分别是等腰三角形，所以这条直线一定经过三角形的顶点，并和对边相交。可以分类讨论：1）直线经过等腰三角形的顶角顶点，将底边分成两截线段。这时，新构成的等腰三角形有两种情况，如图（1）（2）。图（1）中 AD=BD=CD，图（2）中 AB=BD AD=DC 2）直线经过等腰三角形的底角顶点，将其中一腰分成两截线段。新构成的等腰三角形有两种情况，如图（3）（4）。图（3）中 AD=CD=BC
20、图（4）中 AD=BD BC=CD 研究探讨：以上共四种情况，你能不能分别求出原来等腰三角形的顶角度数分别是多少 提示：可以利用等腰三角形中角的关系，用方程的思想求出顶角度数。分别为90、108、36、.练习：（上海市中考题）如图，公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且QPN=30，点 A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看 A到公路
21、的距离是否小于 100m,小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解：作 ABMN，垂足为 B。在 RtABP 中，ABP=90，APB=30，AP=160，AB=AP=80。（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A到直线 MN的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿 PN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么 AC=100(m)，由勾股定理得：BC2
22、=1002-802=3600,BC=60.同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m),BD=60(m),CD=120(m).拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s t=120m5m/s=24s.答略。小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理.三、同步测试 选择题 1等腰三角形周长 12厘米，其中一边长 2 厘米，其他两边分别长（）。A、2 厘米、5 厘米 B、5 厘米、5 厘米 C、5 厘米、5 厘米或 2厘米、2 厘米 D、无法确定 2等腰三角形一腰上的高与底边夹角是 60，则顶角
23、的度数为（）A、60 B、120 C、90 D、30 3等腰三角形 ABC 中，A=90，在底边 BC 上截取 BD=AB，过 D作 DEBC交 AC 于 E，连 AD，则图中等腰三角形的个数应是（）A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个 4下列说法中，正确的是（）A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 B、一个等腰三角形一定是锐角三角形 C、一个直角三角形一定不是等腰三角形 D、一个等边三角形一定不是钝角三角形 5下列命题中错误的是（）A、直角三角形中，任一直角边的中线小于斜边 B、等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半 C、到直角三角形三顶点距离相等的点一定在斜边的中点上 D、有两个锐
24、角对应相等的两个直角三角形全等 6如图已知：ABC 中，ACB=90，且 BC=BD，AC=AE，则DCE 的度数为（）。A、45 B、60 C、50 D、30 7过直线 l 外一点 A，作 l 的垂线，下列作法中正确的是（）。A、过 A 作 ABl 于 B，则线段 AB即为所求 B、过 A 作 l 的垂线，垂足是 B，则射线 AB 即为所求 C、过 A 作 l 的垂线，垂足是 B，则直线 AB 即为所求 D、以上作法都不正确 8如图，在ABC中，ABC=ACB，ABC 与ACB 的平分线相交于 O，过 O作 EFBC 交 AB于 E，交 AC 于 F，那么图中所有的等腰三角形有几个（）A、6
25、 B、4 C、3 D、5 9等腰三角形中有一个角是另一个角的四倍，则这个三角形的顶角的度数为（）A、20 B、30 C、20或 120 D、120 答案与解析 答案：1.B 2.B 3.D 4.D 5.D 6.A 7.C 8.D 9.C 解析：3、提示：等腰三角形有：ABC、ABD、AED、DEC。6、如图，BC=BD 1+2=5 5=3+A 1+2=3+A.(1)AC=AE 1+3=4 4=2+B 1+3=2+B.(2)(1)+(2)得：21+2+3=3+A+2+B 21=A+B ACB=90 A+B=90 21=90 1=45，选择 A。8、提示：有ABC、AEF、BOC、EOB、FOC
26、9、提示：利用方程来解，设顶角为 x，但是要注意，在表示底角时有两种：4x或者 所以可列方程：8x+x=180 或者+x=180；分别解出 20或 120 四、中考解析等腰三角形 等腰三角形的性质 考点扫描 掌握等腰三角形的性质和推论以及应用.名师精讲 1.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角)推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；推论 2：等边三角形各角都相等，并且每个角都等于 60.2.等腰三角形三线合一性 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.在等腰三角形中，平分顶角、平分底边、垂直于底边、三个条件中有一个成立，另两个一定
27、成立.注意：“等边对等角”定理是证明两角相等的重要依据.“三线合一”的定理是证明两角相等，两线段相等或两直线互相垂直的重要依据.因此本节的性质定理及推论是本节的重点.3.本节的难点是对文字命题的证明，要注意对定理证明的分析，开拓证明思路，探求证明方法.同时注意证明题中引辅助线的研究，明确引辅助线的目的是把已知条件集中或挖掘隐含的已知条件.要逐步学会根据题中已知条件和证题需要恰当地引辅助线.中考典例 1.(益阳市)在 ABC 中 AB=AC，B=50则A=.考点：等腰三角形的性质 评析：因为 AB=AC，B=C=50，再由内角和定理可知A=80 2.(福建省龙岩市)如图所示已知 ABC 中 D、
28、E为 BC 边上的点，且 BD=EC，AD=AE，求证 AB=AC.考点：等腰三角形的性质，全等三角形判定.评析：该题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质，由 AD=AE可知 ADE=AED又 BD=CE，所以 BE=DC，ABEACD 故 AB=AC.也可以证明ABDACE 证明过程如下：方法 1：证明：AD=AE ADE=AED 又 BD=CE BD+DE=CE+DE 即 BE=CE 在ABE和ACD 中 ABEACD AB=AC 方法 2：AD=AE ADE=AED ADB=AEC 在ABD和ACE 中 ABDAEC AB=AC.3.(北京崇文区)已知：如图，在 RtABC 中，
29、ACB=90，AC=BC，D是 AB的中点，E、F分别在 AC、BC 上，且 EDFD.求证：S 四边形 EDFC=SABC.考点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质.评析：因为 RtABC 是等腰三角形，D 是 AB中点，所以连 CD，根据等腰直角三角形的性质，则有CDAB、AD=BD=CD.又 EDFD，再根据“同角的余角相等”则 1=2、A=3，由此AEDCFD，同理BFDCED.故 S 四边形 EDFC=SABC 得证.证明过程如下：证明：连结 CD，RtABC 是等腰直角三角形，又AD=BD，CDAB A=B=3=45 AD=BD=CD，又 EDFD 1=2 在ADE和CDF中 AD
30、ECDF.同理可证BDFCDE S 四边形 EDFC=SABC 注：此题中连结 CD，目的是应用等腰直角三角形性质，并且构造两对全等的三角形.真题专练 1.(宁波市)如图 D、E分别是ABC 的边 BC，AC上的点，若 AB=AC，AD=AE则()A、当B为定值时CDE为定值 B、当为定值时CDE为定值 C、当 为定值时CDE为定值 D、当为定值时CDE为定值 2.(北京崇文区)如图，在ABC 中，AB=AC，BD是ABC 的平分线，若ADB=93，则A=()A、31 B、46.5 C、56 D、62 3.(山西省)如果两个等腰三角形 _，那么这两个等腰三角形全等(只填一种能使结论成立的条件即
31、可).4.(广西省)已知如图，点 D、E在ABC 的边上BC 上，且 BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE。答案：1、B 2、C(提示：由三角形外角及等腰三角形的性质可知ADB=3DBC)3、一腰与底边对应相等，或底边和底边上的高对应相等，或一腰与顶角对应相等，或底边与顶角对应相等.4、证明：AB=AC B=C 又BD=CE ABDACE AD=AE.2、等腰三角形的判定 考点扫描 掌握等腰三角形的判定定理和推论及其应用.名师精讲 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.推论 1：三个角都相等的三角形是正三角形.推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形
32、是等边三角形.推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30.那么它所对的直角边等于斜边的一半.注意：等腰三角形的判定定理和性质定理是一对互逆的定理.但在叙述判定定理时，不要说成“如果三角形的两个底角相等，那么它的两腰也相等.”因为在没有判定它是等腰三角形以前是无所谓“腰”和“底”的，只有等腰三角形，才有腰和底的名称.推论 1，实质上也是等角对等边的问题，只是三个角都相等，所以所对的三条边也都相等.它是等边三角形的一个判定定理.推论 2 告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角等于 60，就可以判定它是等边三角形，不论这个角是顶角还是底角.这是判定等边三角形的又一种方法.推论三是由等边三角形的
33、性质推出的关于直角三角形的一个性质，它反映了直角三角形的边角之间的关系.中考典例 1.(天津市)如图，ABC 中，B=C，FDBC，DEAB，AFD=158，则EDF等于_度.考点：等腰三角形的判定 评析：由条件可知ABC 是等腰三角形，由AFD=158，可得DFC=22，又B=C，所以BDE=22，再根据互余关系，易求得EDF=68 2.(杭州市)如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD等于()A、4 B、3 C、2 D、1 考点：角平分线、直角三角形的性质，等腰三角形的判定.评析：因AOP=BOP=15，所以AOB=30.又 PCOA，所以CPO=BOP=15
34、则 CP=CO=4，过 C 点作 CEOA于 E，根据直角三角形中“30的角所对的直角边是斜边的一半”可得 CE=2，再根据“平行线间的距离相等”，得 PD=CE=2 故应选 C.说明：此题中，辅助线 CEOA的作用是，把已知条件 OC=4，COD=30及要求的线段 PD集中到 RtCOE中，便于计算.3.(浙江绍兴市)如图在ABC 中，D，E分别是AC、AB上的点，BD、CE 交于点 O，给出下列四个条件，EBO=DCO，BEO=CDO，BE=CD，OB=OC.上述四个条件中哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情况)选择其中一种情况证明ABC 是等腰三角形.考点：等腰三角形
35、的判定 评析：该题考查学生在运用全等三角形判定的基础上判定三角形 ABC 是否是等腰三角形，一定要注意隐含条件EOB=DOC 根据等腰三角形的判定定理，只要能证明ABC=ACB 即可，将此问题转化到一般的三角形全等的判定中去.所以由、均可达到目的，找到了方法，第二问的证明，先证EOBDOC，于是 OB=OC，再证ABC=ACB，可得：AB=AC.解答过程如下：解：(1)、；(2)选择EBO=DCO OB=OC 求证：ABC 是等腰三角形；证明：OB=OC OBC=OCB 又EBO=DCO ABC=ACB AB=AC ABC 是等腰三角形.说明：该题在考查学生综合运用知识解决问题能力的同时，还考
36、查数学转化的思想.4.(河南省)如图，在等腰 RtABC 中，C=900，D是斜边 AB上任一点，AECD于 E，BFCD交 CD 的延长线于F，CHAB于 H，交 AE于 G，求证：BD=CG。考点：全等三角形的判定及性质。等腰三角形的性质。评析：本题证线段相等的方法是证明含两条线段的两个三角形全等，在这两个三角形中只有角相等，所以需要证另外的对应边也相等，把它们归结到另外的两个三角形中，证其全等即可达到解题的目的。证明：在 RtAEC 和 RtCFB中，AC=CB，AECD于 E，BFCD交 CD的延长线于 F，AEC=CFB=90.又ACB=90，CAE=90-ACE=BCF.RtAEC
37、RtCFB.CE=BF.在 RtBFD和 RtCEG中，F=GEC=90，CE=BF.由FBD=90-FDB=90-CDH=ECG，RtBFDRtCEG.BD=CG.5.(天津市)如图，ABC 中，B=C,FDBC,DEAB,AFD=158，则EDF等于_度。考点：等腰三角形的性质 评析：思路 因为ABC 中B=C，所以 AB=AC，又因为 DEAB于 E，DFBC 于 D，所以作 AGBC 于 G，则 AGFD，又AFD=158，所以GAC=22=GAB，由平行线间的同位角相等，直角三角形两锐角互余，可知EDF=68。真题专练 1.(河北省)如图，在ABC 中，已知B 和C 的平分线相交于点
38、 F.过点 F作 DEBC，交 AB于点 D，交 AC 于点 E，若 BD+CE=9，则线段 DE 的长为()A、9 B、8 C、7 D、6 2.(南昌市)如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为 30且较长的直角边在同一条直线上，则图中的等腰三角形有()A、4 个 B、3个 C、2 个 D、1个 3.(吉林省)如图，F，C 是线段 BE上的两点，BF=CE，AB=DE，B=E，QR 求证：PQR 是等腰三角形.4.(嘉兴市)如图在ABC 中，D是 BC 中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F，且 BE=CF，求证 AB=AC.答案：1、A 2、B 3、证明：BF=CE，BC=EF.又
39、B=E，AB=DE，ABCDEF ACB=DFE.又QRBE，ACB=Q，DFE=R，Q=R，PQR 是等腰三角形.4、提示：运用直角三角形全等的判定，可证明EBDFCD，得B=C，进而可得 AB=AC.五、课外拓展 古堡朝圣问题 传说，从前有一个小孩，他家住在A处，他外婆住在河的同一侧的 B处（图1）。小孩非常孝顺，每天上学前都要到河边提一桶水送给外婆。天天如此，他就想，到河边的哪一点去取水，所走的路程最短？如果能找到这条最短的路，既可以节约时间，又可以少费些力气。这个问题可以这样解 决：先把河岸近似看成直线 DE。由 A点向 DE作垂线交 DE与 M 点（图 2），在所引的垂线上截 AM=
40、MA，连 AB交 DE于 C，则 C 为所求的取水的位置。现在证明 AC+BC 是符合条件的最短路程。证明的思路是：可以在河岸 DE上，除C 点外再任选一点 C，只要能证明AC+BCAC+BC，就证明了 AC+BC 是最短路程。证明：连接 AC,BC。在 ACB中，由于三角形两边之和大于第三边，所以 AC+CBAB。由 AA的作法中可知 DE是 AA的中垂线，而中垂线上的点到线段两端的距离相等。因此有 AC=AC,AC=AC,又因为 AC+BC=AC+BC,AB=AC+CB=AC+CB,由 AC+CBAB,可得 AC+BCAC+CB.(证毕）深入分析一下C 点有什么特点呢 由图 2可以看出1=5（对顶角），因为 ACMACM(ASA),1=2（对应角），所以2=5 过 C 作 CFDE，显然4=3 以上分析说明了 C 点处以这样一个特殊位置：过 C 点作与河岸 DE 垂直的直线CF，它与 AC 和 BC 的夹角是相等的。这是河岸上除 C 点以外其他点都不具备的性质。