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1、第第3 3篇代数系统篇代数系统现在学习的是第1页，共77页非负整数集与普通加法+构成的代数系统中，没有单位元。()设N为自然数集合，在xy=x+y-2*x*y运算下构成代数系统。设G=0,1,2,3,4,5,为模6加法，则中的6阶元是（）A.5,0 B.5,1 C.4,3 D.2,1在中有3-5=。现在学习的是第2页，共77页引引言言代数系统也叫做抽象代数，主要研究抽象的代代数系统也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数结构。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用数结构。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。它表示实际世界中的离散结构。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例
2、如自动抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数系统的主要研究等等都要用到抽象代数的知识。代数系统的主要研究对象就是各种典型的抽象代数结构。对象就是各种典型的抽象代数结构。现在学习的是第3页，共77页第3-1章 代数结构3-1-1 代数系统的概念代数系统的概念3-1-2 代数系统的运算及其性质代数系统的运算及其性质 3-1-3 半群与含幺半群半群与含幺半群3-1-4 群与子群群与子群现在学习的是第5页，共77页二元运算的定义与实例二元运算的定义与实例设设S S为集合为集合
3、,函数函数f f：SSSSSS称为称为S S上的二元运算上的二元运算,简称为二元运简称为二元运算。算。验证一个运算是否为集合验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：上的二元运算主要考虑两点：(1)S(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的且运算的结果是唯结果是唯一的一的。(2)S(2)S中任何两个元素的运算结果都属于中任何两个元素的运算结果都属于S,S,即即S S对该对该运算是封闭运算是封闭的的。3-1-1 代数系统的概念代数系统的概念加法运算是自然数集合加法运算是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算例如：例如：f f：NNN,f()=x
4、+yNNN,f()=x+y 减法运算不是自然数集合减法运算不是自然数集合N上的二元运算。上的二元运算。也称也称N对减法运算不封闭。对减法运算不封闭。现在学习的是第6页，共77页除法运算不是实数集合除法运算不是实数集合R R上的二元运算上的二元运算,因为因为0R0R,而而0 0不能做除数。不能做除数。但在但在R*=R0上就可以定上就可以定义除法运算了除法运算了,因因为x,y R*,都有都有x/y R*。n阶阶(n=2)实矩阵的集合实矩阵的集合Mn(R)上的乘法和加法。上的乘法和加法。设设S为任意集合，则为任意集合，则，是是()上的上的二元运算。二元运算。现在学习的是第7页，共77页设设S S为集
5、合为集合,函数函数f f：SSSS称为称为S S上的一元运算上的一元运算,简称简称为为一元运算一元运算。(1)求一个数的相反数是整数集合求一个数的相反数是整数集合Z，有理数集合，有理数集合Q，和实数集合和实数集合R上的一元运算。上的一元运算。(2)求一个数的倒数求一个数的倒数1/x是非零有理数集合是非零有理数集合Q*，非零，非零 实数集合实数集合R*上的一元运算。上的一元运算。(3)幂集合幂集合P(s)上，如果规定全集为上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补运，则求集合的绝对补运算是算是P(s)上的一元运算。上的一元运算。(4)n阶阶(n=2)实矩阵的集合实矩阵的集合Mn(R)上求转置矩阵。上
6、求转置矩阵。现在学习的是第8页，共77页二二元与一元运算的表示二二元与一元运算的表示 2表示二元或一元运算的方法表示二元或一元运算的方法 -解析公式和运算表解析公式和运算表表示二元或一元运算的方法有两种：表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式解析公式和和运算表运算表。1算符算符用用、*、等符号表示二元等符号表示二元或一元运算或一元运算,称称为算符算符。解析公式就是函数表达式。解析公式就是函数表达式。若若f f：SSSSSS为为S S上的二元运算上的二元运算,如果如果任意任意x，y S,x与与y运算运算结果是结果是z,即即f(x,y)=z；用用符号符号表示二元运算表示二元运算,可记做可记做xy
7、=z。现在学习的是第9页，共77页例例 设设S1,2,3,4，定义，定义S上的二元运算上的二元运算 如下：如下：x x y=(xy)mod 5 y=(xy)mod 5，x,yx,yS S 解析公式解析公式运算表运算表其中其中a1,a2,an是是S中的元素中的元素,为算符。为算符。有穷集有穷集S上的二元和一元运算运算表表示：上的二元和一元运算运算表表示：现在学习的是第10页，共77页其中其中a1,a2,an是是S中的元素中的元素,为算符。为算符。有穷集有穷集S上的二元和一元运算运算表表示：上的二元和一元运算运算表表示：列头元素列头元素行头元素行头元素现在学习的是第12页，共77页例：例：设设S1
8、,2，给出，给出P(S)上的运算和上的运算和 的运算表，其中全集为的运算表，其中全集为S。解：解：1ai1,22ai121,2P(S)=，1，2，1,2121,2121,2121,2121,21,221,2121现在学习的是第13页，共77页例例 设设S1,2,3,4，定义，定义S上的二元运算上的二元运算 如下：如下：x y=(xy)mod 5x y=(xy)mod 5，x,yx,yS S 求运算求运算 的运算表。的运算表。解：解：(xy)mod 5(xy)mod 5 表示表示xyxy除以除以5 5的余数，运算表如下的余数，运算表如下234123412341234413142321现在学习的是
9、第14页，共77页代数系统的定义与实例代数系统的定义与实例 定义定义3-1-1.2非空集合非空集合A和和A上上k个一元或二元运个一元或二元运算算f1,f2,fk组成的系统称为一个组成的系统称为一个代数系统代数系统,简称简称代数代数,记做记做。例如例如:,都是代数系统都是代数系统,其其中中+和和分别表示普通加法和乘法。分别表示普通加法和乘法。也是代数系统也是代数系统,其中含有两个二元运其中含有两个二元运算算和和以及一个一元运算以及一个一元运算。设设N为为自然数集合，自然数集合，在在x y=x+y-2*x*y运算运算 下下构成代数系构成代数系统吗统吗？现在学习的是第15页，共77页定义定义3-1-
10、2.13-1-2.1、2 2、5 5 设设*为为S S上的二元运算上的二元运算,(1)(1)如果对于任意的如果对于任意的x,yS,x,yS,有有 x*y=y*x,x*y=y*x,则称则称 运算运算*在在S S上满足上满足交换律交换律。（可交换）。（可交换）(2)(2)如果对于任意的如果对于任意的x,y,zSx,y,zS有有(x*y)*z=x*(y*z),(x*y)*z=x*(y*z),则称运算则称运算*在在S S上满足上满足结合律结合律。(可结合、可群可结合、可群)(3)(3)如果对于任意的如果对于任意的xSxS有有x*x=x,x*x=x,则称运算则称运算*在在S S 上满足上满足幂等律幂等律
11、。（。（*运算是等幂的）运算是等幂的）3-1-2 代数系统的运算及其性质代数系统的运算及其性质现在学习的是第18页，共77页例例3-1-2.1 3-1-2.1 设设Z Z是整数集，是整数集，、分别是分别是Z上的上的二元运算，其定义为，对二元运算，其定义为，对 a,ba,bZ,Z,a a b=ab-a-b ,a b=ab-a-b ,a b=ab-a+b,b=ab-a+b,问运算问运算 、是否可交换？是否可交换？解：解：a,ba,bZ,Z,a a b=ab-a-b b=ab-a-b ，b b a=ba-b-a,a=ba-b-a,a a b=b b=b a a，所以运算，所以运算 可交换可交换 a,
12、ba,bZ,Z,a a b=ab-a+b b=ab-a+b ，b b a=ba-b+a,a=ba-b+a,运算运算 不不可交换。可交换。现在学习的是第19页，共77页例例3-1-2.2 3-1-2.2 设设Q Q是有理数集合，是有理数集合，、*分别是分别是Q上的上的二元运算，其定义为，对二元运算，其定义为，对 a,ba,bZ,Z,a a b=a ,a b=a ,a*b=a-2b,b=a-2b,问运算问运算 、*是否可结合？是否可结合？解：对解：对 a,b,ca,b,cZ,(Z,(a a b b)c=a c=a c=a c=aa a (b(b c)=a c)=a b=a b=a (a a b b
13、)c=a c=a (b(b c)c)，所以运算所以运算可结合可结合对对 a,b,ca,b,cZ,(Z,(a a*b b)*c=(a*c=(a-2b)*c=2b)*c=a a-2b2b-2c2ca a*(b(b *c)=a c)=a*(b-2c)=a-2(b-2c)=a(b-2c)=a-2(b-2c)=a-2b2b+4c4c所以运算所以运算*不可结合不可结合现在学习的是第20页，共77页 若若S,是代数系统，其中是是代数系统，其中是S S上的二元运算，上的二元运算，且满足结合律，且满足结合律，n n是正整数，是正整数，a aS,S,则定义幂运算则定义幂运算a aa aa a a a是是S S中的
14、元素，称其为中的元素，称其为a a的的n n次幂次幂n n个个a a做做运算运算记作记作 a an na am ma an n=a=am+nm+n（a am m)n n=a=amnmn其中，其中，m,nm,n是正整数是正整数幂运算的性质幂运算的性质现在学习的是第21页，共77页定义定义3-1-2.33-1-2.3 设设 和和*为为S上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算,如果对于任意的如果对于任意的x,y,z S有有x(y*z)=(x z)*(y z)和和(y*z)x x=(y x)*(z x),则称则称 运算对运算对*运算满足运算满足分配律分配律。实数集实数集R上的乘法对加法是可分配的上的
15、乘法对加法是可分配的N(n=2)阶实矩阵集合阶实矩阵集合Mn(R)上矩阵乘法对上矩阵乘法对加法是可分配的加法是可分配的幂集幂集P(S)上上和和是互相可以分配的。是互相可以分配的。现在学习的是第22页，共77页如果如果 和和*都可交都可交换,并且并且对于任意的于任意的x,y S有有x(x*y)=x和和x*(x y)=x,则称称 和和*运算运算满足足吸收律吸收律。幂集幂集P(S)上上和和运算满足吸收律。运算满足吸收律。A（AB）AA（AB）A A，B P(S)定义定义3-1-2.43-1-2.4 设设 和和*为为S上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算,现在学习的是第24页，共77页二元运算的特
16、异元素二元运算的特异元素1.单位元单位元(幺元幺元)定义定义3-1-2.6 3-1-2.6 设设 为为S上的二元运算，如果存在上的二元运算，如果存在 el(或或er)S，使得对任何，使得对任何x x S都有都有 el x=x x=x（或（或 x x er=er ）则称则称el(或或er)是是S中关于中关于c c 的一个左幺元的一个左幺元(或右幺元或右幺元)若若eS关于关于 运算既是左幺元又是右幺元，则称运算既是左幺元又是右幺元，则称e为为S上关于上关于 运算的幺元。也称运算的幺元。也称单位元单位元。现在学习的是第25页，共77页在自然数集在自然数集N上，上，是加法的单位元，是加法的单位元，是乘
17、法的是乘法的单位元。单位元。n(n=2)阶实矩阵集合阶实矩阵集合Mn(R)上上 是矩阵加法的单位元，是矩阵加法的单位元，是矩是矩阵乘法的单位元。阵乘法的单位元。幂集幂集P(S)上上,运算的单位元是运算的单位元是 ，运算的单运算的单位元是位元是 ，对称差，对称差 运算的单位元是运算的单位元是01全全0的的n阶矩阵阶矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵 相对补运算的单位元相对补运算的单位元 没有没有S非非负负整数集与普通加法整数集与普通加法 +构成的代数系构成的代数系统统中，中，没有没有单位元。单位元。()现在学习的是第26页，共77页定理定理3-1-2.13-1-2.1 设设 为为S上的二元运算，上的二元
18、运算，el，er S分别是分别是 左单位元和右单位元，则有左单位元和右单位元，则有 elere 且且e为为S上关于上关于 运算的唯一单位元。运算的唯一单位元。证明：证明：el el er （er 为右单位元）为右单位元）er el er （el 为左单位元）为左单位元）所以所以eler现在学习的是第27页，共77页 设设是代数系是代数系统统，*是是实实数集合数集合R R上的二元运算，上的二元运算，使得使得对对于于R R中任意元素中任意元素x,y,x,y,都有都有x*y=x+y+xy,x*y=x+y+xy,（1 1）求求4*64*6，7*3.7*3.（2 2）求求*运算的运算的单单位元。位元。现
19、在学习的是第28页，共77页2.零元零元定义定义3-1-2.7 3-1-2.7 设设 为为S上的二元运算，如果存在上的二元运算，如果存在l(或或r)S，使得对任何，使得对任何x S都有都有称称l(或或r)是是S中关于中关于 的一个的一个左零元左零元(或或右零元右零元)l x=l x r=r 若若S关于关于 运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元，则称为为S上关于上关于 运算的运算的零元零元。在自然数集在自然数集N上，乘法的零元是上，乘法的零元是 0n(n=2)阶实矩阵集合阶实矩阵集合Mn(R)上乘法的零元是上乘法的零元是 全全0的的n阶矩阵阶矩阵幂集幂集P(S)上上,运算的零元
20、是运算的零元是 ,运算的零元是运算的零元是 S现在学习的是第29页，共77页下列各代数系下列各代数系统统中不含有零元的是中不含有零元的是()A.Q，*Q是全体有理数集，是全体有理数集，*是数的乘法运算是数的乘法运算B.Mn(R),*,Mn(R)是全体是全体n阶实阶实矩矩阵阵集合，集合，*是是矩矩阵阵乘法运算乘法运算C.Z，Z是整数集，是整数集，定义为定义为x y=y,x,y ZD.P(A)，P(A)是集合是集合A的的幂幂集，集，是集合是集合的并运算的并运算现在学习的是第30页，共77页 设设 为为S上的二元运算，上的二元运算，l,r S分别是分别是 运算的左零元和右零元，则有运算的左零元和右零
21、元，则有 lr 且且为为S上关于上关于 运算的惟一零元。运算的惟一零元。定理定理3-1-2.23-1-2.2现在学习的是第31页，共77页3.逆元逆元yl x=e(或或x yr=e)定义定义3-1-2.8 3-1-2.8 设设 为为S上的二元运算，如果存在上的二元运算，如果存在e S为为 运算的单位元，对运算的单位元，对 x x S，如果存在，如果存在ylS 或或yrS有使得有使得 则称则称yl(或或yr)是是x的的左逆元左逆元(或或右逆元右逆元)若若yS既是既是x的左逆元又是的左逆元又是x的右逆元，则称的右逆元，则称y是是x的逆元。的逆元。如果如果x的逆元存在，则称的逆元存在，则称x是可逆的
22、。是可逆的。记作记作x-1现在学习的是第33页，共77页自然数集合自然数集合N上的加法运算上的加法运算只有只有0 0有加法逆元，就是有加法逆元，就是0 0本身。本身。整数集合整数集合Z上的加法运算上的加法运算任何整任何整数数x x都有加法逆元，都有加法逆元，为x xn(n2)阶实矩阵集合阶实矩阵集合Mn(R)上矩阵加法和矩阵乘法：上矩阵加法和矩阵乘法：对任何对任何n阶实矩阵阶实矩阵M，M的加法逆元是的加法逆元是Mn阶实可逆矩阵阶实可逆矩阵M，M的乘法逆元是的乘法逆元是M-1幂集幂集P(S)上上,运算、运算、运算和运算和 运算：运算：对对运算只有运算只有 有逆元，为自身，其他元素没有逆元有逆元，
23、为自身，其他元素没有逆元对对运算只有运算只有 S 有逆元，为自身有逆元，为自身S，其他元素没有逆元，其他元素没有逆元对对 运算运算,P(S)中任何元素都有逆元，就是自身。中任何元素都有逆元，就是自身。现在学习的是第34页，共77页例例3-1-2.6 3-1-2.6 设集合设集合A=aA=a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4，a a5 5，a a6 6,定义在定义在A A上一个二元运算上一个二元运算*的运算表如下，指出的运算表如下，指出代数系统代数系统中各元素的左、右逆元的情况。中各元素的左、右逆元的情况。*a a1 1 a a2 2 a a3 3 a a4 4 a a5 5a a
24、1 1 a a1 1 a a2 2 a a3 3 a a4 4 a a5 5a a2 2 a a2 2 a a4 4 a a1 1 a a1 1 a a4 4a a3 3 a a3 3 a a1 1 a a2 2 a a3 3 a a1 1a a4 4 a a4 4 a a3 3 a a1 1 a a4 4 a a3 3a a5 5 a a5 5 a a4 4 a a2 2 a a3 3 a a5 5解：解：a a1 1 是幺元是幺元一个元素的左右逆元可能不止一个，但若有逆元则必唯一一个元素的左右逆元可能不止一个，但若有逆元则必唯一a a2 2、a a3 3互为逆元互为逆元现在学习的是第35页
25、，共77页定理定理3-1-2.4 3-1-2.4 设设 是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中*是是S S上的一个可结合的二元运算，上的一个可结合的二元运算，e S为该运算的为该运算的单位元，对单位元，对 x S，如果存在左逆元，如果存在左逆元yl和右逆元和右逆元yr 则有则有 yl =yry且且y是是x惟一的逆元。惟一的逆元。对于可结合的二元运算而言，可逆的元素对于可结合的二元运算而言，可逆的元素x只有惟一的逆元，通常记作只有惟一的逆元，通常记作x-1现在学习的是第36页，共77页例例3-1-2.6 3-1-2.6 对于代数系统对于代数系统N,其中其中k k是正整数，是正整数，N Nk k
26、=0,1,2,k-1,+=0,1,2,k-1,+k k是定义在是定义在N Nk k上的加法运算，上的加法运算，定义如下：定义如下：x,yx,y N Nk kx x+k k y=y=x x+y,y,若若x+ykx+ykx x+y y-k,k,若若x+ykx+yk问是否每个元素都有逆元？问是否每个元素都有逆元？解：解：+k k是一个可结合的二元运算，是一个可结合的二元运算，N Nk k中关于中关于+k k运算的幺元是运算的幺元是0 0每个元素都有逆元，每个元素都有逆元，0 0-1-1=0=0，x x-1-1=k-x(x0)=k-x(x0)K=6时，计算每个元素的逆元时，计算每个元素的逆元现在学习的
27、是第38页，共77页 若若S,是代数系统，是代数系统，是定义在非空有限集是定义在非空有限集合合S S上的二元运算，则上的二元运算，则运算运算 的部分性质可由运算表的部分性质可由运算表看出：看出：(1)(1)运算运算 的的封闭性封闭性当且仅当运算表中每个元素都属于当且仅当运算表中每个元素都属于S S(2)(2)运算运算 的的可交换性可交换性当且仅当运算表关于主对角线对称当且仅当运算表关于主对角线对称(3)(3)运算运算 的的幂等性幂等性当且仅当运算表中主对角线元素与它所在的当且仅当运算表中主对角线元素与它所在的行行(列列)的表头相同的表头相同现在学习的是第39页，共77页(4)S(4)S关于运算
28、关于运算 有幺元有幺元e e当且仅当运算表中表头当且仅当运算表中表头e e所在的行与表头一行相同；所在的行与表头一行相同；e e所在的列与表头一列相同。所在的列与表头一列相同。(5)S(5)S关于运算关于运算 有零元有零元当且仅当运算表中表头当且仅当运算表中表头所在的行与列元素都是所在的行与列元素都是(6)S(6)S关于运算关于运算 有逆元有逆元当且仅当运算表中行头当且仅当运算表中行头a a所在的行与列头所在的行与列头b b所在列所在列交叉点元素是幺元交叉点元素是幺元e e；反之，行头；反之，行头b b所在的行与所在的行与列头列头a a所在列交叉点元素也是幺元所在列交叉点元素也是幺元e e；a
29、 a-1-1=b=b现在学习的是第40页，共77页例例 设设Aa,b,c,A 上的二元运算上的二元运算 ,如如 表所示表所示（1）说明）说明 ,*运算是否满足交换律和幂等律。运算是否满足交换律和幂等律。（2）求出）求出 ,*运算的单位元、零元和所有可运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。逆元素的逆元。abcaabcbbbbccbc满足交换律，幂等律满足交换律，幂等律单位元为单位元为a零元为零元为b只有只有a有逆元，有逆元，a-1=a现在学习的是第41页，共77页*a ab bc ca aa ab bc cb bb bc ca ac cc ca ab b满满足足交交换换律律,不不满满足足幂幂等
30、等律律单位元为单位元为a无零元无零元b,c互为逆元，互为逆元，b-1=c,c-1=ba-1=a现在学习的是第42页，共77页 消去律消去律设为S上的二元运算，如果对于任意的 x,y,zS满足以下条件：(1)若x y=x z 且x，则y=z.(2)若y x=z x且x，则y=z.那么称运算 满足消去律，其中(1)称作左消去律(2)称作右消去律。(是该运算的零元)注意：被消去的x不能是零元现在学习的是第44页，共77页例如：整数集合Z上的加法和乘法都满足消去律。幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律运算满足消去律，对任意A，B，CP(S)A BA CBCB AC ABC现在学习的是第45页，共
31、77页3-1-3 半群与含幺半群半群与含幺半群定义定义3-1-3.1设设是一个是一个代数系统代数系统,*是是S上的一上的一个二元运算，如果个二元运算，如果*是可结合的，即对任意是可结合的，即对任意x,y,zS,都有都有(x*y)*z=x*(y*z),则称代数系统则称代数系统为为半群半群。半群中的二元运算有时也称半群中的二元运算有时也称“乘法乘法”，运算结果，运算结果称称“积积”。，现在学习的是第46页，共77页 abcaabcbabccabc验证验证 满足结合律满足结合律例例3-1-3.1 设设Sa,b,c,S 上的二元运算上的二元运算 如表如表所示，验证所示，验证是半群。是半群。a,b,c是
32、左幺元是左幺元(a b)c=b c=ca (b c)=a c=c现在学习的是第47页，共77页例例3-1-3.2 设设k是非负整数，集合定义为是非负整数，集合定义为Skx|x是整数且是整数且xk,验证验证是半群是半群,其中其中+就是普通加法运算。就是普通加法运算。解：运算解：运算+在在Sk,是封闭的，且满足结合。是封闭的，且满足结合。问问:是半群吗？是半群吗？现在学习的是第48页，共77页定理定理3-1-3.1设设是半群是半群,B是是S的非空子集，并的非空子集，并且且*在在B上是封闭的，即对任意上是封闭的，即对任意a,bB,都有都有a*bB,那那么么也是半群。也是半群。通常称通常称是是的的子半
33、群子半群。例例3-1-3.3 设设是表示普通乘法运算，则是表示普通乘法运算，则，是是的子半群。的子半群。如果是加法运算呢？如果是加法运算呢？半群中的幂运算半群中的幂运算设设是半群，设是半群，设a是是S中任一个元素，定义中任一个元素，定义 a的的n次幂次幂，记做，记做 an am an=am+n (am)n=amn 设设m,n是正整数是正整数现在学习的是第49页，共77页定理定理3-1-3.2设设是半群是半群,若若S是一个有限集合，是一个有限集合，则则S中有幂等元。中有幂等元。有限半群中一定有幂等元有限半群中一定有幂等元证明：证明：是半群，取是半群，取 a aS，由于运算由于运算*的封闭型有的封
34、闭型有 a*a=a2S，a2*a=a3S，因为因为S是有限集合，所以必存在正整数是有限集合，所以必存在正整数i,j，使得，使得ji且且ai=aj，记记m=j-i(m1)，则，则ai=aj=am*ai取任意正整数取任意正整数ni,an=ai*an-i=am*ai*an-i=am*anm1，必存在，必存在k1,使得使得kmi，则，则akm必是幂等元必是幂等元因为因为 akm=am*akm=am*(am*akm)=a2m*akm=a2m*(am*akm)=a3m*akm=akm*akm=现在学习的是第50页，共77页定义定义3-1-3.3若若半群半群的运算的运算 满足交换律，满足交换律，则称则称是一
35、个可交换半群。是一个可交换半群。定义定义3-1-3.4含有幺元的含有幺元的半群称为半群称为含幺半群含幺半群或或 独异点独异点。设设A=1，2，3，则，则是否半群？是否半群？是否独异点？是否独异点？是否半群？是否独异点？是否半群？是否独异点？现在学习的是第51页，共77页定理定理3-1-3.3设设S是至少有两个元素的有限集合，且是至少有两个元素的有限集合，且是一个含幺半群是一个含幺半群,则关于则关于*运算的运算表中任何两运算的运算表中任何两行或两列都是不同的。行或两列都是不同的。*exixi*exjxj*exi*e=xj*ee是幺元是幺元xi=xjxi xj现在学习的是第52页，共77页定理定理
36、3-1-3.4设设是一个含幺半群是一个含幺半群,对于任意的对于任意的x,yS，当，当x,y都有逆元时，则有都有逆元时，则有(1)(x-1)-1=x(2)当当x*y有逆元时，有有逆元时，有(x*y)-1=y-1*x-1现在学习的是第53页，共77页3-1-4 群与子群群与子群定义定义3-1-4.1设设是一个代数系统，其中是一个代数系统，其中G是非空集合，是非空集合，是是G上一个二元运算，如果上一个二元运算，如果(1)运算运算 是是可结合可结合的。的。(2)中中有幺元有幺元e(3)对每个元素对每个元素aG，G中都有中都有a的逆元的逆元a-1则称则称是一个是一个群群。现在学习的是第54页，共77页(
37、1),群群 和和不是群不是群 群群(2)不是群不是群 因因为并非所有的并非所有的n阶实矩矩阵都有逆矩都有逆矩阵。(3)对任何任何B的子集的子集A,A的逆元就是的逆元就是A自身。自身。群群 现在学习的是第55页，共77页 下列代数系下列代数系统统中能中能够够成群的是（成群的是（）A.,NA.,N是自然数集合，是自然数集合，+是普通加法。是普通加法。B.MB.,M,Mn n(R)(R)是是n n阶实阶实矩矩阵阵的集合的集合(n2)(n2)，表示矩表示矩阵阵乘法。乘法。C.P(B),C.，P(B)P(B)表示集合表示集合B B的的幂幂集，集，表示集合表示集合对对称差运算。称差运算。D DA,A,AA
38、 A表示所有从表示所有从A A到到A A的函数的集合，的函数的集合，表示函数的复合运算。表示函数的复合运算。现在学习的是第56页，共77页群的术语群的术语定义定义3-1-4.1(1)若群若群G是有穷集是有穷集,则称则称G是是有限群有限群,否则称为否则称为无限群无限群。群群G的基数称的基数称为群群G的的阶,有限群有限群G的的阶记作作|G|(2)只含只含单位元的群称位元的群称为平凡群平凡群。(3)若群若群G中的二元运算是可交中的二元运算是可交换的的,则称称G为交交换群群或或阿阿贝尔(Abel)群群。,是无限群是无限群,是有限群是有限群,也是也是n阶群。群。是平凡群。是平凡群。现在学习的是第57页，
39、共77页设G是群,aG,nZ,则a的n次次幂幂运算可以推广到半群和独异点。幂运算可以推广到半群和独异点。但不同的是：但不同的是：半群中幂指数半群中幂指数n只能取正整数；只能取正整数；独异点中幂指数独异点中幂指数n只能取自然数，只能取自然数，群中幂指数群中幂指数n可以负整数。可以负整数。现在学习的是第58页，共77页例如例如:在模在模3加群加群中中 整数加群整数加群中，中，23=？,2-3=？2-3=(2-1)3=13=111=0,2-3=？23=？23=222=0,2-3=(2-1)5=(-2)5=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-1023=2+2+2=63-5=？现在学习的
40、是第59页，共77页二群的性质二群的性质1 1群的幂运算规则群的幂运算规则 设设G为群为群,则则G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1)a G,(a-1)-1=a.(2)a,b G,(ab)-1=b-1a-1.(3)a G,anam=an+m,n,m Z.(4)a G,(an)m=anm,n,m Z.(5)若若G为交换群为交换群,则则(ab)n=anbn.现在学习的是第60页，共77页元素的阶元素的阶例如例如中中,Z6=0,1,2,3,4,5中元素分别是几阶元？中元素分别是几阶元？2和和4是是3阶元；阶元；3是是2阶元；阶元；1和和5是是6阶元；阶元；0是是1阶元；阶元；中中 0是是1阶元阶元
41、,其它的整数都是无限阶元。其它的整数都是无限阶元。设设G是群是群,a G,使得等式使得等式 ak=e成立的最小正整数成立的最小正整数k称为称为a的阶的阶,记作记作|a|=k,这时也称这时也称a为为k阶元阶元。若不存在这样的正整数若不存在这样的正整数k,则称则称a为为无限阶元无限阶元。现在学习的是第61页，共77页例10.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元，零元 和所有可逆元素的逆元。(1)Z+，x,y Z+,x*y=lcm(x,y)，即求x和y的最小 公倍数。解：*运算可交换，可结合，是幂等的。x Z+,x*1=x，1*x=x，所以1为单位元。不存在
42、零元只有1有逆元，是它自身，其他整数无逆元。问：满足消去律吗？不满足2*32*66，但23现在学习的是第62页，共77页（2）x,yQ,x*y=x+y-xy一般方法是把单位元、零元或逆元分别代入公式解出相应的值。设*运算的单位元为e，零元为，xQ，x的逆元为y。根据交换性，e只需对一切有理数x满足x*e=x，即x+e-xe=xe(1-x)=0,求它的单位元、零元和逆元 解：*运算可交换，可结合,满足消去律；不满足幂等律。由x的任意性得e=0。所以单位元为0类似地有x+-x=x(1-)=0。由x的任意性得=1。所以零元为1现在学习的是第63页，共77页x+y-xy=0 xQ,设其逆元为y,则有y
43、=x/(x-1)(x1)所以当x1时，x-1=x/(x-1)。现在学习的是第64页，共77页*abcaabcbbcaccab例10.7设Aa,b,c,A 上的二元运算*,如 表所示（1）说明*,运算是否满足交换律，结合律，消去 律和幂等律。（2）求出*,运算的单位元、零元和所有可逆元素 的逆元。*运算的单位元为a，无零元。a-1=a,b-1=c,c-1=b满足交换律，结合律，消去律不满足幂等律现在学习的是第65页，共77页abcaabcbbbbccbc满足交换律，结合律，幂等律不满足消去律单位元为a零元为b只有a有逆元，a-1=a现在学习的是第66页，共77页abcaabcbabccabc不满
44、足交换律，消去律满足结合律，幂等律无单位元，无零元，无逆元现在学习的是第67页，共77页交换律：运算表中结果矩阵关于主对角线对称。幂等律：运算表中结果矩阵的主对角线上任一元素等于 所在行的行头元素或所在列的列头元素。消去律：运算表中结果矩阵中任意一行中无相等 元素，并且任意一列中也无相等元素。单位元：单位元元素所在行与列分别与对应的行头和 列头元素一致零元：零元素所在行与与所在列中结果完全一致，就是 该元素本身。现在学习的是第68页，共77页10.2代数系统代数系统 一、代数系统的定义与实例一、代数系统的定义与实例 1代数系统的定义与实例定义定义10.6非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,
45、f2,fk组成的系统称为一个代数系统代数系统,简称代数代数,记做。例如:,都是代数系统,其中+和分别表示普通加法和乘法。是代数系统,其中和分别表示n阶(n2)实矩阵的加法和乘法。现在学习的是第69页，共77页是代数系统,其中Zn0,1,n-1,和分别表示模n的加法和乘法,对于x,yZn,xy=(xy)modn,xy=(xy)modn也是代数系统,其中含有两个二元运算和以及一个一元运算。在某些代数系统中存在着一些特定的元素,它们对于系统的一元或二元运算起着重要的作用,例如二元运算的单位元和零元。在定义代数系统的时候,如果把含有这样的特定元素也作为系统的性质,比如规定系统的二元运算必须含有单位元，
46、这时称这些元素为该代数系统的特异元素特异元素或代数常数代数常数。现在学习的是第70页，共77页有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统,也可以把这些代数常数列到系统的表达式中,例如中的+运算有单位元0,为了强调0的存在,可以将记做。不发生混淆的情况下为了叙述的简便也常用集合的名字来标记代数系统,例如上述代数系统可以简记为Z和P(S)。又如中的和运算存在单位元和S,当规定和S是该系统的代数常数时,也可将它记为。现在学习的是第71页，共77页2同类型与同种代数系统同类型与同种代数系统 定义定义10.7 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数
47、系统具有相同的构成成分相同的构成成分,也称它们是同类型同类型的代数系统。例如V1=和V2=是同类型的代数系统,它们都含有两个二元运算、一个一元运算和两个代数常数。现在学习的是第72页，共77页同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同的运算性质。上述的V1和V2是同类型的代数系统,但它们的运算性质很不一样,表表10.7现在学习的是第73页，共77页二子代数系统二子代数系统 定义定义10.8 设V=是代数系统,B是S的非空子集,如果B对f1,f2,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统子代数系统,简称子代数子代数。有时将子代数系统简记为B。例如N是的子代数,因为
48、N对加法运算是封闭的。N也是的子代数,因为N对加法运算是封闭的,且N中含有代数常数0。N-0是的子代数,但不是的子代数,因为的代数常数0N0。现在学习的是第74页，共77页子代数和原代数具有相同的构成成分,是同类型的代数系统,而且对应的二元运算都具有相同的运算性质。因为任何二元运算的性质如果在原代数上成立,那么在它的子集上显然也是成立的。子代数在许多方面与原代数非常相似,不过可能小一些就是了。代数系统与其子代数之间的关系：N是的子代数，运算在Z上的性质同样适用于N。现在学习的是第75页，共77页对于任何代数系统V=,其子代数一定存在。最大的子代数就是V本身。如果令V中所有代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,则B就构成了V的最小的子代数。若B是S的真子集,则B构成的子代数称为V的真子代数真子代数。这种最大和最小的子代数称为V的平凡的子代数平凡的子代数。现在学习的是第76页，共77页例例10.9 设V=,令 nZ=nz|zZ,n为自然数,则nZ是V的子代数。证：证：任取nZ中的两个元素nz1,nz2(z1,z2Z),则有nz1+nz2=n(z1+z2)nZ所以nZ对+运算是封闭的。又0=n0nZ所以nZ是V的子代数。当n=1和0时,nZ是V的平凡的子代数,其它的都是V的非平凡的真子代数。现在学习的是第77页，共77页