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1、下下下下回回回回停停停停一、事件的相互独立性二、独立试验序列概型一、事件的相互独立性二、独立试验序列概型第五节事件的独立性第五节事件的独立性一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性由条件概率，知由条件概率，知()().()P ABP A BP B=一般地，一般地，()().P A BP A 这意味着：事件这意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率有影响发生的概率有影响.1.问题的提出问题的提出1.问题的提出问题的提出问：在任何情形下，式子问：在任何情形下，式子)()(APBAP 都成立吗？都成立吗？则有则有=)(ABP.发生的可能性大小的发生并
2、不影响它表示发生的可能性大小的发生并不影响它表示BA53().P B=引例引例引例引例 盒中有盒中有5个球个球(3绿绿2红红)，每次取出一个，有放回地取两次，记，每次取出一个，有放回地取两次，记A 第一次抽取，取到绿球，第一次抽取，取到绿球，B 第二次抽取，取到绿球，第二次抽取，取到绿球，这说明，在有些情形下，事件这说明，在有些情形下，事件A 的发生对事件的发生对事件B发生的概率并没有影响发生的概率并没有影响.()0P A 又，若，则又，若，则)()(BPABP=)()()(BPAPABP=2.两个事件的独立两个事件的独立2.两个事件的独立两个事件的独立(1)定义定义1.9,()()(),.A
3、 BP ABP A P BA BA B=设是两事件 如果满足等式则称事件相互独立 简称独立=设是两事件 如果满足等式则称事件相互独立 简称独立注注 1则若则若,0)(AP)()(BPABP=()()().P ABP A P B=说明说明事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.2 独立与互斥的关系这是两个不同的概念独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立()()()P ABP A P B=两事件互斥两事件互斥=AB,21)(,21)(=BPAP若若).()()(BPAPABP=则则例如例如
4、二者之间没有必然联系二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系互斥是事件间本身的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如图若如图若=BPAP()()().P ABP A P B 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(=ABP则则,41)()(=BPAP又如又如:两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥1)必然事件 及不可能事件与任何事件必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立相互独立.
5、证证P(A)=P(A)=1P(A)=P()P(A).即 与即 与A独立独立.P(A)=P()=0=P()P(A).即 与即 与A独立独立.(2)性质性质1.5(2)性质性质1.52)若事件若事件A与与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.相互独立,则以下三对事件也相互独立.；与；与 BA；与；与 BA.BA 与与证证(),AAA BBABAB=+=+=+=+Q()()(),P AP ABP AB=+=+()()().P ABP AP AB=注注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.又又A与与B相互独立相互独立,)()()(ABPAPBAP=)()()(BPAP
6、AP=)(1)(BPAP=()().P A P B=()()UP ABP AB=1()P AB=U由对称性，类似可证结论成立.由对称性，类似可证结论成立.)(1BAPU=)()()(1ABPBPAP+=)()()()(1BPAPBPAP+=)(1)()(1 APBPAP =)(1)(1 BPAP =).()(BPAP=的概率为的概率为0.6,乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5,求 敌机不被击中的概率求 敌机不被击中的概率.解解设设A=甲击中敌机甲击中敌机,B=乙击中敌机乙击中敌机,C=敌机不被击中敌机不被击中,.CAB=由于 甲，乙由于 甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机
7、的可能性，所以射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与与B独立独立,AB因而与 也独立.因而与 也独立.则则例例1例例1 甲甲,乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中敌机已知甲击中敌机依题设依题设,5.0)(,6.0)(=BPAP()()P CP AB=()()P A P B=(10.6)(10.5)=0.40.50.2.=3.多个事件的独立性多个事件的独立性3.多个事件的独立性多个事件的独立性(1)三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设两两相互独立则称事件如
8、果满足等式是三个事件设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA=定义定义1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设相互独立则称事件如果满足等式是三个事件设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA=(2)三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念(2)三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念设设A1，A2，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(2kn),及及 1i 1 i 2 i kn若事件若事件A1，A2，An中任意两个事件相互独立，即对于一切中任意两个事件相互独立
9、，即对于一切 1 i j n,有有()()(),ijijP A AP A P A=12,.nAAAL则称，两两相互独立则称，两两相互独立.12)11(1032个式子共个式子共nCCCCCnnnnnnnn=+=+=+=+L定义定义 1.111212()()()().kkiiiiiiP A AAP AP AP A=LL有有12,.nAAAL则称，相互独立则称，相互独立定义定义(3)n个事件的独立性个事件的独立性(3)n个事件的独立性个事件的独立性一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白
10、、黑三种颜色而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以现以A,B,C分别记投一次四面体出现红分别记投一次四面体出现红,白白,黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件,问问A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解因此因此,21)()()(=CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()(=ACPBCPABP相互独立相互独立nAAA,21L12,nA AAL两两相互独立.两两相互独立.伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例注注例例2例例2由于在四面体中红由于在四面体中红,白白,黑分别出现两面黑分别出现两面,故有因此故有因此A、B、C 不相互独立不相互独立.=,41)()()(,41)()()(,
11、41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件A,B,C 两两独立两两独立.由于由于41)(=ABCP),()()(81CPBPAP=.)2(,)2(,.121个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件nkknAAAnL12122.,(2),.()nnnAAA nAAAnLL 若个事件相互独立则将中任意多个事件换成它们的对立事件 所得的个事件仍相互独立独立性关于逆运算封闭LL 若个事件相互独立则将中任意多个事件换成它们的对立事件 所得的个事件仍相互独立独立性关于逆运算封闭（4）两个结论）两个结论（4）两个结论）两个结论n 个
12、独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设事件相互独立,则设事件相互独立,则）nAAAPUUU211(=)(121nAAAP=121()()().nP A P AP A=也相互独立也相互独立nAAA,21即即n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAPULUU21结论的应用结论的应用结论的应用结论的应用假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解
13、解,iAi=记第 个人的血清含有肝炎病毒则记第 个人的血清含有肝炎病毒则()0.004.iP A=12100,BAAA=UULUUULU1,2,100.i=LL例例3例例3 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,100,B=个人的混合血清中含有肝炎病毒个人的混合血清中含有肝炎病毒依题设，依题设，相互独立相互独立10021,AAAL)()(10021AAAPBPULUU=)(110021AAAPULUU=)(110021AAAPL=)()()(110021APAPAPL=1001)(11AP=100)004.01(1=100)996.0(1=0.33.一个
14、元件的可靠性：一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性：一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常工作的概率由元件组成的系统正常工作的概率.设一个元件的可靠性为设一个元件的可靠性为r.如果一个系统由如果一个系统由2n 个元件组成，每个元件能否正常工作是相互独立的个元件组成，每个元件能否正常工作是相互独立的.(1)求下列两个系统和的可靠性；求下列两个系统和的可靠性；(2)问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？事件的独立性在可靠性理论中的应用：事件的独立性在可靠性理论中的应用：事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：例例4系
15、统系统.系统系统.,个元件正常工作第设个元件正常工作第设iAi=(),iP Ar=则则设设 B1=系统正常工作系统正常工作,n+22nn+112nn+22nn+112n1,2,.in=LL解解解解B2=系统正常工作系统正常工作设设C=通路正常工作通路正常工作，D=通路正常工作通路正常工作 每条通路正常工作 每条通路正常工作通路上各元件都正常工作通路上各元件都正常工作,而系统正常工作而系统正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作.系统系统.n+22nn+112nDCBU=1nnnnAAAAAA22121LUL+=考察系统考察系统:考察系统考察系统:12()()nP CP
16、A AA=QLQL12()()()nP AP AP A=LL,nr=122()()nnnP DP AAA+=LL122()()()nnnP AP AP A+=LL.nr=1()()P BP CD=U U()()()P CP DP CD=+(2).nnrr=系统正常工作的概率:系统正常工作的概率:()()()()P CP DP C P D=+nnnnrrrr=+系统正常工作系统正常工作通路上的每对并联元件正常工作通路上的每对并联元件正常工作.B2=系统正常工作系统正常工作11222()()()nnnnAAAAAA+=UULU=UULU()()()()in iin iin iP AAP AP AP
17、 A A+=+QUQUrrr r=+(2).rr=(1,2,.)in=LL()()()()in iin iP AP AP A P A+=+考察系统考察系统:考察系统考察系统:)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBPULUU+=所以，系统正常工作的概率：所以，系统正常工作的概率：nrr)2(=(2).nnrr=(2)问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？01,r+=+=+=+=2)2(,12)2(1)1()2)2(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即即是凹的，从而故曲线，则令亦即即是凹的，从而故曲线，则令(2)2,nnrr21()().P BP B即
18、系统的可靠性比系统的大.即系统的可靠性比系统的大.二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型1.定义定义1.12(独立试验序列独立试验序列)设设Ei(i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空间为的样本空间为 i,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Akk,若若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (i k)的结果的结果,则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试验独立试验序列序列.例例5例例5解解解解令表示此令表示此k个数字中最大者不大于个数字中最大者不大于m这一事
19、件，则这一事件，则mA().10kmmP A=显然，显然，1mmAA ，令，令1mmmBAA=，则，则1()()()mmmP BP AP A=从从1,2,.,10个数字中任取一个，取后还原，连取个数字中任取一个，取后还原，连取k次，独立进行试验，试求此次，独立进行试验，试求此k个数字中最大者是个数字中最大者是m(m10)这一事件这一事件Bm的概率的概率.1.1010kkmm=则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：1)每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,
20、A(),()1,P Ap P Ap=且=且2)各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，(在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）2.n重贝努里重贝努里(Bernoulli)试验试验2.n重贝努里重贝努里(Bernoulli)试验试验实例实例3(球在盒中的分配问题球在盒中的分配问题)设有设有n个球，个球，N个盒子个盒子.试验试验E：观察一个球是否投进某一指定的盒中：观察一个球是否投进某一指定的盒中.A=该球进入指定的盒中该球进入指定的盒中,实例实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛若将硬币抛n 次次,就是就是n重贝努里试验重贝努里
21、试验.实例实例2抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现1 点点”,就是就是n重贝努里试验重贝努里试验.B=某指定的盒中恰有某指定的盒中恰有m个球个球,求求P(B).易知，易知，11(),()1.P AP ANN=设设En:观察观察n个球是否投进某一指定的盒中个球是否投进某一指定的盒中,则则En是将是将E重复了重复了n次，是贝努里概型次，是贝努里概型.mnmmnAPAPCBP=)()()(11()(1).mmn mnCNN=)1(mnmmnmnmmnqpCppC=解解解解一般地，对于贝努里概型，有如下公式：如果在贝努里试验中，事件一般地，对于贝努里概型，有如下公式：如果在贝努里试
22、验中，事件A出现的概率为出现的概率为p(0 p 时当时当.212112=ppp时当时当.,21制为有利对甲来说采用五局三胜时故当制为有利对甲来说采用五局三胜时故当 p.50,21%、p都是是相同的乙最终获胜的概率两种赛制甲时当都是是相同的乙最终获胜的概率两种赛制甲时当=例例7-1例例7-1).(APkAkA次摸到白球，现在计算第表示则次摸到黑球这一事件，表示第设次摸到白球，现在计算第表示则次摸到黑球这一事件，表示第设等价于下列事实：此一定不能摸到白球，因次次摸到白球，则前面的入黑球，故为了第换，而每次摸出白球总是因为袋中只有一只白球等价于下列事实：此一定不能摸到白球，因次次摸到白球，则前面的入
23、黑球，故为了第换，而每次摸出白球总是因为袋中只有一只白球Akk1 一袋中装有一袋中装有N-1只黑球及一只白球，每次从袋中随机的摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第只黑球及一只白球，每次从袋中随机的摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少？次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解解这一事件的概率为次摸出白球，次摸球时都摸出黑球第在前这一事件的概率为次摸出白球，次摸球时都摸出黑球第在前kk1 11(1)111()(1),kkkNP ANNN=111()1()1(1).kP AP ANN=所以=所以贝努里贝努里Jacob Bernoulli1654-1705瑞士
24、数学家瑞士数学家概率论的奠基人概率论的奠基人贝努里简介贝努里简介贝努里简介贝努里简介贝努里(Jacob Bernoulli)简介贝努里家祖孙三代出过十多位数学家贝努里家祖孙三代出过十多位数学家.这在世界数学史上绝无仅有这在世界数学史上绝无仅有.贝努里幼年遵从父亲意见学神学贝努里幼年遵从父亲意见学神学,当读了笛卡尔的书后当读了笛卡尔的书后,顿受启发顿受启发,兴趣转向数学.兴趣转向数学.1694年年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文同年关于双纽线性质的论文,使伯努里双纽线应此得名.使伯努里双纽线应此得名.此外对对数螺线深有研
25、究,发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词:此外对对数螺线深有研究,发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词:纵使变化,依然故我ndxp x yq x ydy()()=+=+1695年提出著名的贝努里方程年提出著名的贝努里方程1713年出版的巨著推测术,是组合数学及概率史的一件大事.书中给出的贝努里数、贝努里方程、贝努里分布等年出版的巨著推测术,是组合数学及概率史的一件大事.书中给出的贝努里数、贝努里方程、贝努里分布等,有很多应用有很多应用,还有贝努里定理还有贝努里定理,这是大数定律的最早形式.这是大数定律的最早形式.