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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 2525 排列组合排列组合二项式定理理二项式定理理2x6 21(1)(1)xx1.【2017 课标 1，理 6】展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选 C.666 2211(1)(1)1 (1)(1)xxxxx 6(1)x2x222 6115C xx6 21(1)xx2x442 62115C xxx2x15 1530【考点】二项式定理2.【2017 课标 3，理 4】的展开式中 33 的系数为52xyx
2、yyA B C40D808040【答案】C【解析】试题分析：， 555222xyxyxxyyxy由 展开式的通项公式： 可得：52xy 5 152rrr rTCxy 当 时， 展开式中 的系数为 ，3r 52xxy33x y 332 52140C 当 时， 展开式中 的系数为 ，2r 52yxy33x y 223 52180C 则 的系数为 .33x y8040402 / 15故选 C.【考点】 二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的
3、隐含条件，即 n，r均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.3.【20173.【2017 课标课标 IIII，理，理 6】6】安排安排 3 3 名志愿者完成名志愿者完成 4 4 项工作，每人至少完项工作，每人至少完成成 1 1 项，每项工作由项，每项工作由 1 1 人完成，则不同的安排方式共有（人完成，则不同的安排方式共有（ ）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此
4、可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选 D。2 4C3 3A23 4336CA4. 【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）3 / 15（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有条路，再从F 处到 G 处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条，故选 B.2 4C1 3C21 4318CC考点： 计数原
5、理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的5. 【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位，则的展开式中含 x4 的项为6()xi（A）15x4 （B）15x4 （C）20i x4 （D）20i x4【答案】A【解析】试题分析：二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选 A.6()xi6 16rr r rTC xi 64r2r 4x24 24 615C x ix 考点：二项展开式，复数的运算.【名师点睛】本题考查二
6、项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可二项式的展开式可以改为，则其通4 / 15项为，即含的项为6()xi6()ix6 6rrrC ix4x4 6 444 615C ixx 6. 【2016 年高考四川理数】用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24 （B）48 （C）60 （D）72【答案】D【解析】7. 【2015 高考陕西，理 4】二项式的展开式中的系数为 15，则（ ）(1) ()nxnN2xn A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】二项式的展开式的通项是，
7、令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选 C1nx1Crr rnx2r 2x2Cn2x152C15n2300nn6n 5n n6n 【考点定位】二项式定理【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“” ，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式的展开式的通项是nnab1Ckn kk knab 8. 【2016 高考新课标 3 理数】定义“规范 01 数列”如下：共有项，其中项为 0，项 na na2mm m为 1，且对任意，中 0 的个数不少于 1 的个数.若，则不同的“规范 01数列”共2km12,ka aa4m
8、有（ ）5 / 15（A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有， ，则具体的排法列表如下：10a 81a 0111011010 1 1 10011010 1 10010110 10011010 1 100101010 101考点：计数原理的应用【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果9. 【2015 高考四川，理 6】用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶
9、数共有（ ）（A）144 个 （B）120 个 （C）96 个 （D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有个；若万位上排 5，则有个.所以共有个.选 B.3 42A3 43A3 42A3 435 24120A 6 / 15【考点定位】排列组合.10.【2015 高考新课标 1，理 10】的展开式中，的系数为( )25()xxy52x y（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的 5 个因式中，2 个取因式中剩余的 3 个因式中 1 个取，其余因式取 y,故的系数为=30，故选 C.25()xxy2x52x y212 532C C
10、C【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11. 【2015 高考湖北，理 3】已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）(1)nxA. B C D12211210292【答案】D【解析】因为的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以，解得，(1)nx73 nnCC 10n所以二项式中奇数项的二项式系数和为.10(1) x910
11、2221【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各7 / 15二项式系数和：，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等.nn nnnnCCCC2210 420 nnnCCC15312 n nnnCCC12. 【2014 辽宁理 6】把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【答案】C【解析】试题分析：将 6 把椅子依次编号为 1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5” ；“1,3,6” ；“1,4,6” ；“2,4,6”号位置坐人，故总数由 4=24
12、，故选 D.3 3A考点：排列组合. 13. 【2015 湖南理 2】已知的展开式中含的项的系数为 30，则（ ）5axx3 2xa A.3 B. C.6 D-63【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选 D.rrrr rxaCT2551) 1(1r6305aa【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握的二项展开式的通项第nba)( 8 / 151r项为，即可建立关于的方程，从而求解.rrnr nrbaCT 114.【2017 浙江，16】从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要
13、求服务队中至少有 1 名女生，共有_中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】试题分析：由题意可得：总的选择方法为种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种411 843CCC411 643CCC411411 843643660CCCCCC【考点】排列组合的应用【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、“是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不
14、能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式15.【2017 浙江，13】已知多项式 32=，则=_，=_1x2x54321 12345xa xa xa xa xa4a5a【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得32rrmmC x C x0,1rm1,0rm44 1216a 0x 32 5124a 【考点】二项式定理9 / 1516.【2017 天津，理 14】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 1080【解析
15、】 4134 54541080AC C A【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法） ，组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.17. 【2016 年高考北京理数】在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）6(1 2 )x2x【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.16( 2)rrr rTCx2x22 6( 2)60C60考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项
16、.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.nrrnr nrbaCT 1n18.【2016 高考新课标 1 卷】的展开式中,x3 的系数是 .（用数字填写答案）5(2)xx10 / 15【答案】10【解析】试题分析：的展开式通项为(,1,2,5),令得,所以的系数是.5(2)xx5552 55C (2 )()2Cr rrrrrxxx0r 532r4r 3x4 52C10考点:二项式定理19.【2016 高考天津理数】的展开式中 x2 的系数为_.
17、(用数字作答)281()xx【答案】56【解析】试题分析：展开式通项为，令， ，所以的故答案为 2 816 3 1881()()( 1)rrrrrr rTCxC xx 1637r3r 7x33 8( 1)56C 56考点：二项式定理2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解20.【2016 高考山东理数】若（ax2+）5 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 a=_.1x【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此5102552 1551()()rrrrrr rTCaxC axx 11 / 15510522rr
18、25 2 5802.C aa 考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.21.【2015 高考天津，理 12】在 的展开式中，的系数为 .61 4xx2x【答案】15 16【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.61 4xx66 2 16611 44rr rrrr rTC xC xx 622r2r 2 222 36115 416TC xx 15 16【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典
19、型式的通项，求出当时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.2r 22.【2015 高考北京，理 9】在的展开式中，的系数为 （用数字作答）52x3x【答案】40【解析】利用通项公式， ，令，得出的系数为5 152rrr rTCx 3r3x32 5240C23.【2015 高考广东，理 9】在的展开式中，的系数为 .12 / 154) 1(x【答案】 【解析】由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入 44 2 14411rrrrrr rTCxCx412r2r 22 416C【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解
20、答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第项为：1r * 12,rn rr rnTC abnNnrN 且24.【2015 高考广东，理 12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言 （用数字作答）40【答案】 1560【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入402 4040 391560A1560【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题4025.【2015 高考四川，理 11】在的展开式中，含
21、的项的系数是 （用数字作答）.5(21)x2x【答案】.40【解析】55(21)(1 2 )xx ，所以的系数为.2x22 5( 2)40C 【考点定位】二项式定理.13 / 15【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.26.【2016 高考上海理数】在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_.nxx 23【答案】112【解析】【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.27.【2014
22、 课标，理 13】的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）8xyxy27x y【答案】20【解析】由题意，展开式通项为， 当时， ；当时， ，故的展开式中项为，系数为8()xy8 kk 18Cyk kTx 08k7k 777 888TC xyxy6k 62626 7828TC x yx y8xyxy27x y726278( y) 2820xxyx yx y 20【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能力.28.【2015 高考重庆，理 12】的展开式中的系数是_(用数字作答).5 31 2xx8x【答案】5 2【解析】二项展开式通项为，令，解得
23、，因此的系数为.14 / 157153 52 15511()()( )22k kkkkk kTCxC xx 71582k2k 8x22 515( )22C 29.【2015 高考安徽，理 11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）371()xx5x【答案】35【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.371()xx3 721 4 1771()( )rrrrr rTCxC xx 21 45r4r 5x4 735C 【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利
24、用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.30.【2015 高考福建，理 11】 的展开式中，的系数等于 （用数字作答）52x2x【答案】80【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于52x2x232 5280Cx 2x80【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展15 / 15开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度31.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分）（1）求 的值；34 6747CC（2）设 m，nN*，nm，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）.Cmm+1Cmm+2Cmm1CmnCmn+2 +2Cmn【答案】 （1）0（2）详见解析【解析】（2）当时，结论显然成立，当时nmnm又因为122 112,mmm kkkCCC 所以22 21(1)(1)(),km 1,m+2,n.mmm kkkkCmCC ，因此考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思