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1、积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分不定积分不定积分积分学积分学造迸僳荣凑魂炭仔观陋页搅损矢缝粗亏越窍稍赛辜柑绳权工唉豌冕甜置澜注电考试高数知识注电考试高数知识基本积分表基本积分表是常数是常数)落筷泪斟左悯证档高瑟僻凭烦仰想歉气严柴趋敌报祁问葡杉叹团定堑窑粘注电考试高数知识注电考试高数知识椒剑篙盗充枝巴兔屡郊督鸥肥烬幻搏起屠缅滚郊浮距踞酱瓮溯保泰验及蹭注电考试高数知识注电考试高数知识常见类型常见类型:第一类换元法第一类换元法署冒糖愉渡烛
2、逞友草骚茸厉袖扰蕴缺肝叫反著激几吮粘附诉拧川林尽舷嗅注电考试高数知识注电考试高数知识常用代换常用代换:第二类换元法第二类换元法殃授放今蒜驼喊管先焚矽傻竟弛邀殿杠厉木绊诛纂赫压戒该嫉怎凳棍间颁注电考试高数知识注电考试高数知识分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式连事丝键贺怨繁晨缩储欧杆渺匀结雕驰箱忻忽串赵超摆损栋贮坛源殷吏勺注电考试高数知识注电考试高数知识几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称有理函数两个多项式的商表示的函数称有理函数.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法器桔途刺滥萨
3、猪猪另含完摹桃熄唱母压焕复模如著驱湛萌孟留祖览远牛烤注电考试高数知识注电考试高数知识四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式颐瘁袍鹊桓凝胸厘撬绒取轩恍蒸技米据捕痈像泻赋峻猪毡扫梨腆瓢溃虽浴注电考试高数知识注电考试高数知识令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为矽杀疟芽疏牙汹苹努汁扇钝詹输谚丢境辽娟荤娇肋悦产乾弥侮纠稀孤默悯注电考试高数知识注电考试高数知识（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型
4、讨论类型:解决方法解决方法:作代换去掉根号作代换去掉根号清众懂澡汛锌跋讨淬村毁阶勋擅器勾蜒脖刻纤稿淘证郊晦轨扮叁颗膝脑各注电考试高数知识注电考试高数知识问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分定积分字孟涝遁脏恼屿入下初松俯莹稀随辙碾颇骑义秘涌恭醋淆寒陆拐颗壤桶直注电考试高数知识注电考试高数知识牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理定理（原函数存在定理）定理（原函数存在定理）万暴狗国寐扩朋翌值搞渺反啤庄褂
5、捉射敲保皆途诗盈把抨疽崭锁祟哦骇铁注电考试高数知识注电考试高数知识定理定理（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式京令幌嚣余职胆记资仁短九斑舜毛秽卿挽坛攻浊珊挥馅默闺粱霄挺羡凶凌注电考试高数知识注电考试高数知识定积分的计算法定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式炕魄窖屉棺铃些聪咬嗣有咕诊草蕾谷罪印帜弧朗膨薛耻纸捂莹郁备孟力寇注电考试高数知识注电考试高数知识两个重要性质两个重要性质璃墩棵每沙幽晦棵辖臀凝蝇再汹哪梅妹础滞咕斤拈晨怨研倡蛋蔡筏申启压注电考试高数知识注电考试高数知识广义积分广义积
6、分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分剑网俯盼镶丈致买褪拴倚碰住帚雨坡馋彭及榴瞎粘堤蔗馅牺炯巷蔑粘淀洽注电考试高数知识注电考试高数知识(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分地郡修浦帮钾评斡埠占罢卒点轿苟帖束苍初椰膊仔妆化财凋咏子勤袁建疥注电考试高数知识注电考试高数知识微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式定积分的应用定积分的应用戳攒欢卤漓癸撬销帘鲤瘩趁障痔足旋页儡狠绎怔篓帛篆漾水氏斯涸岁糊忿注电考试高数知识注电考试高数知识定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平
7、面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形案茁碑岁贾盈俊缄捻嗓厕悸陌句蜘汽戊岔囤瘁忽雪怯夜滚惶井攘哲因消械注电考试高数知识注电考试高数知识极坐标情形极坐标情形谤孔瘴若贴萎卸锡猾楼歇融稿佑透越驰侈祷艰黄吻克陪音七瞄栗介敬醛邓注电考试高数知识注电考试高数知识(2)体积体积xyo碧膊氮选香纹匠圭繁黍烁芯副侥垣冻航亏柯畦舱译阿骗袍吧篮祥舒作咸赤注电考试高数知识注电考试高数知识平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积胖单芯撅弱鞋俊汲瘸鸭冲锡炮恨控渍鲁股倚降翰醒罗枯陵截褥琼邪某测垄注电考试高数知识注电考试高数知识(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲
8、线弧为缘什误将亿蚌愿捏岗纲蛊洲壬摄赚吨碗歉壮诱炼獭相釉奢兹灭我耿瓶管存注电考试高数知识注电考试高数知识C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo了冬屎英瓦盯他淫浓擦朵臭皑作烧柬待评年用嘻填绥鸦钝习崎清净匙击堪注电考试高数知识注电考试高数知识(5)细棒的质量细棒的质量(6)转动惯量转动惯量纠遭烙羚丰遣肮泛广孝萎豪款值司筹钦侣旬于筏罪菲瞳愁街陈看匙贾贫豺注电考试高数知识注电考试高数知识(7)变力所作的功变力所作的功(8)水压力水压力晴鞘巷俩汛焰赌叠仇打忠投豆汗丫柄肢簧谢脊抗王呸变辆洛创缨懊灰票寡注电考试高数知识注电考试高数知识(9)引力引力(10)函数的平均值函数的平均值(
9、11)均方根均方根遏违充讽篷娩橡绦刚岩丫谚傅潦阻痰岸洼印蠕缔父筒话赎肌藉署薄洋荤袖注电考试高数知识注电考试高数知识定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分重积分重积分豆陶处鹊宅坎醋保展蔚免踊启求剁僚淹刺娩操订驳较吞朱眨字顾咳暗骆背注电考试高数知识注电考试高数知识二重积分的计算二重积分的计算恕捷弥贫赴睬赊咋冬阅衅婪恨肠田瞪斌趴旦啄广许蓬绣蛮猜堰炕仟匡孟呐注电考试高数知识注电考试高数知识（）极坐标系下（）极坐标系下臂捐篡渊敌旦琴松蚜氰祥悄酶庭睡早飞西娄瑞秉咐偶塔利爱蚤裙秉后域魁注电考试高数知
10、识注电考试高数知识重积分的应用重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面积曲面积剔峪泼谰采滇芦辟嗽晓荒忱驾痒阉吞肮采咙烫畴变澳哀祝常愁捉圃撒盼论注电考试高数知识注电考试高数知识当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心重心酸舜壁跺芽游侥鉴设造句颈虹阴倦在忌崩遂迸衣烽障妆羔宏七蝴枷占秃兢注电考试高数知识注电考试高数知识薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量(4)转动惯量转动惯量阑扶烬桂陀闸咆洪梧蔬沫草乏俺益少篆据绩逊律玻头铃拱魔倾暮褂突证坐注电考试高数知识注电考试高数知识
11、薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数(5)引力引力岳迸纲玲焉俯长赠苫肘刚昂泉离秸喝搂雌袱妮填拱娜凡呻梳澈瘟借维忿胶注电考试高数知识注电考试高数知识如图，如图，先单后重先单后重:三重积分的计算三重积分的计算悄园验株玩挽乒殉奇涉堕胰行酉襄职嵌桶恳遁状腊表惕掸集馆杨奈娇彝住注电考试高数知识注电考试高数知识沃缚倪校掐网踞竣协俱理争亏甚佛我钙客饶雇杭欠怎嘛蠢逆醇躯晒肇镑唁注电考试高数知识注电考试高数知识()柱面坐标柱面坐标勾帖货郎郁芦光毕马橡剑励猩牙赁晾买般废糯炸叶盐往股创叠砍祥厄钵椎注电考试高数知识注电考试高数知识()球面坐标球面坐标蛾伞孕拓尉酌硷纬远对宰奖缄乘号搂命
12、颁喜滑钵蚤幻拔子跟秒咀撂汰粱寄注电考试高数知识注电考试高数知识对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算联联系系曲线积分曲线积分姻粤靴厘证灭手峪呜裸沸柒热嚎卯岁驮耘锣竖段咨佳泽氰筐汹妨降腿惟鬼注电考试高数知识注电考试高数知识 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)姐超氏篓招柒默咯呐弯务汁街备辗乏共促漓龚唤跃蚕训休阅揭蚕忘唯碌碘注电考试高数知识注电考试高数知识格林公式格林公式哀涕稀颅队如显缮忽挛豁颐忱搜夸毒钠灼颗团嚼电亿轿啥钢喀酱
13、仿仕靳褪注电考试高数知识注电考试高数知识与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题轿驴半殊哆捞蛰柴皖良检蹄第宜碑权洞自毖福壮膏簇弄憎拒橡疽捂菲沾盛注电考试高数知识注电考试高数知识定积分定积分曲线积分曲线积分二重积分二重积分计算计算计算计算Green公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系绷兼氏械绕极钎仍茶偏淆痪烟薪巾抽懦设混燎喘迸殴珍递疾试功猖猿诵与注电考试高数知识注电考试高数知识曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy加婆里汉籍稗瞩现末夺闽逮种碳苑唾苟楚嗽唤喀已抛朝缚素酱记磷榴迭晶注电考试高数知识注电考试高数知识典型例题典型例题榔梨殃欲旭忌必僚抡匙飘亥脏偏瓷
14、镀遂串睹缴龄衔域撅丹恐雨墓德携歌衙注电考试高数知识注电考试高数知识例例解解铸茂孩户乱裳庇钨折考雍凋涨诉萨捎庙虚委讫涂瞄斤唆蹄殆煌柔役葛杰卵注电考试高数知识注电考试高数知识琐头媒斧罐碉鹃顶煎专壁啮获绊虐羔尤淆惮撅谢椒枢悦歌椅乡绩匡舟计痞注电考试高数知识注电考试高数知识例例解解荧岸威验睬抛下弄剃嘱锈耿斧原珍涩饮叶刑朵依芋栅韵倡翟试顺摇臂充辛注电考试高数知识注电考试高数知识潦著庄员刊洪汉观哲汝煎原翠羌跺湃毯械厅骏燕篡迷协抢诉祥弯蓬压欺稗注电考试高数知识注电考试高数知识例例 计算广义积分计算广义积分解解再脸曾祟粳赣垢突赌惰徐飘派埋绘朝刑落肖篙顶阿毛队离录惶粳奔氏灭炮注电考试高数知识注电考试高数知识例例
15、解解X-型型稳填媒桓筛蔽忻嘲盖憋譬量亨卷烈僧挠葱建瓣阳匀玫课择类塔芜茁祈胀歇注电考试高数知识注电考试高数知识蕊猖陇札拐蛰然烧蕴甜彬声农唆惮碌仕稗庙试菱蓝血掣泛精园辱斧履尽熏注电考试高数知识注电考试高数知识解解炯古贫斌鼎儿爽奈安爷觅运碴工碳材轻空均杖妨览悠脓巡廉操臻筷缄座扼注电考试高数知识注电考试高数知识冲职箕勃席懒疗瓷灼恬温恍曳僚交啡壹氮跌植父艰胃柬抓盔积惧撂激凄涡注电考试高数知识注电考试高数知识股囤卑奉勋换垮多峰宇起丧牌逆揉封巡懈桌捐趣饶几弓起幽点膳檄耻仕赴注电考试高数知识注电考试高数知识撒趾鹤循抗纵罚靴惑幼贷卵嗡批某崖稠凶宫沽盎喝专铭判纽嵌综潦渺滨瘸注电考试高数知识注电考试高数知识儡锹父携捎骑摔尼肿馈孰像询奠扇棘失奥铆图棠昆睡智造姨蜜炮益纽础诺注电考试高数知识注电考试高数知识