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1、 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 主编：费允杰 主编：费允杰 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 1 第一章 随机事件和概率 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 第一节 基本概念 1、概念网络图 1、概念网络图+贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BCCBCBCBAPAE 2、重要公式和结论 2、重要公式和结论（1）排列组合公式)!(!nmmPnm=从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm=从 m 个人中挑
2、出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和 乘 法 原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试 验 和 随机事件 如果一个
3、试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 2（5）基本事件、样本空 间 和 事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们
4、是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关 系 与运算 关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生
5、，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：=11iiiiAA BABA=，BABA=（7）概率的 公 理 化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有=11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为
6、事件A的概率。（8）古典概型 1 n?21,=，2 nPPPn1)()()(21=?。设任一事件A，它是由m?21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m?=)()()(21mPPP+?nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 3)()()(=LALAP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0
7、时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|
8、()|()(213121AAAPAAPAP=21|(AAAPn)1nA。（14）独立性 两个事件的独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A
9、)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式 设事件nBBB,21?满足 1nBBB,21?两两互不相容，),2,1(0)(niBPi?=，2niiBA1=，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=?。（16）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，n，2 niiBA1=，0)(AP，则 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 4=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i
10、=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了n次试验，且满足?每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；?n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；?每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp=1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkP
11、C=)(，nk,2,1,0?=。例 11：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？例 12：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有 小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？例 13：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？例 14：10 人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数。例 15：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例 16：某市共有 10000 辆自行车，其牌照号码从 00001 到
12、10000，求有数字 8 的牌照号码的个数。例 17：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=CC 2112121515=CCCC 例 18：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=CC 1811121415=CCCC 例 19：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的种数？（无序）121413=CC 92225=CC 例 110：化简(A+B)(A+B)(A+B)例 111：)()()(CBCACBA=成立的充分条件为：(1)CA (2)CB 例 112：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的
13、概率？例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？例 114：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？例 115：袋中装有个白球及个黑球。从袋中任取 a+b 个球，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 5从袋中任意地接连取出 k+1（k+1+）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。上两题改成“放回”。例 116：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1 个是黑色的概率？例 117：设 O 为正方形 ABCD坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），
14、（-1，-1）中的一点，求其落在 x2+y21 的概率。例 118：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。例 119：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？1 一次打开；第二次打开；第三次打开。例 120：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 概 率 0.10.20.30.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则
15、认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。例 121：某工厂生产的产品以 100 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 概 率 0.10.20.30.4 现在进行抽样检验，从每批中抽取 10 件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有)4,3,2,1,0(=ii件次品的概率。例 122：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立 例 123：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标被射中的
16、概率。例 124：假设实验室器皿中产生 A 类细菌与 B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n个细菌，则其中至少有一个 A 类细菌的概率是 。例 125：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。例 126：有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例 127：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为：A32)1(4pp B3)1(4pp C32)1(10pp D32)1(pp E3)1(p 第二节 重点考核点 第二节 重
17、点考核点 事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 6第三节 常见题型 第三节 常见题型 1、事件的运算和概率的性质 1、事件的运算和概率的性质 例 128：(AB)-C=(A-C)B 成立的充分条件为：(1)AB=(2)AC=例 129：A,B,C 为随机事件，“A 发生必导致 B、C 同时发生”成立的充分条件为：(1)ABC=A (2)ABC=A 例 130：设 A，B 是任意两个随机事件，则)()()(BABABABAP+=。例 131：假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）=1
18、，则 （A）A 是必然事件。（B）BA。（C）BA。（D）0)(=BAP。2、古典概型和几何概型 2、古典概型和几何概型 例 132：有两组数，都是1，2，3，4，5，6，分别任意取出一个，其中一个比另一个大 2 的概率？例 133：52 张扑克牌，任取 5 张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。例 134：设有 n 个质点，每个以相同的概率落入 N 个盒子中。设 A=“指定的 n 个盒子中各有 1 个质点”，对以下两种情况，试求事件 A 的概率。（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定 N 个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。（2）（费米-爱因斯坦统计）假定 n 个质点是不可
19、分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。例 135：袋中有 10 个球，其中有 4 个白球、6 个红球。从中任取 3 个，求这三个球中至少有 1 个是白球的概率。例 136：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。3、条件概率和乘法公式 3、条件概率和乘法公式 例 137：从 0 到 9 这 10 个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为 8 时，出现 5 的概率是多少？例 138：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？4、全概和贝叶斯公式
20、 4、全概和贝叶斯公式 例 139：在盛有 10 只螺母的盒子中有 0 只，1 只，2 只，10 只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 7A 6/11 B5/10 C5/11 D4/11 例 140：有 5 件产品，次品的比例为 20，从中抽查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 141：有 5 件产品，每件产品的次品率为 20，从中抽查 2 件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 142：发报台以概率 0.6 和 0.4 发出信号“”和“”，由于通信系统存在随机干扰
21、，当发出信号为“”和“”时，收报台分别以概率 0.2 和 0.1 收到信号“”和“”。求收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率。5、独立性和伯努利概型 5、独立性和伯努利概型 例 143：设两两相互独立的三事件 A，B，C，满足：21)()()(,0,P(B)0，证明（1）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 145：对行任意二事件A和B，（A）若AB，则A，B一定独立。（B）若AB，则A，B有可能独立。（C）若AB=，则A，B一定独立。（D）若AB=，则A，B一定不独立。例 146：“A,B,C 为随机事件，A-
22、B 与 C 独立”的充分条件：(1)A,B,C 两两独立 （2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）例 147：设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且 0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 （A）BA+与 C。（B）AC与C。（C）BA与C。（D）AB与C。例 1 48：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A=掷第一次出现正面，2A=掷第二次出现正面，3A=正、反面各出现一次，4A=正面出现两次，则事件（A）321,AAA相互独立。（B）432,AAA相互独立。（C）321,AAA两两独立。（D）432,AAA两两独立。例 149：某种硬币每抛一次正面朝上的概率为 0.6，
23、问连续抛 5 次，至少有 4 次朝上的概率。例 150：A 发生的概率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 都不发生的最大概率？文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 8 第二章 随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念 第一节 基本概念 1、概念网络图 1、概念网络图)()()()(aFbFAPbXaAX随机事件随机变量基本事件=)()(xXPxF分布函数：函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布10 2、重要公式和结论 2、重要公式和结论（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk
24、(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：?,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，?,2,1=k，（2）=11kkp。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 9（2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有=xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2
25、 +=1)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(+=积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF=称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP=可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF +x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(=xFF
26、x，1)(lim)(=+xFFx；4)()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5 )0()()(=xFxFxXP。对于离散型随机变量，=xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，=xdxxfxF)()(。0-1 分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0?。knkknnqpCkPkXP=)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1?=，?2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。文都 2014 考
27、研数学基础班概率与统计讲义 10超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=?随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布?,3,2,1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 =,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 =xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为 abx
28、xxXxP=，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn=+0，xb。axb=)(xf,xe 0 x,0,0 x,=)(xF,1xe 0 x,0 x0。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 11正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(=xexf，+为常数，则称随机变量X服从参数为、的 正 态 分 布 或 高 斯（Gauss）分 布，记 为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于=x对称的；2 当=x时，21)(=f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt=222)(21)(。参数0=、1
29、=时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex=，+x，分布函数为=xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。=XP。（7）函数分布 离散型 已知X的分布列为?,)(2121nnipppxxxxXPX=，)(XgY=的分布列（)(iixgy=互不相等）如下：?,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 12连续型 先
30、利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。例 21：4 黑球，2 白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令 X()为“取白球的数”，求 X 的分布律。例 22：给出随机变量X的取值及其对应的概率如下：?,31,31,31,2,1|2kkPX，判断它是否为随机变量X的分布律。例 23：设离散随机变量X的分布列为 214181812,1,0,1，PX，求X的分布函数，并求)21(XP，)231(0,则 A=。例 215：设),(2NX，求)3|(|XP。例 216：XN(2,2)且 P(2X4)0.3，则 P
31、(Xh）=P(Xa+hXa).(a,h 均为正整数)的充分条件为：(1)X 服从几何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1(k=1,2,)(2)X 服从二项分布 P(X=k)=knC Pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)例 221：设随机变量 X 服从a,b(a0)的均匀分布，且 P(0X4)21，求：（1）X 的概率密度 （2）P(1X=0,00,51)(5xxexfx 某顾客在窗口等待服务，如超过 10 分钟，他就离开。他一个月到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布列，并求 P(Y1)。例 223：X3N(1,72)，则 P(1X2)=？例
32、224：设随机变量 X 的概率密度为：)(,21)(|+=xexx则其分布函数F(x)是 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 14（A）=.0,1,0,21)(xxexFx（B）=.0211,0,21)(xexexFxx（C）=.0,1,0,211)(xxexFx（D）=.1,1,10,211,0.,21)(xxexexFxx 例 2.25：设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且 12|1|1,PXP Y（A）12.（C）12.例 2.26：设测量误差 XN（0，102）。试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6的概
33、率，并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。附表：?001.0002.0007.0018.0050.0135.0368.07654321e 例：设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。2、函数分布 2、函数分布 例 227：设随机变量 X 的概率密度为 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 15=其他若,08,1,31)(32xxxf F（x）是X的分布函数，求随机变量Y=F（X）的分布函数。例 2.28：设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布。例 22
34、9：假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F（y）。第三章 二维随机变量及其分布 第三章 二维随机变量及其分布 第一节 基本概念 第一节 基本概念 1.概念网络图 1.概念网络图=+=分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布FtXXXZYXZYXn221),min(max,),(?2.重要公式和结论 2.重要公式和结论 文都 2014 考研
35、数学基础班概率与统计讲义 16离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(?=jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(?=jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j?xi pi1 ijp?这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1=ijijp（1）联合分布 连
36、续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=，如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有=DdxdyyxfDYXP,),(),(则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)0;（2）+=.1),(dxdyyxf（2）二维随 机 变 量的本质)(),(yYxXyYxX=（3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数,),(yYxXPyxF=称为二维随
37、机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域，以 事 件)(,)(|),(2121yYxXx1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即);0,(),(),0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(=+=FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()(11211222+yxFyxFyxFyxF，.文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 17（4）离散型 与 连 续型的
38、关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，+=离散型 X 的边缘分布为),2,1,()(?=jipxXPPijjii；Y 的边缘分布为),2,1,()(?=jipyYPPijijj。（5）边缘分布 连续型 X 的边缘分布密度为+=；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(+=dxyxfyfY 离散型 在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；=iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP=（6）条件分布 连续型 在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyx
39、fY=；在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX=一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp=有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf0（7）独立性 随机变量的函数 若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立
40、。文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 18（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为=其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 （9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态
41、分布，记为（X，Y）N（).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),22,2211NY 但是若 XN（)(),22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。D2 1 D3 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 19Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ+=对于连续型，fZ(z)dxxzxf+),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,+）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。=iiiC，=iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn)若nXXX?21,相 互 独
42、 立，其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx?，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx?=)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx=?2分布 设n个随机变量nXXX,21?相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和=niiXW12 的分布密度为=.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W)(2n，其中.2012dxexnxn+=所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：
43、设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ+=?（10）函数分布 t 分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/=的概率密度为 2121221)(+=nntnnntf ).(+t 我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt=文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 20F 分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明21/nYnXF=的概率密度函数为+=+0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变
44、量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF=例 31 二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X-1 0 1 2 p1 1 61 0 0 0 61 2 61 61 0 61 21 3 0 0 61 61 31 pj 31 61 61 31 1 例 32：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域 D 上服从均匀分布，其中,1|,1|:|),(+=yxyxy
45、xD 求 X 的边缘密度 fX(x)例 33：设随机变量 X 以概率 1 取值 0，而 Y 是任意的随机变量，证明 X 与 Y 相互独立。例 34：如图 3.1，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不独立。例 35：f(x,y)=其他,010,20,2yxAxy 例 36：设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，且 XU（0，1），Ye（1），求 Z=X+Y 的分布密度函数 fz(z)。第二节 重点考核点 第二节 重点考核点 二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 21第三节 常见题型 第三节
46、常见题型 1、二维随机变量联合分布函数 1、二维随机变量联合分布函数 例 37：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？（A）+=.,0,0,0),1)(1(),(1其他yxeeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22+=yxyxF（C）+=.12,0,12,1),(3yxyxyxF（D）+的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的，用 Y 表示在中途下车的人数，求：二维随机向量（X，Y）的概率分布。例 3 12：设随机变量X在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(+YXP 2、随机变量的独立性 2、随
47、机变量的独立性 例 313：设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一随机变量 Y 在 1X 中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律，X，Y 的边缘分布律，并判断独立性。例：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 文都 2014 考研数学基础班概率与统计讲义 22 Y X 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 例 3.14：已知随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则 （A）a=0.2,b=0.3 （B）a=0.4,b=0.1 （D）a=0.3,b=0.2 （D）a=0.1,b=0.4 例 315：设随机变量 X 与 Y 独立，并且 P(X=1)=P(Y=1)=p，P
48、(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0p=.,0,0),(其他xyxeyxy 试求：（1）X，Y 的边缘密度函数，并判别其独立性；（2）（X，Y）的条件分布密度；（3）P（X2|Y4）.3、简单函数的分布 3、简单函数的分布 例 317：设随机变量)4,3,2,1(=iXi相互独立同 B（1，0，4），求行列式 4321XXXXX=的概率分布。例 318：设随机变量（X，Y）的分布密度为=.,0,0,103),(其他xyxxyx 试求 Z=X-Y 的分布密度。例 319：设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G=（x,y）|1x3,1y3上的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 f(u).