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1、原线性规划问题的矩阵表达式加上松弛变量后为：一、单纯形法的矩阵描述上式中XsXs为松弛变量，I为mmmm单位矩阵。第1页/共17页Cjc1c2cn000CBXBbx1x2xnxn+1xn+2xn+m0 xn+1b1a11a12a1n1000 xn+2b2a21a22a2n0100 xn+mbmam1am2amn001cj-zjc1c2cn000非基变量非基变量基变量基变量XB XNXS0 XS bB NICj-zjCB CN0 单单纯纯形形法法计计算算时时，总总选选取取I I为为初初始始基基，对对应应基基变变量量为为XsXs。设设迭迭代代若若干干步步后后，基基变变量量为为X XB B，在在初初
2、始始单单纯纯形形表表中中的的系系数数矩矩阵阵为为B B。B B将将在在初初始始单单纯纯形形表表中中单单独独列列出出，而而A A中中去去掉掉若若干干列列后后剩剩下下的的列列组组成成矩矩阵阵N N，这这样样初初始始单单纯纯形形表表可可列列成成如如下下形式。形式。第2页/共17页非基变量非基变量基变量基变量XB XNXS0 XS bB NICj-zjCB CN0 当迭代若干步后，基变量为当迭代若干步后，基变量为X XB B时时，则该步的单纯形表中由则该步的单纯形表中由X XB B系数组成的系数组成的矩阵为矩阵为I I。又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行的行的又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵进行
3、的行的初等变换初等变换，对对应应X XS的系数矩阵在新表中应为的系数矩阵在新表中应为B B-1-1。故当基变量为故当基变量为X XB B时，新的单纯形表具有如时，新的单纯形表具有如下形式。下形式。基变量基变量非基变量非基变量XBXN XSCB XB B B-1-1 bIB B-1-1 N B B-1-1 Cj-zj0CN-CB B B-1-1 N -CB B B-1-1 第3页/共17页 当迭代后基变量为XB时，其在初始单纯形表中的系数矩阵为B B，则有：（1 1）对应初始单纯形表中的单位矩阵I I，迭代后的单纯形表中为B B-1-1（2）初始单纯形表中基变量Xs=bXs=b，迭代后的表中 X
4、B=B B-1-1 b（3）初始单纯形表中约束系数矩阵为 ，迭代后的表中约束系数矩阵为(B B-1-1 左乘):非基变量非基变量基变量基变量XB XNXS0 XS bB NICj-zjCB CN0基变量基变量非基变量非基变量XBXN XSCB XB B B-1-1 bIB B-1-1 N B B-1-1 Cj-zj0CN-CB B B-1-1 N -CB B B-1-1（4）若初始矩阵中变量Xj的系数向量为Pj，迭代后为，则有:第4页/共17页（5）当B B为最优基时，应有:这时从检验数行看出，若取其相反数恰好是其对偶问题的一个可行解。将这个解代入对偶问题的目标函数值，有：因XB的检验数可写为
5、:则有称为单纯形乘子，若令基变量基变量非基变量非基变量XBXN XSCB XB B B-1-1 bIB B-1-1 N B B-1-1 Cj-zj0CN-CB B B-1-1 N -CB B B-1-1 XN的检验数 XS的检验数 XB的检验数 所以XA的检验数 第5页/共17页 例1 1 两个互为对偶的线性规划问题，两者分别加上松弛和剩余变量后为：二、原规划与对偶规划问题的变量及解之间的对应关系第6页/共17页两个问题的最终单纯形表见下页：原问题变量松弛变量x1 x2x3 x4 x5 x3 15/20 01 5/4 15/2x1 7/21 00 1/4 1/2x2 3/20 10 1/4 3
6、/20 0 0 -1/4 -1/2对偶问题的剩余变量对偶问题变量y4 y5 y1 y2 y3对偶问题变量对偶问题的剩余变量y1 y2 y3y4 y5 y2 1/45/4 1 01/4 1/4y3 1/2 15/2 0 11/2 3/2 15/2 0 07/2 3/2原问题松弛变量 x3 x4 x5原问题变量x1 x2第7页/共17页二、原规划与对偶规划问题的变量及解之间的对应关系对偶对偶(minmin型型)变量的最优解等于原问题变量的最优解等于原问题松弛变量松弛变量检验数的检验数的绝对值绝对值对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题对应变量对应变量的检的检验
7、数的绝对值验数的绝对值由于原问题和对偶问题是相互对偶的，因此对偶问题的检由于原问题和对偶问题是相互对偶的，因此对偶问题的检验数与原问题的解也有类似上述关系验数与原问题的解也有类似上述关系。更一般地讲，不管原问题是否标准，在更一般地讲，不管原问题是否标准，在最优解的单纯型表最优解的单纯型表中，都有原问题中，都有原问题虚变量虚变量(松弛或剩余松弛或剩余)的检验数对应其对的检验数对应其对偶问题偶问题实变量实变量 (对偶变量对偶变量)的最优解的最优解，原问题原问题实变量实变量(决策决策变量变量)的检验数对应其对偶问题的检验数对应其对偶问题虚变量虚变量 (松弛或剩余变量松弛或剩余变量)的最优解。因此，原
8、问题或对偶问题只需求解其中之一的最优解。因此，原问题或对偶问题只需求解其中之一就可以了。就可以了。第8页/共17页三、线性规划的对偶定理三、线性规划的对偶定理1.弱对偶性（弱对偶定理）证明：证明：第9页/共17页弱弱对偶定理推论对偶定理推论:max问题问题的任何可行解目标函数值是其的任何可行解目标函数值是其对偶对偶min问题问题目标函目标函数值的下限；数值的下限；min问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题的任何可行解目标函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。问题目标函数值的上限。如果原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问如果原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行
9、解。题）无可行解。如果原问题（对偶问题）有可行解，其对偶问题（原问题）如果原问题（对偶问题）有可行解，其对偶问题（原问题）无可行解，则原问题（对偶问题）为无界解。无可行解，则原问题（对偶问题）为无界解。u注意：注意：如果原问题（对偶问题）无可行解，对偶问题（原如果原问题（对偶问题）无可行解，对偶问题（原问题）具有无界解或无可行解。问题）具有无界解或无可行解。第10页/共17页2.2.最优性（最优解判别定理）证明：设xj*是原问题的最优解，yi*是对偶问题的最优解第11页/共17页3.强对偶性（对偶定理）定理定理如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们都有最优如果原问题和对偶问题都有可行解，则它们
10、都有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。解，且它们的最优解的目标函数值相等。证：第一步，证明都有最优解。证：第一步，证明都有最优解。原问题和对偶问题都有可行原问题和对偶问题都有可行解，由弱对偶定理推论解，由弱对偶定理推论1可知，原问题目标函数有上界，对可知，原问题目标函数有上界，对偶问题的目标函数有下界，故一定存在最优解。偶问题的目标函数有下界，故一定存在最优解。第二步，证明最优解的目标函数值相等。第二步，证明最优解的目标函数值相等。根据单纯形法根据单纯形法的矩阵描述，原问题有最优解，对偶问题为可行解，且二者的矩阵描述，原问题有最优解，对偶问题为可行解，且二者的目标函数值相等，根据最优性定理，二者的解均为最优解。的目标函数值相等，根据最优性定理，二者的解均为最优解。第12页/共17页4.互补松弛性（互补松弛定理）在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零的，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为0。也即第13页/共17页第14页/共17页第15页/共17页第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页