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1、习题习题 7.11.设总体 X 服从指数分布f?x;?e?,x?0,?0;0,x?0.试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取 18 个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):16,19,50,68,100,130,140,270,280,340,410,450,520,620,190,210,800,1100.求的估计值.解解:似然函数为 L?e?e?lnL?nln?x?令d lnL?d?n?x?0得?nx?1x?1118?16?19?,?,1100?13182.设总体 X 的概率密度为f?x?x?,0?1;0,其他.?0试求(1)的矩估计?;?2?的极大似然估
2、计?.解解:(1)E?X?xf?x?dx?x x?dx?x?dx?1E?X?x?1 的矩估计?x1?x(2)似然函数为 L?x?x?,x?,?x?lnL?nln?1?lnx?lnx?,?lnx?nln?1?lnx?令d lnL?d?n?x?0解得?nx?3.设总体 X 服从参数为?0?的泊松分布,试求 的矩估计?和极大似然估计?.(可参考例 78)解解:由 X 服从参数为 的泊松分布?E?X?由矩法,应有x?x似然函数为 L?x?e?x?x?!x?!?x?!e?lnL?x?ln?n?ln?x?!x?!?x?!?d lnL?d?x?n?0解得 的极大似然估计为?1n?x?X习题习题 7.21.证
3、明样本均值x是总体均值 的相合估计.证:?E?x?,D?x?n?0?n?由定理 7?1 知x是 的相合估计.2.证明样本的 k 阶矩A?x?是总体 k 阶矩 E?x?的相合估计量.证:?E?A?E?1n?x?E?x?,D?A?D?1n?x?1n?D?x?0?n?0?A?1n?x?是 E?x?的相合估计.3.设总体XN?,1?,?,?x?,x?,x?为其样品.试证下述三个估计量:(1)?x?x?x?;(2)?x?x?x?;(3)?x?x?x?都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小?证:?E?15E?x?310E?x?12E?x?15?310?12?E?13E?x?14E?x?51
4、2E?x?13?14?512?E?13E?x?16E?x?12E?x?13?16?12?,?,?都是 的无偏估计.D?125D?x?9100D?x?14D?x?125?9100?14?1950D?19D?x?116D?x?25144D?x?19?116?25144?2572D?19D?x?136D?x?14D?x?19?136?14?718故?的方差最小.4.设总体Xu?,2?,其中?0 是未知参数,又x?,x?,?x?为取自该总体的样品,x为样品均值.(1)证明?x是参数 的无偏估计和相合估计;(2)求 的极大似然估计.(1)证:E?E?23x?23E?x?23?32?23x是参数 的无偏估
5、计又D?D?23x?49D?x?49?12n?27n?0?n?23x是参数 的相合估计.(2)Xu?,2?故其分布密度为f?x?1,0?x?2?0?0,其他 似然函数 L?1?,0?x?2?i?1,2,?n?0,其他 因对所有x?有 0?x?2?i?1,2,?n?0?max?x?,x?,?x?2习题习题 7.31.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度XN?,0.2?.现从中抽取容量为 6 的样本测得样本观测值并算的x?8.54,求 的置信度 0.9 的置信区间.解解:?1?0.9?0.1,u?.?1.64置信度为 0.9 的置信区间是?x?u?n,x?u?n?8
6、.54?1.64?0.26,8.54?1.64?0.26?8.41,8.67?2.设轮胎的寿命 X 服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取 12 只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下:4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.7试求平均寿命 的 0.95 的置信区间.(例 721,未知时 的置信区间)解解:x?4.7092,S?0.0615.?1?0.95?0.05,查 t 分布表知t?.?11?2.2010平均寿命 的 0.95 的置信区间为:?x?t?n?1?sn,x?t?n?1?sn?4.7092?2.2010?0.
7、061512,4.7092?2.2010?0.061512?4.5516,4.8668?3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径 X,Y 分别服从N?,?,N?,?,其中?,?未知?i?1,2?.现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得s?6.38,s?5.15.求两总体方差比?/?的置信度 0.90 的置信区间.解解:此处n?25,n?15,s?6.38,s?5.15,?1?0.90?0.1,?0.05?/?的置信度 0.90 的置信区间为:?s?s?1F?n?1,n?1?,s?s?1F?n?1,n?1?6.385.151F?.?24,14?,6.385.151
8、F?.?24,14?1.24?12.35,1.24?4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取 9 个,测得直径(单位:毫米)如下:14.614.715.114.914.815.015.115.214.8设滚珠直径服从正态分布,若(1)已知滚珠直径的标准差?0.15毫米;(2)未知标准差.求直径均值 的置信度 0.95 的置信区间.解解:(1)x?14.91,?1?0.95?0.05,u?.?1.96直径均值 的置信度 0.95 的置信区间为:?x?u?n,x?u?n?14.91?1.96?0.159,14.91?1.96?0.159?14.812,15.008?(2)x?14.91,S?
9、0.041,?1?0.95?0.05,t?.?8?2.306置信度 0.95 的置信区间为:?x?t?n?1?sn,x?t?n?1?sn?14.91?2.306?0.0419,14.91?2.306?0.0419?14.754,15.066?5.设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命 X 服从正态分布N?,?,其中,?未知.令随机地抽取 16 个灯泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):1502148014851511151415271603148015321508149014701520150514851540求该批灯泡平均寿命 的置信度 0.95 的置信区间.解解:x?1509.5,S?1
10、038.5,?1?0.95?0.05,t?.?15?2.1315置信度 0.95 的置信区间为:?x?t?n?1?sn,x?t?n?1?sn?1509.5?2.1315?1038.516,1509.5?2.1315?1038.516?1492.328,1526.672?6.求上题灯泡寿命方差?的置信度 0.95 的置信区间.解解:S?1038.5,?1?0.95?0.05,查表知?.?15?27.488,?.?15?6.262置信度 0.95 的置信区间为:?n?1?s?n?1?,?n?1?s?n?1?15?1038.527.488,15?1038.56.262?566.702,2487.62
11、4?7.某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为(单位:公斤):42.542.743.042.343.444.544.043.844.143.943.7求(1)平均抗弯强度 的置信度 0.95 的置信区间.(2)抗弯强度标准差?的置信度 0.90 的置信区间.解解:(1)x?43.4,S?0.5207,?1?0.95?0.05,查表知t?.?10?2.2281置信度 0.95 的置信区间为:?x?t?n?1?sn,x?t?n?1?sn?43.4?2.2281?0.520711,43.4?2.2281?0.520711?42.915
12、,43.885?(2)S?0.5207,?1?0.90?0.1,查表知?.?10?18.307,?.?10?3.940?置信度 0.90 的置信区间为:?n?1?s?n?1?,?n?1?s?n?1?10?0.520718.307,10?0.52073.940?0.284,1.322?故?的置信度 0.90 的置信区间为?0.53,1.15?8.设两个正态总体N?,?,N?,?中分别取容量为 10 和 12 的样本,两样本互相独立.经算得x?20,y?24,又两样本的样本标准差s?5,s?6.求?的置信度 0.95 的置信区间.解解:S?n?1?s?n?1?s?n?n?2?9?25?11?361
13、0?12?2?5.572?1?0.95?0.05,查表知t?.?20?2.086故?的置信度 0.95 的置信区间为:?x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?,x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?20?24?2.086?110?112?5.572,20?24?2.086?110?112?5.572?8.975,0.975?9.为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选 20 块条件大致相同的土地.10 块不施磷肥,另外 10 块施磷肥,得亩产量(单位:公斤)如下:不施磷肥的560590560570580570600550570550施磷肥的620570650600630580570600600
14、580设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计(?0.05).解解:x?570,y?600,S?,S?0.05,查表知t?.?18?2.1009注意这里是求?的置信区间,结果要开方.S?n?1?s?n?1?s?n?n?2?44009?22.11?x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?,x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?600?570?2.1009?110?110?22.11,600?570?2.1009?110?110?22.11?9.23,50.77?10.有两位化验员 A,B 独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进
15、行 10 次和 11 次测定,测定的方差分别为s?0.5419,s?0.6065.设 A,B 两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为?,?.求方差比?/?的置信度 0.9 的置信区间.解解:?1?0.9?0.1,查表知F?.?9,10?3.02,F?.?9,10?1F?.?10,9?13.14?0.318故?/?的置信度 0.9 的置信区间为:?s?s?F?n?1,n?1?,s?s?F?n?1,n?1?0.5419 0.60653.02,0.5419 0.60650.318?0.295,2.81?自测题自测题 7一、填空题设总体XN?,?x?,x?,x?是来自 X 的样本,则当常数 a
16、?时,?x?ax?x?是未知参数的无偏估计.解解:?x?ax?x?是未知参数的无偏估计则E?E?x?aE?x?E?x?a?a?12二、一台自动车床加工零件长度 X(单位:厘米)服从正态分布N?,?.从该车床加工的零件中随机抽取4 个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.试求:(1)样本方差S?;(2)总体方差?的置信度为 95%的置信区间.(附:u?.?1.96,u?.?1.645,?.?3?9.348,?.?3?0.216,?.?4?11.143,?.?4?0.484?解解:(1)x?12.6?13.4?12.8?13.24?13S?1n?1?x?x?0.43(2)?置信
17、度 0.90 的置信区间为:?n?1?s?n?1?,?n?1?s?n?1?3?0.439.348,3?0.430.216?0.04,1.85?三、设总体XN?,?,抽取样本x?,x?x?,x?x?为样本均值.(1)已知?4,x?12,n?144,求 的置信度为 0.95 的置信区间;(2)已知?10,问:要使 的置信度为 0.95 的置信区间长度不超过 5,样本容量 n 至少应取多大?(附u?.?1.96,u?.?1.645)解解:(1)的置信度为 0.95 的置信区间为:?x?u?n,x?u?n?12?1.96?4144,12?1.96?4144?11.347,12.653?(2)的置信度为
18、 0.95 的置信区间为?x?u?,x?u?,故区间长度为2u?2u?n?5,解得 n?61.5?62四、某大学从来自 A,B 两市的新生中分别随机抽取 5 名与 6 名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的x?175.9,y?172.0;S?11.3,S?9.1.假设两市新生身高分别服从正态分布:XN?,?,YN?,?,其中?未知.试求?的置信度为 0.95 的置信区间.(附:t?.?9?2.2622,t?.?11?2.2010?解解:S?n?1?s?n?1?s?n?n?2?90.79?3.17?x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?,x?y?t?n?n?2?1n?1n?S?175.9?172?2.2622?0.61?3.17,175.9?172?2.2622?0.605?3.17?0.474,8.274?