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1、第 3 次讨论课April 27,2006内容1.幂零变换；2.极小多项式；3.Jordan 标准形.教学要求1.掌握幂零变换和幂零矩阵的性质;2.会求极小多项式，并通过极小多项式确定 Jordan 标准形;3.给定矩阵 A,会求 A 的 Jordan 标准形及可逆矩阵 P，使得 P1AP=J.练习题Exercise 1 设 是实数域上 3 维线性空间 V 的一个线性变换，它关于 V 的某个基的矩阵是6324121053(1)求 的极小多项式 m(x)，并将 m(x)在 Rx 内分解为两个首项系数为 1的不可约多项式的乘积：m(x)=m1(x)m2(x)；(2)令 Wi=V|mi()=0，i=
2、1,2，证明：Wi是 的不变子空间，并且 V=W1 W2;(3)在每一个子空间 Wi中选取一个基，凑成 V 的基，使得 关于这个基的矩阵里只出现 3 个非零元素.Exercise 2 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，试证明存在可对角化的线性变换 和幂零变换，使得=+,且满足 =.如果已知 在 V 的某个基下的矩阵是311221220试求出 和，使得 =+.1Exercise 3 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，举一个 5 阶矩阵为例，说明求 的 r(n)维不变子空间的一般方法.Exercise 4 试证明满足 Am=I 的 n 阶矩阵 A（其中 m 是某个正整数）相似于
3、对角矩阵.Exercise 5 设 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换，在基 1,2,n下的矩阵是 A.(1)怎样求包含 1的最小不变子空间？(2)V，6=0，怎样求包含 的最小不变子空间？举一个 4 阶矩阵的例子，算一下.Exercise 6 设 N1和 N2都是 3 阶幂零矩阵.证明 N1与 N2相似当且仅当它们有相同的极小多项式.如果 N1和 N2都是 4 阶幂零矩阵，上述论断是否还成立？为什么？举出两个 4 阶幂零矩阵说明之.Exercise 7 设 6 阶复方阵 A 的特征多项式为 f(x)=(x 2)2(x+3)4，极小多项式为 m(x)=(x 2)(x+3)3，试写出 A 的 Jordan 标准形.如果极小多项式为 m(x)=(x 2)(x+3)2，A 的 Jordan 标准形有几种可能的形式？Exercise 8 设A=2000611000100001,求可逆矩阵 P 和 Jordan 标准形 J，使得 P1AP=J.2