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1、第第1章傅里叶光学基础章傅里叶光学基础现在学习的是第1页，共58页2023/2/231第一章第一章 傅里叶光学基础傅里叶光学基础11 二维傅里叶分析二维傅里叶分析 12 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式 13 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射14 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性质现在学习的是第2页，共58页1.1 二维傅里叶分析二维傅里叶分析1.1.1 定义及存在条件定义及存在条件定义及存在条件定义及存在条件 复变函数器复变函数器 g(x,y)g(x,y)的的的的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换可表为可表为 G(G(u,vu,v)=F F
2、 g(x,yg(x,y)=-g(x x,y),y)exp-i2(ux+vy)dxdy xdy (1)(1)称称g(x,y)g(x,y)为为原函数原函数原函数原函数，G(u,vu,v)为变换函数或为变换函数或为变换函数或为变换函数或像函数像函数像函数像函数。(1)(1)式式的的逆变换逆变换逆变换逆变换为为为为 g(x,y)=F F F F-1-1G(u,v)=-G(u,v)expi2expi2 (ux+v vy)dy)dudv (2)(2)现在学习的是第3页，共58页傅里叶傅里叶-贝塞尔变换贝塞尔变换 设设函数函数g(r,)=g(r)具有圆对称，具有圆对称，傅里叶傅里叶-贝塞尔变换为贝塞尔变换为
3、 G()=B B g(r)=2 org(r)Jo(2r)dr其中其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶傅里叶-贝塞尔逆变换为贝塞尔逆变换为 g(r)=B B-1-1 G()=2 o G()Jo(2r)d 现在学习的是第4页，共58页 变换存在的条件变换存在的条件变换存在的条件变换存在的条件为为 (1)g(x,y)在全平面绝对可积；在全平面绝对可积；(2)g(x,y)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何在全平面只有有限个间断点，在任何 有限的区域内只有有限个极值；有限的区域内只有有限个极值；有限的区域
4、内只有有限个极值；有限的区域内只有有限个极值；(3)g(x,y)g(x,y)没有无穷大型间断点。没有无穷大型间断点。以以以以上上上上条条条条件件件件并并并并非非非非必必必必要要要要，实实实实际际际际上上上上，“物物物物理理理理的的的的真真真真实实实实”就就就就是是是是变变变变换存在的充分条件换存在的充分条件换存在的充分条件换存在的充分条件。以下我们常用以下我们常用 g(x,y)G(u,vu,v)表示变换对表示变换对对对对对于于于于光光光光学学学学傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶变变变变换换换换，x，y y是是空空间间变变量量，u，v v 则则是是空空间间频频率率变变量量。在在一一维维情情况况下下，有有
5、时时也也用用希希腊腊字字母母 v 表示频率变量。表示频率变量。现在学习的是第5页，共58页1.1.2 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换由由 函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到函数的定义容易得到(x-xo,y-yo)exp-i2-i2(u uxo+vy yo o)(3)当当 xo o=0，yo o=0=0 时得到时得到时得到时得到 (x,y)1 1 (4)(4)上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示上式的物理意义表示点源函数具有权重为点源函数具有权重为 l l 的最丰富的最丰富的频谱分量的频谱分量因此因此光学中常用点光源来检测系统的光学中常用点光源来检测系统的
6、光学中常用点光源来检测系统的光学中常用点光源来检测系统的响应特性响应特性响应特性响应特性，即，即脉冲响应脉冲响应(3)(3)式还可表为式还可表为式还可表为式还可表为,(x-x(x-xo o,y-y,y-yo)=)=-exp-i2exp-i2 u u(x-x(x-xo)o)+v(y-yo)d)dud dv它正是它正是它正是它正是 函数的积分表达式函数的积分表达式 根据根据根据根据函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义函数的偏导数的定义 -(n)(x)g(x)dx=(-1)n n g(n)(0)(6)(0)(6)得到得到得到得到(k,l l)(x,y)的傅里叶变换的傅里叶变换的傅里
7、叶变换的傅里叶变换 (k,l l)(x,y)=(x,y)=k+k+l l(x,y)/(x,y)/x xk yl l)(i2 u)k k(i2 v v)l (7)(7)现在学习的是第6页，共58页1.1.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质(1)线性线性线性线性(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(AG(u,vu,v)+BH(BH(u,u,v)(8)(2)(2)缩放及反演缩放及反演(scaling and inversion)(scaling and inversion)g(ax,by)G(G(u/a,/a,v v/b)/b)/|ab|(9)上式表明上式表明空域信号的
8、展宽将引起频域信号的压缩空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当特别是当 a=b=-1 a=b=-1 时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：时，得到反演的变换性质：g(-x,-y)g(-x,-y)G(-u,-v)(10)(10)(3)位移位移(shift)g(x+xo o,y+y,y+yo)expi2i2(u uxo o+v vyo)G(u,v)(11)上式表示上式表示上式表示上式表示原函数的位移引起变换函数的相移原函数的位移引起变换函数的相移.(4)共扼共扼共扼共扼(conjugation)g*(x,y)(x,y)GG*(-u,-v-u,-v)(12)(
9、12)现在学习的是第7页，共58页(5)(5)卷积卷积(convo1ution)(convo1ution)g(x,y)g(x,y)和和h(x,y)的卷积定义：的卷积定义：g(x,y)g(x,y)h(x,y)=h(x,y)=-g(g(,)h(x-,y-)d)d d d 易证明易证明易证明易证明:g(x,y):g(x,y)h(x,y)h(x,y)G(u,vu,v)H(u,vu,v)函数的卷积有特殊的性质：函数的卷积有特殊的性质：g(x)g(x)(x-x(x-xo o)=g(x-xo)(15)(15)g(x,y)g(x,y)(k,l)(x,y)=g(k,(k,l)(x,y)(16)(6)导数的变换导
10、数的变换公式可由公式可由(7)式导出式导出 g(k,(k,l l)(x,y)(x,y)(i2(i2 u)u)k k(i2 v)v)l G(G(u,v)(17)(17)现在学习的是第8页，共58页(7)相关相关相关相关(correlation)(correlation)函数函数g(x,y)g(x,y)和和h(x,y)的相关定义为的相关定义为的相关定义为的相关定义为 g(x,y)h(x,y)=-g(,)h(x+,y+,y+)d d d 当当当当g=h 时成为时成为时成为时成为自相关自相关，有，有，有，有 g(x,y)g(x,y)=g(x,y)=-g(g(,)g(x+)g(x+,y+)d d 相关的
11、变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y)g(x,y)h(x,y)=g*(-x,-y)(-x,-y)h(x,y)h(x,y)GG*(u,vu,v)H()H(u,v)g(x,y)g(x,y)g(x,y)G(u,v)2 (21)自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换自相关与功率谱构成傅里叶变换现在学习的是第9页，共58页(8)(8)矩矩矩矩(moment)(moment)g(x,y)的的(k,(k,l)阶矩定义为阶矩定义为 M M k,l
12、 k,l=-g(x,y)xk k yl dxdy dxdy (22)将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式将逆变换表达式(2)(2)代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到代入上式，得到M M k,lk,l=-G(G(u,vu,v)d)du ud dv v -x xk ky yl lexpexpi2i2 (u ux+x+v vy)dxdyy)dxdy 由由由由 函数导数的变换表达式函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分，上式内部的积分 -x xk ky yl lexpexpi2i2 (u ux+x+v vy)dxdy=(i2y)dxdy=(i2 )-k
13、-k-l l (k,(k,l l)(u,vu,v)矩的表达式矩的表达式 M M k,lk,l=(-i2(-i2 )-k-k-l G G(k,k,l)(0,0)(0,0)现在学习的是第10页，共58页(9)Parseval Parseval 定理定理 g(x,y)g(x,y)h(x,y)h(x,y)GG*(u,v)H(u,vu,v)式式可可用用逆逆变变换换表表达达式改写为式改写为 -g(g(,)h(x+,y+)d d =-GG*(u,v)H()H(u,v)exp i2 (ux+vy)dud dv v 令令令令x=y=0 x=y=0，上式为，上式为，上式为，上式为 -g(,)h()h(,)d d
14、d =-GG*(u,v)H(u,v)d du udv 这一关系式称为这一关系式称为 Parseval Parseval 定理定理定理定理当当h=g h=g 时，上式化为时，上式化为 -g(g(,)2 2 d d d =-G(u,vu,v)2 dudvudv该式又称该式又称该式又称该式又称完备关系式完备关系式，实际上是，实际上是能量守恒定律能量守恒定律在空域在空域在空域在空域和频域中表达式一致性的表现和频域中表达式一致性的表现和频域中表达式一致性的表现和频域中表达式一致性的表现现在学习的是第11页，共58页1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换1、rect(x)，(x)及及si
15、nc(x)函数定义函数定义(1)rect(x)函数函数 rect(x)=1，|x|rect(x)=0，其他，其他(2)(x)函数函数 (x)=1-|x|，|x|1 (x)=0，其他其他(3)sinc(x)函数函数 sinc(x)=(sin x)/x-1 11 1-1-1现在学习的是第12页，共58页1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换rect(x)，(x)及及sinc(x)函数函数傅里叶变换傅里叶变换：傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 rect(x)sinc(u)sinc(x)rect(u)(x)sinc2(u)现在学习的是第13页，共58页 1.1.4 特殊函数及其傅里叶
16、变换特殊函数及其傅里叶变换2、符号函数、符号函数sgn(x)和阶跃函数和阶跃函数step(x)符号函数符号函数sgn(x)定义定义 sgn(x)=1，x 0 sgn(x)=0，x=0 sgn(x)=-1，x 0 step(x)=0，x 0 oo现在学习的是第14页，共58页 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换sgn(x)函数和函数和step(x)函数函数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换为傅里叶变换为 sgn(x)1/i ustep(x)=sgn(x)/2+1/2 1/i 2 u+(u)/2 利用利用step(x)的变换式及卷积定理，可求出的变换式及卷积定理，可求出积分积分
17、x-g()d 的变换的变换：x-g()d =-g()step(x-)d =g(x)step(x)G(u)1/i 2 u+(u)/2现在学习的是第15页，共58页 1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换3、周期函数、周期函数 设函数设函数g(x)可展开为傅里叶级数可展开为傅里叶级数 g(x)=-Cnexp(i2n fox)(38)式中式中Cn=(1/X)X/2-X/2 g(x)exp(-i2n fox)dx周期周期X=1/fo对对(38)式两边取傅氏变换得式两边取傅氏变换得 G(u)=-Cn (u-n fo)(40)推导中用到积分变换式：推导中用到积分变换式：(u-n fo)e
18、xp(i2 nfox)现在学习的是第16页，共58页1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换 g(x)=-Cnexp(i2n fox)G(u)=-Cn (u-n fo)(40)4、函数、函数comb(x)comb(x)=-(x-n)=-exp(i2n x)(42)系数系数Cn=1因此由因此由(40)式可得式可得 comb(x)comb(u)(43)现在学习的是第17页，共58页1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换4、函数、函数comb(x)设设X为实数常数，则有为实数常数，则有(1/X)g(x)comb(x/X)=(1/X)-g()comb(x-)/Xd=(
19、1/X)-g()-(x-)/X-n d =-gX(/X)x/X-/X-nd(/X)=-g X(x/X-n=-g(x-nX)(44)结果得到了结果得到了以以nX(n=0，1，2，)为中心的为中心的一系列重复出现的波形一系列重复出现的波形g(x-nX)，这一现象称为，这一现象称为“复现复现”现在学习的是第18页，共58页1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换特殊函数及其傅里叶变换4、函数函数comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)=g(x)-(x/X-n)=-g(nX)(x-nX)gs称称 g 的的抽抽样样函函数数，X为为抽抽样样间间隙隙，xn=nX称称样样点点，g(xn)称称样样值值所所
20、以以g(x)的的抽抽样样函函数数gs(x)是以样值为权重的是以样值为权重的 函数序列函数序列现在学习的是第19页，共58页1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数由由Parseval 定理定理-g(x,y)2 dxdy=-G(u,v)2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布，为光场的复振幅分布，g(x,y)2代表光强分布，代表光强分布，G(u,v)2 则表示单位频率间隔的光能量，称则表示单位频率间隔的光能量，称为为功率谱功率谱，用，用s(u,v)表示为表示为s(u,v)=G(u,v)2 (46)根据变换定理，我们得到根据变换定理，我们得到g(x,y)g(x,y)G(u,v)
21、2=s(u,v)(47)现在学习的是第20页，共58页1.1.5 功率谱与空间自相关函数功率谱与空间自相关函数g(x,y)g(x,y)G(u,v)2=s(u,v)(47)g g 在在光光学学上上称称为为空空间间自自相相关关函函数数上上式式表表示示功率谱是空间自相关函数的傅氏变换功率谱是空间自相关函数的傅氏变换 空空间间自自相相关关函函数数表表征征空空间间相相距距为为(x,y)的的两两点点之之间间场场的的相相似似性性或或关关联联性性，它它是是场场的的空空间间相相干干性性的的度度量量。场场的的相相干干性性较较高高时时，功功率率谱谱的的弥弥散散就就较较小小，表表示示光光功功率率在在频频域域内内集集中
22、中在在很很小小的的区区域域中中(可可称称为为准准单单色色光光)；反反之之当当场场的的相相干干性性较较差差时时，功功率率谱谱的的弥弥散散就就较较大大，表表示示光光功功率率在在频频域域中中分分布布在较大的区域内，包含较宽的波段。在较大的区域内，包含较宽的波段。现在学习的是第21页，共58页1.2 空间带宽积和测不准关系式空间带宽积和测不准关系式1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度 如果信号如果信号g 在频域内不为零的分量限制在频域内不为零的分量限制在某一区域内，则称为在某一区域内，则称为“带限函数带限函数”。1、Whittaker-Shannon抽样定律：抽样定律：带限函数带限函数g(
23、x,y)被它的抽样值的无穷集合被它的抽样值的无穷集合 g mn=g(m/u,n/v)完全确定，式中完全确定，式中 u，v 是频带的宽度，是频带的宽度，m,n=0,l,2,。现在学习的是第22页，共58页2、空间带宽积与自由度、空间带宽积与自由度傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：傅氏变换及解析函数的一般理论告诉我们：频域内的带限函数，在空域内必然扩展到频域内的带限函数，在空域内必然扩展到全平面全平面，因为带限函数的傅里叶变换是一个解，因为带限函数的傅里叶变换是一个解析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为析函数，它不可能在一个有限的区域内处处为零，否则通过解析开拓就可以证明这个函数在零，否则
24、通过解析开拓就可以证明这个函数在全平面内处处为零全平面内处处为零1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度现在学习的是第23页，共58页 1.2.1 空间带宽积与自由度空间带宽积与自由度2、自由度、自由度 实际信号测量系统的输入平面总是有实际信号测量系统的输入平面总是有限制的，设信号被限制在限制的，设信号被限制在 r-x/2,x/2,-y/2,y/2矩形区域内，又设系统的带宽矩形区域内，又设系统的带宽 u，v 与抽样间隙与抽样间隙X，Y满足倒数的关系，满足倒数的关系，则在则在 r 内共有抽样点内共有抽样点N 个，个，N=x y/XY=x y u v=SW (1)式式中中S=x y,W=u
25、 v。SW称称空空间间带带宽宽积积，是是评评价价系系统统性性能能的的重重要要参参数数，(1)式式指指出出通过系统的样点数等于空间带宽积通过系统的样点数等于空间带宽积现在学习的是第24页，共58页 因为一个在频域中非无限扩展的信号因为一个在频域中非无限扩展的信号(带限带限信号信号)，在空域中必然是无限扩展的，若用一，在空域中必然是无限扩展的，若用一个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进个具有有限大小的输入端面的系统对该信号进行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果行测量，必然造成信息量的损失，使测量结果失真。失真。例例如如信信号号分分布布在在矩矩形形 r 内内，那那么么这这个个信信号号就就被被
26、它它的的N个个样样值值基基本本上上确确定定了了。我我们们称称这这个个信信号号有有 N 个个自自由由度度，显显然然自自由由度度数数等等于于空间带宽积空间带宽积现在学习的是第25页，共58页 如果系统的输入端面的尺寸小于如果系统的输入端面的尺寸小于r，则自，则自由度数将小于由度数将小于N所以空间带宽积与其说是所以空间带宽积与其说是信号的特征，还不如说是系统的特征信号的特征，还不如说是系统的特征，因，因为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过为系统有限的空域和频域尺寸限制了通过它的信息量它的信息量 例例如如对对于于一一个个成成像像系系统统，限限制制空空域域尺尺寸寸的的是是视视场场光光阑阑的的大大小小，限
27、限制制频频域域尺尺寸寸的的是是孔孔径径光光阑阑的的大大小小。显显然然视视场场越越大大、孔孔径径越越大大的的系统能传递更多的信息系统能传递更多的信息现在学习的是第26页，共58页1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 考考虑虑一一个个低低通通滤滤波波性性能能的的系系统统的的分分辨辨率率，即即输输入入平平面面上上能能被被系系统统分分辨辨开开来来的的两两个个点点的的最最小小间间距距(最小分辨长度最小分辨长度)的倒数。的倒数。由由抽抽样样定定理理可可知知，对对任任意意输输入入信信号号g(x,y)来来讲讲，由由于于系系统统频频率率响响应应特特性性的的限限制制，其其效效果果都都是是带带限限的，因此可以用抽样
28、函数的，因此可以用抽样函数gs(x,y)来代替它。来代替它。只要抽样点充分稠密，即条件只要抽样点充分稠密，即条件 X 1/u，Y 1/v (4)满满足足时时，对对于于系系统统输输出出端端而而言言，gs和和g 等等价价，在在输输出出端端并并不不能能觉觉察察出出gs 的的周周期期结结构构，或或者者说说 gs 包含的脉冲是不可分辨的。包含的脉冲是不可分辨的。现在学习的是第27页，共58页1.2.2 系统的分辨率系统的分辨率 当条件当条件(4)不满足时，不满足时，gs和和g 对于输出端不再对于输出端不再等价，从而在输出端就能觉察出等价，从而在输出端就能觉察出gs 的周期结构，的周期结构，或者讲或者讲g
29、s 中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。中两个相邻脉冲能够被系统分辨开来。这样，系统的最小分辨长度这样，系统的最小分辨长度 x 和和 y应当与应当与(4)式式表示的表示的X，Y 同数量级，从而与带宽成反比：同数量级，从而与带宽成反比：x 1/u，y 1/v (5)最小分辨长度与空间带宽积的关系为最小分辨长度与空间带宽积的关系为 x y x y/SW (6)可可见见在在给给定定输输入入端端面面尺尺寸寸 x，y后后，SW越越大大，最最小小分分辨辨长长度度就就越越小小，系系统统的的分分辨辨率率就就越越高高，测测量过程的失真越小量过程的失真越小。现在学习的是第28页，共58页1.2.3 等效带宽和测不准
30、关系等效带宽和测不准关系仅考虑一维情况仅考虑一维情况 G(u)=-g(x)exp(-i2 ux)dx (7)g(x)=-G(u)exp(i2 ux)du (8)由以上两式可得由以上两式可得 G(0)=-g(x)dx (9)g(0)=-G(u)du (10)设信号在空域和频域中不显著为设信号在空域和频域中不显著为0的分量都的分量都集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量集中在原点近旁有限区域内，则可用近似度量g(x)和和G(u)的弥散或展宽的程度引入的弥散或展宽的程度引入 和和 ：(11)(12)现在学习的是第29页，共58页 意义意义：如一个矩形高度等于如一个矩形高度等于G(0)，面积与曲线，
31、面积与曲线G(u)下的面积相同，则它的宽度为下的面积相同，则它的宽度为 ，又称又称为为“等效带宽等效带宽”。等效带宽等效带宽 Goodman提出了等效提出了等效带宽的概念，它是频谱曲带宽的概念，它是频谱曲线展宽程度的某种度量，线展宽程度的某种度量，G(u)越宽，越宽，越大，因而越大，因而常用来评价系统的性能。常用来评价系统的性能。G(u u)现在学习的是第30页，共58页 将将(11)、(12)交叉相除得到交叉相除得到(13)由于由于 可表征信号在空域的可表征信号在空域的展宽或弥散展宽或弥散，上式，上式意味着意味着信号在空域和频域中的展宽是互相制约信号在空域和频域中的展宽是互相制约的的 假设要
32、对信号进行长度或位置测量，测量系假设要对信号进行长度或位置测量，测量系统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量统可看成是对被测对象的一个变换，在位置测量时必须使系统首先时必须使系统首先“对准对准”空间的一个定点或长空间的一个定点或长度的一个端点，该点可以用度的一个端点，该点可以用 函数表示，它就是函数表示，它就是系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应系统的输入，而输出恰恰就是系统的脉冲响应h。必须指出，通过测量我们只能获得必须指出，通过测量我们只能获得 h 所包含的信所包含的信息，我们永远无法直接得到被测点本身息，我们永远无法直接得到被测点本身现在学习的是第31页，共58页所有测量系统的等
33、效带宽所有测量系统的等效带宽 都是有限的，从而都是有限的，从而 函数的脉冲响应函数的脉冲响应h 就有一定的弥散就有一定的弥散 ，它表征了，它表征了对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度对准误差，因而也就是系统空间分辨率大小的度量注意到量注意到 取决于整个频谱函数取决于整个频谱函数G(u)，因此两，因此两个系统即使有等同的截止频率，由于个系统即使有等同的截止频率，由于G(u)不相同，不相同，也会得到不同的等效带宽也会得到不同的等效带宽 ，因而，因而 也不一致也不一致一般来讲，一般来讲，越大，频响特性就越好，脉冲越大，频响特性就越好，脉冲响应的弥散响应的弥散 就越小就越小由于由于 =的系统不存
34、的系统不存在，所以在，所以 永远不等于永远不等于0在这个意义上讲，在这个意义上讲，测测量永远都不是绝对准确的量永远都不是绝对准确的，(13)式称为光学系统式称为光学系统的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实的测不准关系，它与量子力学中的测不准关系实质上一致质上一致现在学习的是第32页，共58页1.2.4 广义测不准关系广义测不准关系(x)2(u)2 1/16 2或或 x u 1/4 (18)现在学习的是第33页，共58页1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射现在学习的是第34页，共58页1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射 从变换光学入手来讨论衍射效应
35、从变换光学入手来讨论衍射效应1.3.1 角谱角谱 设设单单色色光光波波沿沿z 方方向向传传播播，照照射射到到xy平平面面上上，在在xy平面上的光场复振幅分布用函数平面上的光场复振幅分布用函数(x,y,0)=(x,y)=-A(u,v)expi2(ux+vy)dudv (1)一个波矢量为一个波矢量为k 的平面波的平面波 o(x,y,z)=A(u,v,z)exp(ikr)=A(u,v,z)expi2(x+y+z)/其中其中 ,和和 是是 k 的方向余弦的方向余弦现在学习的是第35页，共58页1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射1.3.1 角谱角谱(x,y,0)=-A(u,v)ex
36、pi2(ux+vy)dudv (1)引入矢量引入矢量a=(,),则在则在z=0 的平面上的平面上 o(x,y,0)=A(u,v)exp(i2 ar/)=A(u,v)expi2(x+y)/(4)将将(4)式和式和(1)式作比较，得式作比较，得u=/,v=/(5)则则(1)式可用式可用a 表示为表示为 (x,y)(x,y)=-A(A(/,/)expi2expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)(6)(6)上上式式表表示示：z=0平平面面上上的的场场，即即透透过过x y 平平面面向向+z 方向传播的波，可用不同方向的平面波展开方向传播的波，可用不同方向的平面波展开现在学习的是第36
37、页，共58页1.3 平面波的角谱和角谱的衍射平面波的角谱和角谱的衍射u=/,v=/(5)(x,y)(x,y)=-A(A(/,/)expi2expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d()d(/)(6)(6)(5)式表示空间频率正比于式表示空间频率正比于 /或或 /，在，在(x,y)中中的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。的低频分量对应于与轴夹角不大的平面波分量。而高频分量则对应于与而高频分量则对应于与z 轴夹角较大的平面波分轴夹角较大的平面波分量。不同方向的平面波的权函数量。不同方向的平面波的权函数A(/,/)称称为为(x,y)的的角谱角谱，和空间频谱的实质是相同的。，和空间频谱的实
38、质是相同的。A(/,/)与与 (x,y)的关系就是的关系就是傅里叶变换傅里叶变换：A(A(/,/)=-(x,y)(x,y)exp-i2 exp-i2 (x+x+y)/y)/dxdy dxdy (7)(7)(6)和和(7)两式构成傅里叶变换对。两式构成傅里叶变换对。现在学习的是第37页，共58页1.3.2 角谱的传播角谱的传播首先首先A(/,/;z)与与A(/,/)的关系为的关系为:A(A(/,/;z;z)=-(x,y,z)(x,y,z)exp-i2 exp-i2 (x+x+y)/y)/dxdy dxdy (x,y,z)(x,y,z)=-A(A(/,/;z;z)expi2expi2 (x+x+y
39、)/y)/d(d(/)d()d(/)以以(x,y,z)代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次序，可知的次序，可知A(/,/;z)也满足亥姆霍兹方也满足亥姆霍兹方程：程：(d2/dz2+kz2)A(/,/,z)=0 (10)式中式中 (11)(10)式的一个解是式的一个解是(12)现在学习的是第38页，共58页1.3.2 角谱的传播角谱的传播 当当 2+2 1 时时，取取正正数数 ，则角谱为则角谱为 A(A(/,/;z;z)=A()=A(/,/)exp(-2)exp(-2z/z/)表表示示一一个个随随z 的的增增大大迅迅速速衰衰减减的的波波，称称隐隐失失波波，它它只
40、只存存在在于于很很接接近近于于xy平平面面的的一一个个薄薄层层内内，这这是是近场光学近场光学要讨论的问题要讨论的问题现在学习的是第39页，共58页1.3.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射将将(12)式中相因子内的根号作泰勒展开：式中相因子内的根号作泰勒展开：(14)在上式中只保留二级小量，则在上式中只保留二级小量，则 A(/,/;z)=A(u,v)expi2 z(1-2 2/2)/=A(u,v)exp(i2 z/)exp(-iz 2)=A(u,v)exp(i2 z/)exp-iz(u2+v2)由于由于 A(u,v)(x,y)exp-iz(u2+v2)exp-i(x2+y 2)/z/i z (x,y,z
41、)A(/,/;z)现在学习的是第40页，共58页A(/,/;z)=A(u,v)exp(i2 z/)exp-iz(u2+v2)A(u,v)(x,y)exp-iz(u2+v2)exp-i(x2+y 2)/z/i z (x,y,z)A(/,/;z)卷积的性质卷积的性质:g(x,y)h(x,y)G(u,v)H(u,v)相应的相应的空域信号空域信号为为 (x,y,z)=exp(i2(x,y,z)=exp(i2 z/z/)(x,y)(x,y)expi expi (x(x2 2+y y2 2)/)/z/iz/i z z (16)(16)=exp(i2=exp(i2 z/z/)/i/i z z -(,)exp
42、i)expi (x-(x-)2 2+(+(y-y-)2 2/zdzd d d 上式即为上式即为菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式，积分在，积分在 z=0的平的平面进行，式中面进行，式中(x,y)表示表示z=0的光场复振幅分布。的光场复振幅分布。现在学习的是第41页，共58页1.3.4 夫琅和费衍射夫琅和费衍射若若 z (2+2)/(17)则则菲涅耳衍射的公式菲涅耳衍射的公式化为化为 (x,y,z)=exp(i2 z/)/i z expi(x2+y2)/z -(,)exp-i2(x+y)/zd d (18)(18)就就化化为为远远场场衍衍射射即即夫夫琅琅和和费费衍衍射射的的情情况况。(18)式还可
43、表为式还可表为 (x,y,z)=(A/z)(x/z,y/z)(19)上上式式表表示示除除了了与与积积分分变变量量无无关关的的相相位位因因子子A以以外外，为为 的的傅傅里里叶叶变变换换，频频域域宗宗量量为为x/z 及及y/z 现在学习的是第42页，共58页1.3.5 角谱的衍射角谱的衍射 设在设在xy平面上有一不透光的屏，屏上带一透平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x,y)来表示，来表示，p(x,y)可以是复数这样，屏后面的透射场可以是复数这样，屏后面的透射场 t 可用可用入射波的场入射波的场 i 表为表为 t(x,y)=i(x,
44、y)p(x,y)(20)在频域中，上式变为在频域中，上式变为 At(/,/)=Ai(/,/)P(/,/)(21)式中式中P 为为 p 的角谱的角谱(21)式说明式说明透射波角谱为入射透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，一引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩般来讲信号的空间分布受到压缩现在学习的是第43页，共58页 根据测不准原理，信号在频域中的分布必然根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽展宽.(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量波的角谱变得更加平滑，换言之，
45、有更多的能量扩散到高频段中去扩散到高频段中去 (12)式为角谱在自由空间中的衍射公式式为角谱在自由空间中的衍射公式.如果如果考虑到考虑到xy平面上光瞳函数的作用，平面上光瞳函数的作用，(12)式改写为式改写为 (22)(12)式式或或(22)式式原原则则上上可可以以解解决决任任何何光光波波的的传传播播及及衍射问题衍射问题现在学习的是第44页，共58页1.4 透镜系统的傅里叶变换性质透镜系统的傅里叶变换性质远场衍射即夫琅和费衍射远场衍射即夫琅和费衍射(x,y,z)=exp(i2 z/)/i z expi(x2+y2)/z -(,)exp-i2(x+y)/zd d (18)(18)式式表表明明，远
46、远场场衍衍射射具具有有傅傅里里叶叶变变换换的的特特性性由由于于薄薄透透镜镜或或透透镜镜组组的的后后焦焦面面等等价价于于，因因而而可可以以想想像像凡凡是是具具有有正正焦焦距距的的光光学学系系统统都都应当具有傅里叶变换的功能应当具有傅里叶变换的功能现在学习的是第45页，共58页 设设用用振振幅幅为为 l 的的单单色色平平面面波波照照射射一一个个在在xy平平面面上上，且且振振幅幅透透过过率率为为g(x,y)的的物物体体，则则物物体体后后面的场为面的场为g(x,y)光场用平面波角谱展开：光场用平面波角谱展开：g(x,y)=-G(G(/,/)expi2)expi2 (x+x+y)/y)/d(d(/)d(
47、)d(/)现在学习的是第46页，共58页 由于透镜组具有聚焦的特性，所有方由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦向相同，即具有同样的方向余弦,的入的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距上。当透镜组焦距 f (u2+v2)1/2 时，即时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式点很接近于原点时，有下面的近似等式 u f,v f (2)g(x,y)的角谱中所有方向余弦为的角谱中所有方向余弦为,的角谱的角谱分量都对分量都对Q点有贡献，点有贡献，Q点的的复振幅自然点的的复振幅自然就等于就等于G(/,/)，因而后焦面上的复，
48、因而后焦面上的复振幅分布为振幅分布为 G(/,/)=G(u/f,v/f)(3)现在学习的是第47页，共58页 这样，透镜组的后焦面就成为信号的频这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，域，透镜组起了傅里叶变换的作用透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例只是光学傅里叶变换器件的一个特例 我们用我们用 u，v 来表示频域的坐标，也可以来表示
49、频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用表示空间频率变量。在一维的情形下也用 v 来表示空间频率变量。来表示空间频率变量。现在学习的是第48页，共58页注意注意 u u f f,v f f (2)只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说，只是近轴近似严格来说，u=f tg =f =f /(1-/(1-2)1/21/2 (=cos=cos )(4)式中式中 是波矢量是波矢量是波矢量是波矢量k 与与z z 轴的夹角。为简单起见，设轴的夹角。为简单起见，设k 位于位于xz平面内平面内(4)式又称式又称式又称式又称正切条件正切条件，只是在，只是在 很很小小时，才满
50、足时，才满足(2)式。当式。当 较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面较大时，傅里叶平面(后焦面后焦面后焦面后焦面)上的线上的线上的线上的线度度u u 与空间频率与空间频率与空间频率与空间频率 /并不满足正并不满足正并不满足正并不满足正比关系。比关系。现在学习的是第49页，共58页 从几何光学知道，一个像差校正得很从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而好的透镜必须满足正弦条件，而正弦条件正弦条件与正切条件是难以同时满足与正切条件是难以同时满足的，所以，的，所以，性性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。不过在大多数情况下，