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1、第五章方差分析第五章方差分析5.1 单因素方差分析单因素方差分析1 问题的描述及模型的建立例问题的描述及模型的建立例5.1.1 某灯泡厂用某灯泡厂用4种不同材料的灯丝生产了种不同材料的灯丝生产了4批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。今有每批灯泡中随机抽取若干个灯泡，测得使用寿命（小时）数据如表批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。今有每批灯泡中随机抽取若干个灯泡，测得使用寿命（小时）数据如表5.1.1 ，现在要求推断使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异。，现在要求推断使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异。表表5.1.1168016401570153015201510A
2、418001740160016401620160015501640A317501700140016401500A21780170017001680165016101600A187654321灯泡寿命灯丝灯泡寿命灯丝问题的特点：问题中有一项指标（相当于因变量）：寿命问题的特点：问题中有一项指标（相当于因变量）：寿命问题中有一个影响指标的因素：灯丝这个影响指标的因素问题中有一个影响指标的因素：灯丝这个影响指标的因素灯丝，有几个不同的状态要求回答影响因素（灯丝）是否对指标（寿命）有显著影响例灯丝，有几个不同的状态要求回答影响因素（灯丝）是否对指标（寿命）有显著影响例5.1.2 为了寻找适应某地区的高
3、产水稻品种，今选了为了寻找适应某地区的高产水稻品种，今选了5个不同品种的种子进行试验，每个品种在个不同品种的种子进行试验，每个品种在4块试验田上进行试验。除品种外，其他条件完全相同，观察到试验后产量如表（块试验田上进行试验。除品种外，其他条件完全相同，观察到试验后产量如表（5.1.2），问：选用的品种是否对否产量有显著影响。），问：选用的品种是否对否产量有显著影响。88797090A570816479A435506960A366909698A242556767A14321田号产量品种田号产量品种表表5.1.2问题的特点：问题中有一项指标（相当于因变量）：产量问题中有一个影响指标的因素：品种这个
4、影响指标的因素问题的特点：问题中有一项指标（相当于因变量）：产量问题中有一个影响指标的因素：品种这个影响指标的因素品种，有几个不同的状态要求回答影响因素（品种）是否对指标（产量）有显著影响现在去掉具体问题的实际含义，抽象出方差分析要讨论的问题的一般描述。品种，有几个不同的状态要求回答影响因素（品种）是否对指标（产量）有显著影响现在去掉具体问题的实际含义，抽象出方差分析要讨论的问题的一般描述。方差分析中，问题中有某个指标，有一个影响指标的因素，称这个影响因素为因子，常用方差分析中，问题中有某个指标，有一个影响指标的因素，称这个影响因素为因子，常用A、B、C等来表示。因子所取的不同状态称为水平，因
5、子的等来表示。因子所取的不同状态称为水平，因子的a 个不同的水平常用个不同的水平常用A1、A2、Aa来表示。对这个问题要做出统计推断：因子对指标是否有显著影响？下面建立方差分析中讨论的问题的统计模型。把因子在不同水平下的指标作为总体，因子有来表示。对这个问题要做出统计推断：因子对指标是否有显著影响？下面建立方差分析中讨论的问题的统计模型。把因子在不同水平下的指标作为总体，因子有a 个不同的水平常用个不同的水平常用A1、A2、Aa，所以，描述的问题中有所以，描述的问题中有a个总体。设第个总体。设第i个总体服从正态分布，个总体服从正态分布，a2,1i),(NX2i)i(因子总体因子总体A1A2Aa
6、X(1)要解决的问题是：因子是否对指标有显著影响。因子对指标的影响通过各水平下的总体得到反映。要解决的问题是：因子是否对指标有显著影响。因子对指标的影响通过各水平下的总体得到反映。X(2)X(a)如果因子对指标有显著影响，那么因子在各水平下的总体应该有显著差异，总体的均值也应该有显著差异。因此，讨论因子是否对指标有显著影响，可转化成检验下面假设：如果因子对指标有显著影响，那么因子在各水平下的总体应该有显著差异，总体的均值也应该有显著差异。因此，讨论因子是否对指标有显著影响，可转化成检验下面假设：a210:H检验的结果如果是拒绝原假设，那么，认为因子对指标有显著影响；如果是接受原假设，那么，认为
7、因子对指标没有显著影响。方差分析讨论的问题是假设检验问题。检验的结果如果是拒绝原假设，那么，认为因子对指标有显著影响；如果是接受原假设，那么，认为因子对指标没有显著影响。方差分析讨论的问题是假设检验问题。设设a1iia1 ii称称 为总平均，称为总平均，称a2,1i,i 为因子在第为因子在第i个水平个水平A下的效应，显然，这下的效应，显然，这a个效应满足个效应满足0a1ii 引进效应之后，检验引进效应之后，检验 a210:H转化成检验转化成检验0:Ha210 要完成假设检验，需要用到样本。在总体要完成假设检验，需要用到样本。在总体a2,1i),(NX2i)i(中，取中，取ni个样本个样本XX,
8、Xin2i1ii因子总体因子总体A1A2AaX(1)X(2)X(a)样本样本X11X21Xa1X12X22Xa2X1n1X2n2Xana在解决实际问题时，一般只写出样本，而不写总体。因子在解决实际问题时，一般只写出样本，而不写总体。因子A1A2Aa样本样本X11X21Xa1X12X22Xa2X1n1X2n2Xana168016401570153015201510A418001740160016401620160015501640A317501700140016401500A21780170017001680165016101600A187654321灯泡寿命灯丝灯泡寿命灯丝表表5.1.1n1个
9、个n2个个na个个得到单因素方差分析统计模型得到单因素方差分析统计模型n,j,a,i,Xiijiij2121 01 aiin,j,a,i,iij2121 独立，同分布独立，同分布n,j,a,i),(Niij212102 2 统计分析统计分析(1)平方和分解公式设第平方和分解公式设第i个总体的样本的均值为个总体的样本的均值为Xin1jijiiXn1,a2,1ia个总体的样本的总均值为个总体的样本的总均值为Xa1iiiXnn1 nijaiXn1j1i1其中，其中，a1iinnn总计总计naTaXa1 Xa2 XanaAa nkTkXk1 Xk2 XknkAk n2T2X21 X22 X2n2A2n
10、1T1X11 X12 X1n1A1niTiXiXX1X2XkXaX记统计量记统计量STn1jij2a1iiXXSAa1iii2XXnSen1jiij2a1iiXX从直观上看，从直观上看，ST反映了全体数据的波动，反映了全体数据的波动，SA中引起的波动，反映了由于随机误差作用而中引起的波动，反映了由于随机误差作用而Se反映了由于因子在各水平下的不同作用而在数据反映了由于因子在各水平下的不同作用而在数据在数据中引起的波动。在数据中引起的波动。ST称为总偏差平方和；称为总偏差平方和；SA称为因子称为因子A的偏差平方和（组间平方和）的偏差平方和（组间平方和）Se称为误差平方和（组内平方和）。下面是平方
11、和分解公式称为误差平方和（组内平方和）。下面是平方和分解公式STn1jij2a1iiXXn1jiiij2a1iiXXXXn1jiij2a1iiXXn1ji2a1iiXXn1jiiija1iiXXXX2SSAen1jiija1iiiXXXX2SSAe因此，得平方和分解公式因此，得平方和分解公式SSSAeT(2)统计量的构造统计量的构造注意到注意到)1n(XX1i2n1jiij22i 所以所以)S(Een1jiij2a1iiXXEn1jiij2a1iiXXE 2a1ii1n 2)an()S(EAa1iii2XXnEa1iii2XXEna1iii22n)1a(记记anSSe211aSSA22则有则有
12、 221)S(E 222)S(Ea1iii2n1a1由此可见，不论由此可见，不论 iS21的假设如何，的假设如何，2是的一个无偏估计；而仅当假设是的一个无偏估计；而仅当假设 a210:H成立时成立时S22 2才是的一个无偏估计；否则，它的期望值将大于才是的一个无偏估计；否则，它的期望值将大于 2。这说明比值。这说明比值S)1a(S)an(SSFeA2122在假设在假设H0不成立时，有偏大的倾向。下面讨论不成立时，有偏大的倾向。下面讨论F的分布。的分布。当假设当假设 a210:H成立时成立时a2,1i),(NX2)i(借鉴平方和分解公式的推导过程及结果，借鉴平方和分解公式的推导过程及结果，n1j
13、ij2a1iiX n1jij2a1iiXXX n1jij2a1iiXXn1j2a1iiX n1jija1iiXXX2 n1jij2a1iiXX Xn2SSAe Xn2对于对于Se它有它有a个线性关系个线性关系0XXn1jiij2ia2,1i,所以它的秩是所以它的秩是n-a。对于。对于SA它有它有1个线性关系个线性关系0XXna1ii2i所以它的秩是所以它的秩是a-1。Xn2对于对于,它的秩是它的秩是1。由于。由于(n-a)+(a-1)+1=n,由由Cochran 定理，当假设定理，当假设H0成立时，成立时，2eS与与 2AS相互独立，并且相互独立，并且)an(S22e )1a(S22A 由此可
14、知由此可知)an,1a(FS)1a(S)an(SSFeA2122至此，找到了检验假设至此，找到了检验假设H0的统计量的统计量F。3 假设检验检验原理：假设假设检验检验原理：假设0:Ha210 在假设成立的情况下，有上述分析，统计量在假设成立的情况下，有上述分析，统计量F 的观察值不应该太大。如果的观察值不应该太大。如果F值太大，与假设矛盾，此时拒绝原假设；如果值太大，与假设矛盾，此时拒绝原假设；如果F值不大，此时接受原假设。检验步骤：值不大，此时接受原假设。检验步骤：若成立，则拒绝原假设，否则，接受原假设若成立，则拒绝原假设，否则，接受原假设.写出原假设给出显著水平写出原假设给出显著水平)an
15、,1a(FF1 计算统计量计算统计量F的观察值计算出拒绝域得出检验结论：的观察值计算出拒绝域得出检验结论：)an,1a(FF1 0:Ha210 S)1a(S)an(SSFeA2122解题格式：在解题时，常用方差分析表解题格式：在解题时，常用方差分析表5.1.3来解题。表来解题。表5.1.3方差分析表方差分析表n-1总和总和n-a误差误差a-1因素的影响因素的影响F值均方和自由度平方和方差来源值均方和自由度平方和方差来源STn1jij2a1iiXXSAa1iii2XXnSen1jiij2a1iiXXanSSe211aSSA221nSST2SSF2122表表5.1.3方差分析表方差分析表解题时，先
16、计算方差分析表中各项数据，然后再查表求出拒绝域的临界值，最后，判别解题时，先计算方差分析表中各项数据，然后再查表求出拒绝域的临界值，最后，判别F的观察值是否落在拒绝域内，若落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则接受原假设。的观察值是否落在拒绝域内，若落在拒绝域内，则拒绝原假设；否则接受原假设。)an,1a(F1 为了计算统计量为了计算统计量F的观察值的观察值S)1a(S)an(SSFeA2122可参考下面计算顺序进行计算。记可参考下面计算顺序进行计算。记a2.1i,XTn1jijii计算计算Xi njijiiXn11Xa.i,XTnijii211j 然后，填入表中。再计算然后，填入表中。再计算SAa
17、1iii2XXnSen1jiij2a1iiXX aiiiXnn11例例5.1.1 某灯泡厂用某灯泡厂用4种不同材料的灯丝生产了种不同材料的灯丝生产了4批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。今有每批灯泡中随机抽取若干个灯泡，测得使用寿命（小时）数据如表批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。今有每批灯泡中随机抽取若干个灯泡，测得使用寿命（小时）数据如表5.1.1 ，现在要求推断使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异。最后，完成方差分析表中数据的计算。，现在要求推断使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异。最后，完成方差分析表中数据的计算。1628.842642350总计总计157
18、569450168016401570153015201510A41648.7581319018001740160016401620160015501640A315905799017501700140016401500A21674.287117201780170017001680165016101600A1niTi87654321灯泡寿命灯丝灯泡寿命灯丝1628384XiX表表5.1.1计算计算,a2,1ia2.1i,XTn1jijii178017001700168016501610160071jj11XT11720其他的同理可算出其他其他的同理可算出其他Ti计算计算Xi njijiiXn117
19、9901750170014001640150051jj12XTX1n1j1j11Xn128.1674)1780170017001680165016101600(71其他的同理可算出其他计算总均值其他的同理可算出其他计算总均值XXi aiiiXnn11X1Tn111 XiTnii1X157567516488159052816747261.aiiiXnn11 XnXnXnXnn44332211194501319079901172026142350261 841628.X aiiTn11SA41iii2XXnXXn112XXn222XXn332XXn44284.162828.16747284.162
20、815905284.162875.16488284.162815756296.42559再计算再计算SeSAa1iii2XXn再计算再计算Sen1jiij2a1iiXXXXXXXXXX1142113211221112XXXXXX117211621152XXXXXXXX444244324422441228.1674161028.1674160022XXXXXXXX2242223222222212XX2252XXXX4462445228.1674168028.167415002228.1674170028.167417002228.167417802157515201575151022157515
21、7015751530221575168015751640228.151350填入方差分析表填入方差分析表58.68794268.151350anSSe2165.141861496.425591aSSA22062.258.687965.14186SSF2122n-1=26-1=25总和总和n-a=26-4=22误差误差a-1=4-1=3因素的影响因素的影响F值均方和自由度平方和方差来源值均方和自由度平方和方差来源ST5.195711SA96.42559Se8.15135058.6879S2165.14186S2246.7828S206.2F 05.3)462,14(F)an,1a(F05.011
22、 查表得查表得)an,1a(FF1 由于所以，接受原假设，认为灯丝对灯泡的寿命没有显著影响。由于所以，接受原假设，认为灯丝对灯泡的寿命没有显著影响。05.0 对于显著水平对于显著水平例例5.1.2 为了寻找适应某地区的高产水稻品种，今选了为了寻找适应某地区的高产水稻品种，今选了5个不同品种的种子进行试验，每个品种在个不同品种的种子进行试验，每个品种在4块试验田上进行试验。除品种外，其他条件完全相同，观察到试验后产量如表块试验田上进行试验。除品种外，其他条件完全相同，观察到试验后产量如表5.1.2，问：选用的品种是否对否产量有显著影响。，问：选用的品种是否对否产量有显著影响。88797090A5
23、70816479A435506960A366909698A242556767A14321田号产量品种田号产量品种表表5.1.270.8201416总计总计81.75432788797090A573.5429470816479A453.5421435506960A387.5435066909698A257.75423142556767A1niTi4321田号产量品种田号产量品种XiX计算计算,a2,1ia2.1i,XTn1jijii2314255676741jj11XT其他的同理可算出其他其他的同理可算出其他Ti计算计算Xi njijiiXn113506690969841jj22XTX1n1j1
24、j11Xn175.57)42556767(41其他的同理可算出其他计算总均值其他的同理可算出其他计算总均值X nijaiXn1j1i1XiX2n1j2j22Xn150.87)66909698(41X1Tn111 XiTnii1X7581457345534587475574201.aiiiXnn11 XnXnXnXnXnn554433221113272942143502312011416201 870.X aiiTn11SA41iii2XXnXXn112XXn222XXn332XXn4428.7075.57428.7050.87428.7050.53428.7050.734269.3502再计算
25、再计算SeXXn5528.7075.8142再计算再计算SAa1iii2XXnSen1jiij2a1iiXXXXXXXXXX1142113211221112XXXXXXXX2242223222222212XXXXXXXX554255325522551275.574275.575575.576775.5767222275.818875.817975.817075.819022225.2156填入方差分析表填入方差分析表766.1435205.2156anSSe21675.875157.35021aSSA2202.6766.143675.875SSF2122n-1=20-1=19总和总和n-a=20-5=15误差误差a-1=5-1=4因素的影响因素的影响F值均方和自由度平方和方差来源值均方和自由度平方和方差来源ST2.5659SA7.3502Se5.2156766.143S21675.875S2202.6F 89.4)520,15(F)an,1a(F01.011，查表得，查表得)an,1a(FF1 由于所以，拒绝原假设，认为种子品种对水稻产量有显著影响。由于所以，拒绝原假设，认为种子品种对水稻产量有显著影响。01.0 对于显著水平对于显著水平