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1、第4章 矩阵基础现在学习的是第1页，共42页 例例 4.14.1 设要将某种物质从三个产地设要将某种物质从三个产地A A1 1、A A2 2、A A3 3运往四个销地运往四个销地B B1 1、B B2 2、B B3 3、B B4 4，用，用a aijij 表示表示由产地由产地A Ai i调往销地调往销地B Bj j的物质数量，那么这一调的物质数量，那么这一调运方案可用下面的表格表示：运方案可用下面的表格表示：4.1 4.1 矩阵的概念矩阵的概念现在学习的是第2页，共42页例例4.24.2 考虑线性方程组：考虑线性方程组：把此线性方程组的系数按原来的次序排成如下的系数把此线性方程组的系数按原来的
2、次序排成如下的系数表：表：常数项也排成一个表常数项也排成一个表 。有了这两个表，。有了这两个表，方程组就完全被确定了。方程组就完全被确定了。现在学习的是第3页，共42页例例4.34.3 在平面解析几何中，坐标旋转变换在平面解析几何中，坐标旋转变换公式为公式为显然，新旧坐标之间的关系可通过其系数表：显然，新旧坐标之间的关系可通过其系数表：来表示，称它为坐标旋转变换的旋转变换来表示，称它为坐标旋转变换的旋转变换 表。表。现在学习的是第4页，共42页定义定义4.14.1 由由mnmn个数（个数（i=1,2,i=1,2,m,m；j=1,2,j=1,2,n,n）排成的）排成的m m行行n n列的矩形阵式
3、列的矩形阵式 称称A A为一个为一个m m行行n n列的矩阵列的矩阵，或，或m mn n矩阵矩阵。现在学习的是第5页，共42页 因为矩阵因为矩阵A A中第中第i i行第行第j j列的元素为列的元素为a aijij，所以，所以矩阵矩阵A A常写为常写为设矩阵，设矩阵，若若m=sm=s，n=tn=t，且，且A A与与B B的对应元素相等：的对应元素相等：（i=1,2,i=1,2,m;j=1,2,m;j=1,2,n,n），），则称则称矩阵矩阵A A 与与B B 相等相等，记为，记为A=BA=B。现在学习的是第6页，共42页当当m=nm=n时，称为时，称为n n阶方阵阶方阵。当当m=1m=1时，即只有
4、一行的矩阵，称为时，即只有一行的矩阵，称为行矩阵行矩阵或或行向量行向量。当当n=1n=1时，即只有一列的矩阵，称为时，即只有一列的矩阵，称为列矩阵列矩阵或或列向量列向量。当当m=n=1m=n=1时，即只有一个元素的矩阵，矩阵就时，即只有一个元素的矩阵，矩阵就退化为通常的标量了。退化为通常的标量了。所有元素均为所有元素均为0 0的矩阵称为的矩阵称为零矩阵零矩阵，记为，记为O O。主对角线元素全是主对角线元素全是1 1，其余元素全是，其余元素全是0 0的方阵的方阵为为单位阵单位阵，记为，记为I I或者或者E E。现在学习的是第7页，共42页定义定义4.2 设设A(aij)和和B(bij)是两是两m
5、 n个矩阵，把它们的个矩阵，把它们的对应元素相加，得到一个新的矩阵对应元素相加，得到一个新的矩阵 则称矩阵则称矩阵C是是A与与B的的和和，记作，记作C=A+B。注意：两个矩阵必须在行数与列数分别相等的情况下才注意：两个矩阵必须在行数与列数分别相等的情况下才能相加。能相加。4.2 4.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算现在学习的是第8页，共42页矩阵的加法满足矩阵的加法满足交换律交换律 A+B=B+AA+B=B+A，结合律结合律 (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)。对于任何矩阵对于任何矩阵A A有：有：A+O=AA+O=A。现在学习的是第9页，共42页 设矩阵设矩阵 ，若
6、把它的每一元素换为其相反数，得到一个若把它的每一元素换为其相反数，得到一个矩阵矩阵 ，称它为称它为A的的负矩阵负矩阵，记为记为-A，显然有，显然有 A+(-A)=O。现在学习的是第10页，共42页利用矩阵的加法及负矩阵的概念，我们可以利用矩阵的加法及负矩阵的概念，我们可以定义定义两个矩阵两个矩阵A A与与B B的差的差，即定义，即定义减法减法：A-B=A+(-B)A-B=A+(-B)。其实质也就是把其实质也就是把A A与与B B的元素对应相减。的元素对应相减。显然，显然，A-B=0A-B=0与与A=BA=B等价。等价。现在学习的是第11页，共42页定义定义4.3 设设A=(aij)是一个矩阵，
7、是一个矩阵，k是一个数，是一个数，则称矩阵则称矩阵 为矩阵为矩阵A与数与数k的的数量乘积数量乘积，记为，记为kA。数量乘积满足下列运算规律：数量乘积满足下列运算规律：分配律分配律 (k+l)A=kA+lA k(A+B)=kA+kB 结合律结合律 k(lA)=(kl)A 1A=A (其中其中k、l是数，是数，A、B是矩阵是矩阵)现在学习的是第12页，共42页定定义义4.4 设设A(aij)是是一一个个m n矩矩阵阵 B(Bij)是是一一个个n p矩矩阵阵 那那么么矩矩阵阵A与与矩矩阵阵B的的乘乘积积记记为为AB 规规定定为为m p矩阵矩阵C(cij)其中其中(i 1 2 m；j 1 2 p)注意
8、：注意：1.A的列数必须等于的列数必须等于B的行数，的行数，A与与B才能相乘。才能相乘。2.乘积乘积C=AB中第中第i行第行第j列元素等于列元素等于A的第的第i行与行与B的的第第j列元素对应乘积之和。列元素对应乘积之和。3.乘积乘积C=AB的行数等于的行数等于A的行数，的行数，C=AB的列数等的列数等于于B的列数。的列数。现在学习的是第13页，共42页例例4.54.5 设设 ，则则 现在学习的是第14页，共42页 例例4.64.6 对线性方程组：对线性方程组：则该线性方程组可写成一个矩阵方程则该线性方程组可写成一个矩阵方程AX=BAX=B。A A为方程组的为方程组的系数矩阵系数矩阵，B B为方
9、程组的为方程组的常数项常数项矩阵矩阵，X X为方程组的为方程组的未知变量矩阵未知变量矩阵现在学习的是第15页，共42页 解解 3216 1680000 本例说明本例说明 乘法一般不满足交换律乘法一般不满足交换律 从从AB O一般不能推出一般不能推出A O或或B O 从从A(X Y)O一般不能推出一般不能推出X Y 现在学习的是第16页，共42页矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质1.不满足交换律不满足交换律2.由由AB=O，不能推出，不能推出A=O或或B=O。3.满足结合律满足结合律 (AB)C=A(BC)4.乘法对加法满足分配律乘法对加法满足分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA
10、5.矩阵的乘法和数量乘法还满足结合律矩阵的乘法和数量乘法还满足结合律 k(AB)=(kA)B6.ImA=AIn=A现在学习的是第17页，共42页定义定义4.44.4 设矩阵，设矩阵，把它的行与列互换所得到的矩阵把它的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵称为矩阵A A的的转置矩阵转置矩阵，记为。，记为。现在学习的是第18页，共42页 转置矩阵满足以下运算律转置矩阵满足以下运算律1）；）；2）；）；3）；）；4）。）。现在学习的是第19页，共42页4.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩4.3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 4.3.2 矩阵的秩矩阵的秩现在学习的是第20页，共42页定
11、义定义4.54.5 对矩阵施以下列三种变换，称为对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵矩阵的初等变换的初等变换：1)1)交换矩阵的两行（列）交换矩阵的两行（列）.(对调变换对调变换(i)(i)(j)(j)2)2)以一个非零的数以一个非零的数k k乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行(列列).).（倍乘（倍乘变换变换 k(i)k(i)）3)3)把矩阵某一行（列）的把矩阵某一行（列）的k k倍加于另一行（列）倍加于另一行（列）上上.（倍加变换（倍加变换 k(i)+jk(i)+j）4.3.1 4.3.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换现在学习的是第21页，共42页若在矩阵各行中位于第一个非零元素前面若在矩阵各行
12、中位于第一个非零元素前面的零的个数逐行増加，且矩阵的全零行在的零的个数逐行増加，且矩阵的全零行在最下方，则称此矩阵为最下方，则称此矩阵为阶梯形矩阵阶梯形矩阵。定理定理4.14.1 任意一个矩阵经过若干次初等行任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可以化为阶梯形矩阵。变换均可以化为阶梯形矩阵。现在学习的是第22页，共42页 例例4.7 设设 ，则可化，则可化A为为阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：此矩阵为阶梯形矩阵。此矩阵为阶梯形矩阵。现在学习的是第23页，共42页4.3.2 矩阵的秩矩阵的秩定义定义4.6 矩阵矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的的阶梯形矩阵中非零行的行数称为行数称为矩阵矩阵A的秩的秩，记作秩（，记
13、作秩（A）或）或r(A)。设设A为为n阶方阵，若阶方阵，若r(A)=n，则称，则称A为为满秩满秩矩阵矩阵，或称，或称A为为非奇异的或非退化的非奇异的或非退化的。命题：命题：任意一个任意一个n阶满秩矩阵经过矩阵的阶满秩矩阵经过矩阵的初等变换均可以化为初等变换均可以化为n阶单位阵。阶单位阵。现在学习的是第24页，共42页4.4 矩阵的逆矩阵的逆4.4.1 逆矩阵和可逆矩阵逆矩阵和可逆矩阵4.4.2 矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件4.4.3 求逆矩阵求逆矩阵现在学习的是第25页，共42页4.4.1 4.4.1 可逆矩阵与逆矩阵可逆矩阵与逆矩阵定义定义4.74.7 设设A A为为n n阶矩阵，如果存在阶
14、矩阵，如果存在n n阶矩阶矩阵阵B B，使得，使得 ，则称，则称A A为为可逆矩阵可逆矩阵，称称B B为为A A的的逆矩阵逆矩阵。A A的逆矩阵用的逆矩阵用 表示。表示。性质：性质：若若A A可逆可逆,则则A A的的逆矩阵是唯一逆矩阵是唯一的。的。证明证明(反证法反证法)：假设：假设A A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B B、C C，即，即 ，于是于是 ，所以逆矩阵是唯一的。所以逆矩阵是唯一的。现在学习的是第26页，共42页注意注意 ：1 1）可逆矩阵一定是方阵，且）可逆矩阵一定是方阵，且 不能写成不能写成 。2 2）有逆矩阵的方阵称为）有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵可逆矩阵，无逆矩阵，无逆矩阵的方阵称
15、为的方阵称为不可逆矩阵不可逆矩阵。3 3）若）若A A的逆矩阵是的逆矩阵是B B，则，则B B的逆矩阵也是的逆矩阵也是A A。现在学习的是第27页，共42页矩阵的逆满足以下运算律：矩阵的逆满足以下运算律：1 1）2 2）3 3）4 4）现在学习的是第28页，共42页4.4.2 方阵可逆的条件方阵可逆的条件定理定理4.2 方阵方阵A为可逆阵的充分必要条件是为可逆阵的充分必要条件是A为满秩矩阵。为满秩矩阵。例例:A为为4阶方阵，阶方阵，r(A)=3，A为非满秩矩阵，为非满秩矩阵，所以所以A为不可逆矩阵。为不可逆矩阵。现在学习的是第29页，共42页 利用初等利用初等行行变换求逆矩阵的方法：变换求逆矩
16、阵的方法：1.1.先在所要求的矩阵旁添上一个与其阶数相先在所要求的矩阵旁添上一个与其阶数相等的单位矩阵，成为等的单位矩阵，成为 的形式，的形式，2.2.然后对矩阵然后对矩阵 进行进行初等行变换初等行变换，将，将其左半部其左半部 A A 化为单位矩阵，这时右半部即为化为单位矩阵，这时右半部即为A A的逆矩阵，即的逆矩阵，即 变成变成 。这样就把这样就把A A的逆矩阵的逆矩阵 求出来了。求出来了。4.4.3 4.4.3 求逆矩阵求逆矩阵现在学习的是第30页，共42页例例4.8 设设 ，求，求 。解：解：所以所以现在学习的是第31页，共42页注意注意：对矩阵：对矩阵 进行初等行变换时，若进行初等行变
17、换时，若所变换矩阵左半部子块中有一行的元素所变换矩阵左半部子块中有一行的元素全为全为0，可知，可知A为非满秩矩阵，由定理为非满秩矩阵，由定理4.2，则知，则知A为不可逆矩阵。为不可逆矩阵。现在学习的是第32页，共42页 线性方程组线性方程组AX=B。令。令 =A,B，称为方程，称为方程组的组的增广矩阵增广矩阵。1。线性方程组。线性方程组AX=B有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 ；2。若方程组。若方程组AX=B有解，则有解，则当当 时时,方程组只有唯一解方程组只有唯一解 ;当当 时时,方程组有无穷多解；方程组有无穷多解；现在学习的是第33页，共42页4.6.1 4.6.1 伸缩变换伸缩变
18、换4.6.2 4.6.2 平移变换平移变换 4.6.3 4.6.3 旋转变换旋转变换 4.6 4.6 矩阵运算矩阵运算在计算机图形学中的应用在计算机图形学中的应用现在学习的是第34页，共42页4.6.1 4.6.1 伸缩变换伸缩变换伸缩变换伸缩变换是由视图沿是由视图沿x x、y y、z z轴方向分别以伸轴方向分别以伸缩系数缩系数 、伸缩而成。用这种方伸缩而成。用这种方法，我们指定原视图中具有坐标法，我们指定原视图中具有坐标 的点移动到新视图中具有坐标的点移动到新视图中具有坐标 的新的点的新的点 上。上。现在学习的是第35页，共42页用矩阵乘法完成伸缩变换用矩阵乘法完成伸缩变换定义一个三阶定义一
19、个三阶对角矩阵对角矩阵为为原视图中点原视图中点P Pi i的坐标表示为列矩阵的坐标表示为列矩阵变换后的点变换后的点P Pi i的坐标表示为列矩阵的坐标表示为列矩阵原来视图所有原来视图所有n n个点的坐标作为矩阵个点的坐标作为矩阵P P的列，则矩阵的列，则矩阵P P称为称为坐标矩阵。通过变换这坐标矩阵。通过变换这n n个点同时产生伸缩视图的坐标矩阵个点同时产生伸缩视图的坐标矩阵 P P=SP.=SP.把这个新的坐标矩阵输入视屏显示系统，就产生物体把这个新的坐标矩阵输入视屏显示系统，就产生物体的新视图。的新视图。现在学习的是第36页，共42页4.6.2 4.6.2 平移变换平移变换平移变换平移变换
20、是将物体平移（或位移）到视屏的是将物体平移（或位移）到视屏的一个新的位置。假设我们希望改变现有的视一个新的位置。假设我们希望改变现有的视图，使具有坐标图，使具有坐标 的每一点移到的每一点移到具有坐标为具有坐标为 的新的的新的点点 。现在学习的是第37页，共42页通过矩阵加法实现平移变换通过矩阵加法实现平移变换平移向量用列向量表示平移向量用列向量表示定义一个定义一个3Xn3Xn矩阵矩阵T T如下：如下：视图的所有视图的所有n n个点由坐标矩阵个点由坐标矩阵P P确定，通过方程确定，通过方程 能实现平移变换。坐标矩阵能实现平移变换。坐标矩阵P P给出给出n n个个点的新坐标。点的新坐标。现在学习的
21、是第38页，共42页 4.6.3 4.6.3 旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换是视图关于三个坐标轴进行旋转是视图关于三个坐标轴进行旋转的变换。的变换。从绕从绕z z轴旋转一个角轴旋转一个角 开始（开始（z z轴垂直于屏轴垂直于屏幕），已知点幕），已知点 在原来视图中具有坐标在原来视图中具有坐标 ，我们要计算旋转后的点，我们要计算旋转后的点 的新坐标的新坐标 。现在学习的是第39页，共42页运用三角知识推导出如下式子：运用三角知识推导出如下式子：此式可用矩阵表达如下：此式可用矩阵表达如下：用用 表示这个等式中的表示这个等式中的3 3阶方阵，称为阶方阵，称为旋转矩阵旋转矩阵，那么被旋转的那么被旋转
22、的n n个点可用矩阵的乘积个点可用矩阵的乘积 求得旋转之后视图的坐标矩阵求得旋转之后视图的坐标矩阵 。现在学习的是第40页，共42页绕绕x轴轴y轴的旋转可类似地完成。绕轴的旋转可类似地完成。绕x轴，轴，y轴轴旋转的旋转矩阵如下：旋转的旋转矩阵如下：绕绕x轴旋转角：轴旋转角：绕绕y轴旋转角：轴旋转角：绕三个坐标轴旋转综合起来就得到物体的斜绕三个坐标轴旋转综合起来就得到物体的斜视图。视图。现在学习的是第41页，共42页第第2 2章章 复习复习矩阵的概念：矩阵的概念：行矩阵、列矩阵、零矩阵行矩阵、列矩阵、零矩阵O O、单位矩阵、单位矩阵I I、阶梯形矩阵、阶梯形矩阵、可逆矩阵、可逆矩阵、满秩矩阵满秩
23、矩阵运算及其性质：运算及其性质：（注意运算的条件）（注意运算的条件）加法（减法）：交换律、结合律加法（减法）：交换律、结合律数乘：分配律、结合律数乘：分配律、结合律乘法：不满足交换律、满足结合律和分配律乘法：不满足交换律、满足结合律和分配律转置：加法、乘法运算律转置：加法、乘法运算律初等变换：初等变换：求阶梯形矩阵、求秩、判断矩阵是否可逆、求逆矩阵求阶梯形矩阵、求秩、判断矩阵是否可逆、求逆矩阵逆：数乘、乘法、转置的运算律。逆：数乘、乘法、转置的运算律。可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件矩阵的应用矩阵的应用：计算机图形学中的伸缩、平移、旋转变换：计算机图形学中的伸缩、平移、旋转变换现在学习的是第42页，共42页