“概率统计”教学中融入数学建模思想的方法实例分析.pdf

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1、第 1 8卷第 3期 泰 山乡镇企业职工大学学报 V O L 1 8 N O 3 2 0 1 1年 9月 J O UR N A L OF T A I S H AN T O WN S H I P E N T E R P R I S E WO R K E R S U N I V E R S I T Y S e p 2 0 1 1 概率统 计”教学 中融入数学建模思想 的方法实例分析 程 惠 东，张子叶(山东科技 大学 理 学院，山东 青岛 2 6 6 5 1 0)概率论与数理统计是研究 随机 现象及其规律 的一 门 数 学学科，其思 想和方法广泛应用于社会生产实践、科技 实验及金融经济、化学工程、

2、物理等各个 学科领域 中。概 率 统计最 大特点是其 应用特 色，该 学科是为 了解决现 实 世 界一个个 与我们 生活息息相 关的 随机问题 而产生。其 形 成的理论体系又在解决具体 问题 的现实世界 中得 以完 善发展。数学建模是通过调查。收集数据、资料，观察 和研 究 其 固有的特征和 内在 的规律，抓住问题的主要矛盾 提 出 假设，经过抽象 简化，建 立反映 实际 问题 的数量 的关 系，即利用数学知识解决实际 问题。因而，研究 在概率论 与 数 理 统计 中教 学 中融人 数学 建模 思 想，能 很好地 解 决“学”与“用”之间的关 系，将有 助于学生学习其理论知识，培 养学生运用数

3、学思想和方法解决 实际问题的能力和创 新 意识，具有重要 的理论 和现实意义。一、教 学中融入数学建模思想方法的具体分析 1 “讲授 和讨论 相结合”的教 学法。讲授是 教学主要 的教学方式，但 可适 当的穿插 一些讨论，通过适 当的对问 题 的讨论 可 以活跃 课堂气 氛，激活学 生思 维。引 导学 生 深 入的思考。达 到延 伸和扩展知识面，培 养学生思维的广 阔性、严密性和创新性。例如：随机事件之 间的互 斥性与 独 立性是 两个不 同的概念，采用在 老师讲完 概念 的情 况 下，让学生讨论、举例说 明，分析体会 两概 念之间 的 区别 与联 系，加深 对两 概念 的认 识。另外 注 意

4、知 识 的延伸 性，学生通过学 习一 维、二维随 机变量 的知 识 要 能联 想 到多维随机变量的一些知识，例如。通过 讨论 二维随机变 量 函数 的分布 将 其推广 到多维随 机变量 函数的分布 情 况，二元线性 函数 X+Y的分布具有的线性 可加性也 可 以推广 到多元线 性 函数 的情形。总 之，课堂 上教 师采用 讲授 和讨论 相结合的教学法，不仅启发学生积极思维，融 会贯通 地掌握知识。还要充 分调动学生学习的主动性，培 养学 生 的学 习兴趣和求 知欲，从而提 高学生 的分析 问题 和解决 问题 的能力。2“启发式、归 纳类 比式”的教 学 法。采用 启 发式、归纳、类 比式 的教

5、学模式 由浅人深，由直观到抽象，使 学 生 真正 掌握 数学 概念 和方法。并从 中获得学习上的乐趣。例 如在讲解 二项 分布 时，注 意引人 由英 国生物 统计学 家 G a l t o n设计 的钉 板模 型，并 用计 算机 模 拟该 模 型，通过 归纳类 比，5 0 0 0次投 球，小球堆 积 的频 率 图与二项 分 布 的理论 图形极其 相似 既让学 生了解二项分布的来源 又 让学 生感悟 到怎样用实 际模型去 检验理论 模型，同时使 学生加深对“频率近 似于概率”这一原理 的理 解，了解计 算机模拟方法。3“案例 分析 法”的教 学法。案例教 学法 指的是 通 过一个具体 教育情景

6、的描述，引导学生对 这些特殊 情景 进行讨论 的一种教学方 法。具体 到我们 的教学 中，可 以 联系现实 生活问题，建立数 学模型或将 实际问题 经过加 工处理成具体的数学问题，设立数学情境，让学生针对从 现实生活 中抽象 出的概率统计 问题 进行讨论 得 出 自己 的见解或加深对知识点的掌握和应用。案例教学法 的着 眼点在于学生 创造 能力 以及实 际 解决 问题 的能 力 的发 展，而不仅仅是获得 那些 固定 的原 理、规 则。“案例 分析 法”是融人数学建模思想 的一种有效 的常用 的教 学方法。它较符合人 们的认识过 程，缩 短数学方法 和实际应 用的 距离 容易引起学生 的兴趣，易

7、于被学生接受。在案例教 学 中 通过“问题、数学模型、软件求解、结果 分析、修改模 型应用”。体 现用概率统计知识进行数学建模 的全过 程。例如，引入“资源公平分配方案”的综合案例，这是一个优 化决策问题，其 中用到 了多种概率知识 和方法，有 比例分 配法、最大熵法、最 大概率法、最小偏差法 等。引入“某商 品的需求 情况 分析”综 合案 例，用到 了 多种 统计推 断原 理。引入“某 气象观测 站降雨 量分 析”综 合 案例。用 到 了 相关 性分析原理和回归分析方法。学生们通过这些案例 的学 习。可 以亲 自体 验使用概 率统计知识 的数学建 模的 全过 程，加深“概率 统计”知识 的理

8、解，进一 步增强他们的 应用意识和学习兴趣，反过来促进学生 主动学好“概率统 计”课程的理论知识，使这种 教学方 法真 正达到“学 以致 用”的 目的。同时，在案例 教学 时 还需 注 意简 明 阐述应 用 背景。恩格斯说“自然界对 这一切想 象 的数据都 提供 了原型。”这里强调的是理论与实际相结合。在讲授概率统计理论 知识 时，应注意介绍它们具体 的应用背景，这样有助 于学 生理 解和接受 理论，对数学建 模的应用 范围也有一 个初 步的了解。比如，讲授泊松分布时，指出泊松分布常用来 描述“稀有事件”的数 目，比如某页 书上 印刷错误 的字 数，单 位时间 内达到超市 的顸 客数，某 网站

9、单位时 间内被访 问的人数，都服从泊 松分 布。这 样既 引导学生 发现 生活 中的数学 扩大学生 的眼界，又开阔 了学生 的思维。4 与“现代教 育技 术”相结合的教 学方法。由于“概 率统 计”是一个短课时的课程。插入一些案例和讨论教学 内容势必影响 到正 常 的教学 大纲 下必 须完 成 的教 学 内 容。通过使 用多媒 体的教 学手段 可 以节 省部 分学时 并 2 6 泰 山 乡镇 企 业职工 大 学学报 第 l 8 卷 且编写在教材 中的有些 教学案例供学生参考 自学。二、在课后作业 中融入数学建模 思想 布置课外作 业是 进一步 理解、消化 和巩 固课 堂教 学 内容的重要 环节

10、。针 对概率 统计 实用性强 的特点，有 目 的地组 织学 生参 加社会实践活动。只有把某种思想方法 应 用到实践 中去，解决 几个 实际问题，才 能达到理 解、深 化、巩 固和提高的效果。如 测量某年级男、女生 的身高，分析存在什么差 异；分析下课后饭堂人数拥挤 程度。提出 解决方案；分析某种蔬 菜 的销售量 与季节 的关系，等等。学生可以 自由组 队，通 过合作、感 知、体 验和 实践 的方 式 完成此类作业。他们在参 与完成 作业 的过程 中，培养 了 不断学习、勇于创新、团结互助的精神。在学生的实践性 环节 中，为 了达到 巩因知识点 和灵活运 用知识点 解决问 题的 目的，教 材 中

11、需要设 计各 种 用于 学生 训 练 的题 目。一般教材的编者往往把注意力较多地集 中在教学 内容 的 处理与编写上，而 对 习题 的选 取、次 序 和搭 配等 注意 不 够。常常设计 的练 习题 目过难，要求过高，造成学 生学习 的困难。影 响学 生学 习 的积 极性。实际 上，作 为 数学 教 材，习题是十 分重要 的组成 部分。我们认 为 编写 新教材 应由浅人深、分门别类地编排 练习题，以满足各个层次和 不同对象的需要 除常 规概率统 计练 习题 目外，应该 增 加一些有趣的、与 日常生活中密切相关的概率统计题 目，并体现综合性和数学 建模 的思想。同时，还 设计有 应用 性强 的概率

12、或统计方面 的案例，如采用计算机模拟技术、统计推断、数 据拟 合等方面的题 目，让学生学会数学建模 和使用数 学软件编 程计算，这既丰 富了学生 的课 外实践 活动。又增 强了学生的 动手能力。概 率统计 是一 门实用 性较强 的学科，特别是数理统计方面的题 目。若采用 阅卷 考核方式考查学生 只会 导致学 生死 记硬背、题海 战术、应付考试，导致学生被 动学习、没有兴 趣，根本谈 不上激 发学生 的创新意识。同此，必须改革 目前 的考核方 式，提 倡 闭卷和开卷相结合 的考核方式。对概率统 计的基本概 念、理论和计算采取闭 卷考核方 式，而设计 的综合性、应 用性 强的案例应采用 开卷考 核

13、形 式。可采 用概 率统 计知 识 与计算机软件相 结合 的题 目对 学生进行考核，由于“概 率统 计”是 短 学 时 的 课 程。学 生 的 练 习 不 在 于“多”，而 在 于“精”。同时鼓励学生 积极参加 数学 实验课 程的学习和 数学 建模 竞赛 活动，拓宽学生 的视野，培养学生的应用能 力 和 创新 能力。三、在 概 率 论 与 数 理 统 计 教 学 中 融 入 数 学 建 模 思 想 的 案 例 分 析 案例 1：某学校有 5 0 0 0名 学生，每天傍 晚打开水 的 人较多，开水房经 常出现排 长队的现象，应增加多少个水 龙头才能解决这种现象?分析：首 先让 学生统计 开水房现

14、有的水龙头个数，再 凋查每个学生在傍晚一般有多少 的时 间占用一个水 龙头(如 l )。最后分析发现每个学生 占用水龙头 是相互独 立的。引导学 生联 想到 中心极 限定 理。又考虑到 每个人 有两种情况：山用水龙头和不 占用水龙头，占用水龙 头概 率为 0 0 1。所 以学生是 否占用水龙 头可以看作是一次 独立试验，该问题就 可以看 作是 n一 5 0 0 0的 n重伯努 利试验。设用 水 龙头 的学 生 数 为 X，则 xB(5 0 0 0，0 1)，可 以使用德 莫佛一拉普拉斯中心极限定理 解决该 问 题。案例 2：对 湖中鱼的数量估计 问题。欲估计湖 中鱼 的数量 N，由于不可 能把

15、鱼全 部打捞 因此可 以通 过抽 样来估计。先从湖里打捞 出鱼，并作上记号后放 回湖里 然后再捞 出来，其中有条鱼有 记号，则如何估计湖 中鱼 的 数量呢?可引导学生 运用“频率估计”、“矩估 计”、“极大 似然估计”的思 想方 法，通过 观察和 尝试去 建立 数 学模 型，解决该 问题。这个 例子不仅 能让学生 了解统计 推断 的应用，而且 让学生学会思 考如何去设计和选择 方法解 决问题。值得注意 的是，在上 述问题 的解决 过程 中，“观 察”和“尝试”也起 到了重要 的作用。观察是一种有 目的、有计划、有 步骤的感 知活 动；是搜索、获取材 料 的基 本途 径，对思维起 到积极 作用。

16、尝试是通过对问题进行观察、联想 形成初 步的解题方 向，然后把 初步意 向付诸实 施，试探是否可行，是否接近 解题 目标。观察 和尝试 是数学 建模中必不可少 的思 维方式。因为数学模 型的建立，首 先要对研究 的问题深人 了解，离不开仔细观察；在形成数 学模型的轮廓时，要 尝试是 否可行，如果不够 合理 那 么 需要模型改进。所 以，应该注 意引导学生 有意识 的进 行 观察和尝试活动。综上所述，我们可以发现 一个完整 的数学思 维须 经 过 以下阶段：(i)问题 的数 学 化：借 助观 察、归纳、概 括 总结 出有用 的数据 和材 料，并抽 象、整理 组织 成 数学 语 言；(2)数学化问

17、题的求解：借助分析 综合、归纳演 绎等 逻辑思维。把分 散的数 学语 言构 建、化归 成一 个 逻 辑 问 题，最 后应 用已经学过 的知识求 解问题。“授人 以鱼，不 如授人 以渔”，只有让学生体验 和掌握一般 的数学思维 方 法，才能真正地 具备 用数 学知识 解 决实 际 问题 的能 力。当然，在概 率统计 中融 人数学建模 思想的案例 远远不 止 这些，例如：随机事件 与概率 摸球问题；轮 船停泊 和装 运 问题；生 日相同、配对 问题；确诊率、化验血清 问题 等。这 里 不 再 赘 述。四、结 束 语 在概率统计 中融人数学 建模思 想，培 养数 学建模 能 力，不 能 一 蹴 而

18、就。教 学 强 调 的是 让 学 生 发现 知 识、再 构 建知识 的过 程，激发学生学 习的主动性 和积 极性，给学生 一种 利用数 学知识解 决实际问题 的范例，注重理 论与实 际，使学生养成应用 数学知识 去发现 问题、分析 问题、解 决 问题 的习惯。我们认为 在“概率统计”课 程教学中，注 重 数学 建模 思想的融人，使理 论 与实际问题结合 只要坚 持下去，持之 以恒，一定会取得显著 的成果。参考文献 1 盛骤，等 概 率论 与数理 统计 M 北京：高等教 育 出版 社，2 0 0 2 2 林 正炎，等 当前概率 学科 中的研 究机遇 J 数 学进展 2 0 0 4，3 3(2)E 3 彭晓华 改进 教 学方法，培 齐学 生良好 的学 习习 惯 和创 新能力 J 大学数 学，2 0 0 4，2 0(3)E 4 3 朱荣 生 陈明 工科数 学与 工程 实践能 力的培 养 J 工科数 学 2 0 0 2 1 8(6)