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1、8.4.1 重积分在几何上的应用1.二重积分的元素法设在闭区域似地表示为上连续，类似于定积分的元素法，若要计算的某个变量对于闭区域有可加性，在闭区域内任取一个直径很小的闭区域（也表示该区域的面积）时，相应部分量可近的形式，其中具这个称为所求量的元素，记为，所求量的积分表达式为第1页/共55页2.曲面的面积的方程为：设曲面以截曲面S为dS，的边界为准线母线平行于第2页/共55页S的面积元素得曲面面积公式为：或曲面面积公式设曲面方程为：类似可得曲面面积公式分别为：或第3页/共55页例1 求球面2222azyx=+，含在圆柱面axyx=+22内部的面积A。解由于 第4页/共55页第5页/共55页例2
2、 求底圆半径相等的两个直交圆柱面 所围立体的表面积.解 因第一卦限部分的表面积由两个相同部分构成，故只需求出一个部分的表面积，再乘16即得所求的表面积.第6页/共55页第7页/共55页的差是2米，假设水平面例3 在海湾中的一个小岛的陆地高度小岛在涨潮与落潮时露出水面的面积是变化的，海潮的高潮与低潮之间解 本题实质是求曲面面积问题.由题设可知,对应于低潮的位置.求高潮与低潮时的小岛露出水面的面积之比。（单位为米），第8页/共55页关键是找到高潮和低潮时的，低潮时，；高潮时。于是由，得到由，得到用极坐标计算：第9页/共55页面积比 第10页/共55页练习1 求半径为的球的表面积。练习2 设有一颗地
3、球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径)。第11页/共55页其中 为该质点系的总质量.分别为质点系对轴、轴的静矩.8.4.2 重积分在物理上的应用1.质心平面上有个质点，它们分别位于处，质量分别为 则该质点系的质心的坐标为 设第12页/共55页当薄片是均匀的，质心称为形心.*设有一平面薄片，占有面上的闭区域在点处的面密度为，假定 上连续，求平面薄片的质心。在第13页/共55页占有空间有界闭区域、在点处的密度为的物体的质心坐标其中第14页/共55页例4 求位于两圆均匀薄片的形心坐标。和之间的解 闭区域轴上,即对
4、称于轴,所以质心必在且所求质心为第15页/共55页例5 设球体占有闭区域对称性可知其质心坐标它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的为正常数。距离的平方。求该球体的质心。解 由题意可知,又由中的而第16页/共55页所求球体的质心坐标为 第17页/共55页练习5 在球心位于原点，半径为的均匀半球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径练习4 求均匀半球体的质心。练习3 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为平方，求这薄片的质心。各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的质心在球心，试确定圆柱体的高。第18页/共55页2.转动惯量则该质点系对于设平面上有个
5、质点，它们分别位于处，质量分别为 轴和 转动惯量依次为 轴的第19页/共55页薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量*,在点 设有一薄片，占有面上的闭区域，假定处的面密度为在轴和 上连续，求薄片对于轴的转动惯量。第20页/共55页占有空间有界闭区域、在点处的密度为的物体对轴和坐标原点的转动惯量为第21页/共55页例6 求半径为的均匀半圆薄片对于其直径边的转动惯量（面密度为常量）。解 薄片所占区域所求转动惯量即半圆薄片对于轴的转动惯量其中为半圆薄片的质量.第22页/共55页例7 在例5中，求球体对于轴的转动惯量。解第23页/共55页的转动惯量。条轴练习8 求由曲线值（面密度为1）.成的均匀
6、薄板绕 轴和直线所围旋转的转动惯量的最小练习6 求密度为的均匀球体对于过球心的一练习7 求半径为过中心而平行于母线的轴的转动惯量（密度高为的均匀圆柱体对于第24页/共55页薄片对为引力常数。平面薄片对质点的引力设有一平面薄片，占有面上的闭区域，假定 在点处的面密度为上连续，计算该平面薄片对位于 在 轴上的点 处的单位质点的引力 轴上单位质点的引力3.引力第25页/共55页，这一小块物体的质量近似为这一小块物体对位于质点的引力近似为上任取一直径很小的闭区域 在闭区域处的单位质量的设有一平面薄片，占有面上的闭区域，假定 在点处的面密度为上连续，计算该平面薄片对位于薄片外一点在处的单位质点的引力 第
7、26页/共55页其中分别为引力元素在两个坐标轴上的分量，数。将在上分别积分，得为引力常第27页/共55页讨论空间一物体对于物体外一点处的单位质量的质点的引力问题.设物体占有空间有界区域，它在点处的密度为小区域这一小块物体的质量近似为这一小块物体对位于处的单位质量的质点的引力近似为空间物体对质点的引力第28页/共55页其中为引力元素在三个坐标轴上的分量，为引力常数.将在上分别积分，得第29页/共55页例8 设均匀柱体的密度为，占有闭区域求它对位于点处的单位质量的质点的引力。解 由对称性可知引力第30页/共55页所以第31页/共55页练习10 设半径为的匀质球占有空间闭区域求它对于位于处的单位质量
8、的质点的引力.练习9 求面密度为常量、半径为R的均匀圆 形薄片：，0=z对位于 z 轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力)0(a 第32页/共55页练习1 求半径为的球的表面积.解 上半球面方程为则它在面上的投影区域因为这函数在闭区域上无界，不能直接应用曲面面积公式.先取区域第33页/共55页为积分区域，算出上的球面面积再取的极限就得半球面的面积.故整个球面的面积为第34页/共55页解 取地心为坐标原点，地心建立坐标系，如图，通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分.的方程为到通讯卫星中心的连线为轴，练习2 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为运行的角速度与地
9、球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径).第35页/共55页在面上的投影区域为于是通讯卫星的覆盖面积为第36页/共55页由于代入上式得由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为第37页/共55页 解 如图建立直角坐标系，练习3 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为平方，求这薄片的质心。各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的则薄片上任一点处的面密度为第38页/共55页第39页/共55页练习4 求均匀半球体的质心。解 取半球体的对称轴为轴，原点取在球心上又设球半径为，则半球体所占空间闭区域显然，质心在轴上，故其中为半球体的体积第40页/共55页因此，质心为第41
10、页/共55页练习5 在球心位于原点，半径为的均匀半相等的材料相同的圆柱体，并使拼接后整个物体的解 如图建立直角坐标系，满足质心在球心，试确定圆柱体的高。球体靠圆形平面的一侧，拼接一个底半径与球半径设圆柱体的高为质心坐标于是第42页/共55页是整个物体的体积.令故所求圆柱体的高为得第43页/共55页解 取球心为坐标原点，轴与轴重合，又设球的半径为则球体所占空间闭区域所求转动惯量即球体对于轴的转动惯量为的转动惯量。条轴练习6 求密度为的均匀球体对于过球心的一第44页/共55页其中为球体的质量.第45页/共55页解 如图建立坐标系，轴的转动惯量，于是其中练习7 求半径为过中心而平行于母线的轴的转动惯
11、量（密度高为的均匀圆柱体对于则问题转化为对第46页/共55页练习8 求由曲线值（面密度为1）.成的均匀薄板绕 轴和直线所围旋转的转动惯量的最小解 转动惯量是的函数.令得 第47页/共55页又取极小值（驻点故此时唯一），且为最小值.第48页/共55页解由积分区域的对称性知练习9 求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：222Ryx=+，0=z对位于 z 轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力)0(a 第49页/共55页所求引力为第50页/共55页练习10设半径为的匀质球占有空间闭区域求它对于位于处的单位质量的质点的引力.解 设球的密度为量分布的均匀性知由球体的对称性及质所求引力沿轴的分量为第51页/共55页其中为球的质量.第52页/共55页设小区域任取点的质量近似为静矩元素分别为这些元素在又知薄片的质量为上积分，得 所以，薄片的质心坐标为第53页/共55页设小区域任取点的质量近似为薄片对于的转动惯量元素分别为这些元素在上积分，得 轴，轴和坐标原点第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页