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1、复习复习 1 1：半平面的定义：半平面的定义 2 2：二面角的定义，画法，表示方法：二面角的定义，画法，表示方法 3 3：二面角的平面角定义（满足的条件）：二面角的平面角定义（满足的条件）4 4：二面角的大小范围：二面角的大小范围5 5：作二面角平面角的常用方法：作二面角平面角的常用方法第1页/共25页第2页/共25页5、作二面角的平面角的常用方法、点P在棱上、点P在一个半平面上、点P在二面角内pABpABOABlp定义法三垂线定理法垂面法三种方法的联系？三种方法的联系？第3页/共25页基础练习基础练习1.1.判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：（1 1）两个相交平面组成的图形叫做二面角；
2、）两个相交平面组成的图形叫做二面角；()()（2 2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角面角的平面角 ;();()（3 3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱;();()假假真第4页/共25页(4)(4)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；所成角的最小角；(）假第5页/共25页2.2.如图如图 ABCDABCD是正方形，是正方形，PDPD平面平面ABCD,ABCD,则则(1)(1)面面PABPAB与面
3、与面ABCDABCD所成二面所成二面角的平面角是角的平面角是_,_,(2)(2)面面PBCPBC与面与面ABCDABCD所成二面所成二面角的平面角是角的平面角是_,_,(3)(3)面面PADPAD与面与面PCDPCD所成的二面所成的二面角的平面角角的平面角_,_,(4)(4)面面PACPAC与面与面ACDACD所成的二面所成的二面角的平面角是角的平面角是_._.(5)5)面面PACPAC与面与面ABCDABCD所成的二面所成的二面角的平面角是角的平面角是 _ _ _ _._ _ _ _.ABCDPO第6页/共25页例例1 1 过过O O点引三条射线点引三条射线OGOG，OE,OF,OE,OF,
4、求二面角求二面角E-OG-FE-OG-F大小大小第7页/共25页ACB例例1 1 过过O O点引三条射线点引三条射线OGOG，OE,OF,OE,OF,求二面角求二面角E-OG-FE-OG-F大小大小OGFE第8页/共25页 例2:锐二面角 中,AB 与 成 角,与 成 角，求二面角 的大小。第9页/共25页MO1ABOBM1 过B作BM ，垂足为M，连结AM。则BAM=30。过M作MO 于O，连结BO，则BO 。BOM为所求二面角的平面角。又 RtAOB中，AB=2，BAO=45，OB=。RtABM中，AB=2，BAM=30，BM=1。sin BOM=，BOM=45。解:例2:锐二面角 中，与
5、 成 角,与 成 角，求二面角 的大小。过程有问题吗？第10页/共25页AO lD练习练习、已知锐二面角已知锐二面角 l ，A为面为面 内一点内一点，A到到 的距离为的距离为 2 ，到到 l 的距离为的距离为 4，求二面角二面角 l 的的大小。大小。17第11页/共25页AB O三垂线法三垂线法：利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。关键在于找面的垂线。归纳步骤：在平面内在平面内找不同于棱找不同于棱上的点上的点A A向平面向平面作垂线作垂线。由点由点O O向二面角的棱作垂向二面角的棱作垂线，
6、垂足为线，垂足为B B,连接连接ABAB。ABOABO即为所求。即为所求。l第12页/共25页例例3.如图，二面角如图，二面角 的平面角小于的平面角小于 ,点点P在二面角内，在二面角内，PA 于于A点，点，PB 于于B点，点，PA=,PB=4,P到棱到棱 的距离为的距离为 ，求二面角的大小求二面角的大小.第13页/共25页PAOB例例3.如图，二面角如图，二面角 的平面角小于的平面角小于 ,点点P在二面角内，在二面角内，PA 于于A点，点，PB 于于B点，点，PA=,PB=4,P到棱到棱 的距离为的距离为 ，求二求二面角的大小面角的大小.l第14页/共25页19例例 4 如图如图，已知已知A、
7、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两上的两点点，线段线段AC，BD分别在面分别在面，内内，且且ACl，BDl，AC=2，BD=1，AB=3，求求（1）线段线段CD的长。的长。（2）CD与 所成角正弦（3）CD与BD所成角第15页/共25页例例 4 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两上的两点点，线段线段AC，BD分别在面分别在面，内内，且且ACl，BDl，AC=2，BD=1，AB=3，求求（1）线段线段CD的长的长。（。（2 2）CDCD与与 所成角正弦所成角正弦（3 3）CDCD与与ABAB所成角所成角 BDBDl l AO AOBDBD，四边形
8、四边形ABDOABDO为矩形为矩形,DODO l l ，AC ACl l，AOAOl l，l l 平面平面CAO CAO COCOl l CO CODO DO 在在Rt COD中，DO=AB=319解：解：（1）在平面在平面 内，过内，过A作作AOl，使使AO=BD,连结连结COCO、DO,DO,则则OACOAC就是二面角就是二面角 l l 的平面角，的平面角，即即 OACOAC 120120，BD=1 AO=1，在在OAC中，AC=2，ADBClO第16页/共25页第17页/共25页19例例 4 如图如图，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的两上的两点点，线段线段AC，
9、BD分别在面分别在面，内内，且且ACl，BDl，AC=2，BD=1，AB=3，求求（1）线段线段CD的长。的长。（2）CD与 所成角正弦（3）CD与AB所成角H HADBClO第18页/共25页3.直线AB与直二面角-l-的两个半平面分别交于A、B两点，且A、B l.如果直线AB与、所成的角分别是1、2，则1+2的取值范围是()(A)(B)(C)(D)D第21页/共25页二面角的计算二面角的计算：1 1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2 2、证明、证明 1 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3 3、计算出此角的大小、计算出此角的大小一“作作”二“证证”三“计算计算”16第22页/共25页作二面角的平面角的常用方法、点P在棱上、点P在一个半平面上、点P在二面角内pABpABOABlp定义法三垂线定理法垂面法三种方法的联系？三种方法的联系？第23页/共25页第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页