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1、 前前面面几几章章讨讨论论的的都都是是线线性性系系统统，实实际际上上所所有有的的实实际际系系统统都都不不可可避避免免地地带带有有某某种种程程度度的的非非线线性性，只只要要具具有有一一个个非非线线性性环环节节，就就称称作作非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统，因因此严格的说所有系统都是非线性系统。此严格的说所有系统都是非线性系统。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要讨讨讨讨论论论论关关关关于于于于非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的基基基基本本本本概概概概念念念念，以及其中的一种基本分析方法：以及其中的一种基本分析方法：以及其中的一种基本分析方法：以及其中的一种基本分析方法：
2、描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法。第1页/共56页7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 在在控控制制系系统统中中，若若控控制制装装置置或或元元件件其其输输入入输输出出间间的的静静特特性性曲曲线线，不不是是一一条条直直线线，则则称称为为非非非非线线线线性性性性特特特特性性性性。如如果果这这些些非非线线性性特特性性不不能能采采用用线线性性化化的的方方法法来来处处理理，称称这这类类非非线线性性为为本本本本质质质质非非非非线线线线性性性性。为为简简化化对对问问题题的的分分析析，通通常常将将这这些些本本质质非非线线性性特特性性用用简简单单的的折折线线来来代代替替，称称为为典型非线性特性典
3、型非线性特性典型非线性特性典型非线性特性。典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类1 1饱和特性饱和特性饱和特性饱和特性 饱饱和和特特性性的的静静特特性性曲曲线线如如图图7-1所所示示，其其数数学学表达式为表达式为第2页/共56页式中，a为线性区宽度；k为线性区斜率。饱和特性的特特点点是：输入信号超过某一范围后，输出不再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节器就具有饱和特性。yxka-a0图7-1饱和特性M-M第3页/共56页其数学表达式为yxka-a0图7-2死区特性2 2死区特性死区特性死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零，其
4、静持性关系如图7-2所示。若引入符号函数死区小时，可忽略；大时，需考虑。工程中，为抗干扰，有时故意引入。比如操舵系统。第4页/共56页3 滞环特性滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入而是在输入-输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图如图7-3所示。其数学表达式为：所示。其数学表达式为：这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当xa时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。yx图7-
5、3滞环特性0b-ba-a第5页/共56页44继电器特性继电器特性继电器非线性特性一般可用图7-47-4表示，不仅包含死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：yx图7-4继电器特性0ama-a-mab-b第6页/共56页 特殊情况：特殊情况：(1)若a0，称这种特性为理想继电理想继电器特性器特性，如图7-5（a）所示.(2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示，则称为死区继电器特性死区继电器特性.(3)若m-1，则称为滞环继电器特性滞环继电器特性，如图7-5(c)所示。实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。图7-5三种继电器特性（a）理想继电器特性
6、（b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性yx0b-b(a)yx图7-4继电器特性0ama-a-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c)第7页/共56页 非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征 非非线线性性系系统统与与线线性性系系统统最最本本质质的的区区别别为为：由由非非线线性性微微分分方方程程描描述述，不不不不满满满满足足足足叠叠叠叠加加加加原原原原理理理理，故故在非线性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两者之间有着不同的运动规律。在非线性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两者之间有着不同的运动规律。具体表现在：具体表现在：具
7、体表现在：具体表现在：上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。第8页/共56页（1）时时域域响响应应曲曲线线形形状状与与输输入入信信号号的的大大小小和和系系统统初初始始条条件件有有关关。而线性系统与之无关。而线性系统与之无关。（2）系系统统的的稳稳定定性性也也与与输输入入信信号号的的大大小小和和系系统统初初始始条条件件有有关关，如如小小偏偏差差时时是是稳稳定定的的，大大偏偏差差时时是是不不稳稳定定的的。而而线线性性系系统统的的稳稳定性仅取决于系统的结构和参数。定性仅取决于系统的结构和参数。（3）频频率率
8、响响应应与与线线性性系系统统不不同同。对对于于线线性性系系统统，输输入入是是正正弦弦函函数数时时，其其稳稳态态输输出出也也是是同同频频率率的的正正弦弦函函数数，可可以以用用频频率率特特性性来来描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。（4 4）自自自自激激激激振振振振荡荡荡荡无无无无外外外外界界界界周周周周期期期期信信信信号号号号输输输输入入入入时时时时产产产产生生生生的的的的稳稳稳稳定定定定振振振振荡荡荡荡。对对对对于于于于线线线线性性性性二二二二阶阶阶阶系系系系统统统统，也也也也会会会会出出出出现现现现等等等等幅幅幅幅振振振振荡荡荡荡，但但但但不不不不
9、会会会会是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的振振振振荡荡荡荡（WhyWhy？）。）。）。）。可可可可见见见见，非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统要要要要比比比比线线线线性性性性系系系系统统统统复复复复杂杂杂杂的的的的多多多多，会会会会存存存存在在在在多多多多种种种种运运运运动动动动状状状状态态态态。已已已已无无无无法法法法用用用用线线线线性性性性系系系系统统统统理理理理论论论论解解解解释释释释或或或或分分分分析析析析 ，必必必必须须须须应应应应用用用用非非非非线线线线性性性性理理理理论来研究。论来研究。论来研究。论来研究。第9页/共56页非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法 非线性的数学
10、模型为非线性微分方程，大多数非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还尚无法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一不成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：行分析。工程上常用的方法有以下几种：（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，实质上是应用实质上是应用谐波线性化谐波线性化谐波线性化谐波线性化的方法，将非线性特性线性的
11、方法，将非线性特性线性化，然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线化，然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。阶次的限制。第10页/共56页（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。（3）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。本章以本章以系统分析系统分析为主，而且是以为主，而且是以稳定性分析稳定性分析为核心内容，着重介绍在工程上广泛应为
12、核心内容，着重介绍在工程上广泛应用的用的描述函数法描述函数法。第11页/共56页上一节主要内容典型非线性特性的种类非线性系统的若干特征非线性系统的分析方法本节主要内容描述函数的定义描述函数的求法组合非线性特性的描述函数7.2描述函数第12页/共56页描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义 1.描述函数的应用条件描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成）非线性系统的结构图可简化成一个一个一个一个非线性环节非线性环节N和一个线性部分和一个线性部分G(s)串联的闭环结构，如图串联的闭环结构，如图7-6所示。所示。描述函数法描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用
13、描述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限制。分析内容主要是非线性系统的分析内容主要是非线性系统的稳定性稳定性和和自振荡稳态自振荡稳态，一般不给出，一般不给出时域响应的确切信息。时域响应的确切信息。xyNG(s)r(t)=0c(t)图7-6非线性系统典型结构图+-第13页/共56页（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直流分量。不包含直流分量。（
14、3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是的滤除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描可以认为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析结果才是比较准确的。述函数法所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本实际系统基本实际系统基本实际系统基本都能满足。都能满足。都能满足。都能满足。2.2.描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义描述函数的定义 对于图对于图7-6所示的非线性系统，设系统的非线性环节所示的非线性系统，设系
15、统的非线性环节输入信号是正弦信号：输入信号是正弦信号：则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数：级数：第14页/共56页若系统满足上述第二个条件，则有A0=0由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即第15页/共56页 类似于线性系统中频率特性的定义，我们类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的相量比定义为非线性环节的信号的相量比定义为
16、非线性环节的描述函数描述函数，用，用N(A)N(A)N(A)N(A)来表示，即来表示，即第16页/共56页 由非线性环节描述函数的定义可以看出：(1)描述函数类似于类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化谐波线性化。线性系统频率法的推广。（2）描述函数表达了非线性元件对描述函数表达了非线性元件对基波正弦量基波正弦量的传递能力。的传递能力。一般来说，它应该是输入信号幅值和频率幅值和频率的函数，但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用N(A)N(A)表示。描述函数的求法描
17、述函数的求法描述函数可以从定义式(7-15)出发求得，一般步骤是：第17页/共56页(1)首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形的输出波形y(t)，并写出输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。的数学表达式。(2)利用傅氏级数求出利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。的基波分量。(3)将求得的基波分量代入定义式将求得的基波分量代入定义式(7-15)，即得，即得N(A).下面计算几种典型非线性特性的描述函数。下面计算几种典型非线性特性的描述函数。1 1理想继电器特性理想继电器特性理想继电器特性理想继电器特性 当输入为当输入为x(t)As
18、int时，理想继电器特性的时，理想继电器特性的输出波形如图输出波形如图7-7所示：所示：第18页/共56页yx0M图7-7理想继电器特性的输出波形t0 x2ty02M-M第19页/共56页由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零A0A1=0 而基波奇函数分量的系数为：ty02M第20页/共56页故理想继电器特性的描述函数为 即即 N(A)的相位角为零度的相位角为零度,幅值是输入正弦信号幅值是输入正弦信号A的函数的函数.请牢记！请牢记！2.2.饱和特性饱和特性当输入为x(t)Asint，且且A A大于线性区宽度大于线性区宽度a a时时，饱和特性的输出波形如图
19、7-8所示。所以基波分量为：所以基波分量为：第21页/共56页yyxx00022M图7-8饱和特性的输出波形ak1tt1第22页/共56页式中1=arcsin(a/A)由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为显然其输出信号也是奇函数，因此A0=A1=0，而y02t1第23页/共56页由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当Aa时，比例系数总小于k.P291表7-1列出了常见的非线性系统的描述函数N(A)以及相应的负倒特性曲线-1/N(A)，供分析时参考。理想继电特性理想继电特性，死区继电死区继电特性特性，饱和特性，死区特性，饱和特
20、性，死区特性最好能记住最好能记住最好能记住最好能记住！组合非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。第24页/共56页1 1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单单单单值函数值函数值函数值函数，即它们的描述函数都是，
21、即它们的描述函数都是实数实数实数实数，如图，如图7-9所示。所示。N1N2+x(t)y12(t)y1(t)图7-9两个非线性环节并联y11(t)当输入为x(t)Asint时，则两个环节输出的基波分量基波分量分别为输入信号乘以各自的描述函数，即由此可见，若干个非线性环节由此可见，若干个非线性环节并联后的总的并联后的总的 描述函数，等于各描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当非线性环节描述函数之和。当N N1 1和和N N2 2是复数时，该结论仍成立。是复数时，该结论仍成立。第25页/共56页 例例7.1 下图为一个具有死区的非线性环节，求描述下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数函数N(
22、A).具有死区的非线性特性的并联分解 00Mkxy+xk0M y第26页/共56页解：解：可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2 2非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算 若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函数述函数不等于不等于不等于不等于两个非线性环节描述函数的乘积。两个非线性环节描述函数的乘积。N1N2xyNyxz第27页/共56页 必须首先求出这两个非线性环节串联后
23、必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线等效的非线性特性性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。数。例例7-2 求图求图7-12所示两个非线性特性串联后总的描述所示两个非线性特性串联后总的描述函数函数N(A)。yz021k2=2xy10k=222-2-110k=2x22-110k=2x22-2yy10k1=1xz2第28页/共56页解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个死区加饱和死区加饱和的非线性特性。为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其分解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和不同
24、死区宽度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：第29页/共56页习题：求图示3个非线性环节串联后等效的非线性特性，并求其描述函数，其中Mh。第30页/共56页上一节主要内容上一节主要内容l描述函数的定义l描述函数的求法l组合非线性特性的描述函数本节主要内容本节主要内容l非线性系统的稳定性分析l自振荡的分析与计算7.3描述函数法第31页/共56页前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析。这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定性和自
25、振荡。第32页/共56页 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假设非线性元件和系统满足假设非线性元件和系统满足7.2节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数节可以用描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性或频率特性G(j)表示，表示，如图如图7-13所示。所示。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-13非线性系统典型结构图+-第33页/共56页式中，式中，-1-1N(A)N(A)叫做非线性特性的负倒描述函数。叫做非线性特性的负倒描述函数。x(t)y(t)N
26、(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-13非线性系统典型结构图+-第34页/共56页 通过对比会发现通过对比会发现:在线性系统分析中在线性系统分析中 当应用奈氏判据时，当应用奈氏判据时，若若满足满足G(j)-1+j0，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。状态。显然，式显然，式(7-22)中的中的-1/N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的(-1，j0)点。区别在于，线性系统的临界状态是一个点点。区别在于，线性系统的临界状态是一个点（-1，j0)。而。而非线性系统的临界状态是非线性系统的临界状态是-1/N(A)曲线。通常又将曲线。通常又将-1/N(
27、A)曲曲线称为线称为负倒特性曲线负倒特性曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数首先求出非线性环节的描述函数N(A)N(A)，然后，然后，然后，然后在极坐标图上分别画出线性部分的在极坐标图上分别画出线性部分的在极坐标图上分别画出线性部分的在极坐标图上分别画出线性部分的G(j)G(j)曲线和非线性部分曲线和非线性部分曲线和非线性部分曲线和非线性部分的的的的-1/N(A)-1/N(A)曲线，并假设曲线，并假设曲线，并假设曲线，并假
28、设G(s)G(s)的极点均在的极点均在的极点均在的极点均在s s左半平面，则左半平面，则左半平面，则左半平面，则线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程:1+G(j 1+G(j)=0)=0或或G(jG(j)=-1)=-1非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程:1+N(A)G(j 1+N(A)G(j)=0)=0或或G(jG(j)=-1/N(A)=-1/N(A)式式(7-22)(7-22)第35页/共56页(1)若若G(s)曲线不包围曲线不包围-1N(A)曲线，如图曲线，如图7-14(a)所示，则非线性系统是
29、稳定的。所示，则非线性系统是稳定的。(2)若若G(s)曲线包围曲线包围-1N(A)曲线，如图曲线，如图7-14(b)所示，则非线性系统是不稳定的。所示，则非线性系统是不稳定的。(3)若若G(s)曲线与曲线与-1N(A)曲线相交，如图曲线相交，如图7-14(c)所示，则在理论上将产生等幅振荡或称为所示，则在理论上将产生等幅振荡或称为自振自振自振自振荡荡荡荡。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re图7-14非线性系统的稳定性分析(a),(b),(c)第36页/共56页自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算 前已述及，若前已述及，
30、若G(j)曲线与曲线与-1N(A)曲线相交，则系统将产生自振荡。曲线相交，则系统将产生自振荡。下面从信号的角度进一步分析下面从信号的角度进一步分析自振荡产生的条件自振荡产生的条件。第37页/共56页x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-13非线性系统典型结构图+-在图7-13所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为x(t)=Asint则非线性环节输出信号基波分量为而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为第38页/共56页x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图7-13非线性系统典型结构图+-G(jG(
31、j)=-1/N(A)=-1/N(A)式式(7-22)(7-22)第39页/共56页0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1自振荡也存在一个稳稳定定性性问题，因此必须进一步研究自振荡的稳定性。若系统受到扰动偏离了原来周期运动状态，当扰动消失后，系统能够重新收敛于原来的等幅振荡状态，称为稳稳定定的的自自振振荡荡，反之，称为不稳定的自振荡。判断自振荡的稳定性可以从上述定义出发，采用扰动分析的方法。第40页/共56页以上图为例，G(j)与-1/N(A)曲线有两个交点，说明存在两个自振荡点。对于M1点，若受到干扰使振幅A增大，则工作点将由点M1移至a点。由于此时a点不被曲线G(j)包围。系统稳定，振荡
32、衰减，振幅A自动减小，工作点将沿-1/N(A)曲线回到M1点。反之亦然，所以M1点是稳定的自振荡。同样的方法可以分析点M2是不稳定的振荡点。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1第41页/共56页 按按照照下下述述准准则则来来判判断断自自振振荡荡的的稳稳定定性性是是极极为为简简便便的的：在在在在复复复复平平平平面面面面上上上上自自自自振振振振荡荡荡荡点点点点附附附附近近近近。当当当当按按按按幅幅幅幅值值值值A A A A增增增增大大大大的的的的方方方方向向向向沿沿沿沿-l/-l/-l/-l/N(A)N(A)N(A)N(A)曲曲曲曲线线线线移移移移动动动动时时时时，若若若若系系系系统
33、统统统从从从从不不不不稳稳稳稳定定定定区区区区进进进进入入入入稳稳稳稳定定定定区区区区，则则则则该该该该交交交交点点点点代代代代表表表表的的的的是是是是稳稳稳稳定定定定的的的的自自自自振振振振荡荡荡荡；反反反反之之之之，若若若若沿沿沿沿-l/-l/-l/-l/N(A)N(A)N(A)N(A)曲曲曲曲线线线线振振振振幅幅幅幅A A A A增增增增大大大大的的的的方方方方向向向向是是是是从从从从稳稳稳稳定定定定区区区区进进进进入入入入不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡。不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡。不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡。不稳定区，则该交点代表的是不稳定的自振荡
34、。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1第42页/共56页 值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件时可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率振幅和频率振幅和频率振幅和频率是图7-13中非线性环节的输入信号x(t)Asint的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)图7-13非线性系统典型结构图+-对于稳定的自振荡，振幅和频率是确定的，并可测量得到。计算时，振幅可由-1/N(A)-1/N(A)曲线的自变量A A 的大小来确定，而振荡频率由G(j)G(j)曲线的自变量来确定。对于不稳定的自振荡，由于实际系统不可避免地存在扰动
35、，因此这种自振荡是不可能持续的，仅是理论上的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。第43页/共56页例7.3具有理想继电器特性非线性系统如图7-15所示，试确定其自振荡的幅值和频率。解：理想继电器特性的描述函数为01-1c(t)+_r(t)第44页/共56页0ImG(j)-1/N(A)Re-1第45页/共56页0ImG(j)-1/N(A)Re-1由此求得：A=2.1，=1.414rad/s第46页/共56页(M)(h)013r(t)c(t)+_例7-4设控制系统的结构图如图7-16(a)所示，图中死区继电器特性的参数为a=1,b=3.(1)计算自振荡的振幅和频率.(2)为消除自振荡，继电器特
36、性参数应如何调整.解：(1)死区继电器特性的负倒描述函数为第47页/共56页 当当A=1时，时，-1/N(A)=-，当，当A=时，时，-1/N(A)=-。其极值发生在其极值发生在 处，此时处，此时0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（b）M1M2因此，-1/N(A)是从负实轴上-/6至-这一段，为清楚起见，用两条直线来表示，如图所示。由线性部分的传递函数得第48页/共56页令ImG(j)=0，得G(j)曲线与负实轴的交点处的频率为=1.414。将=1.414代入实部，得该交点为负实轴上-0.66。令解得A1=1.11，A2=2.3。不难看出，A2=2.3为稳定自振荡的幅值。因此，系统实际存在
37、的自振荡的幅值是A=2.3，=1.414rad/s。0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（b）M1M2第49页/共56页(2)为使系统不产生自振荡，可通过调整继电器特性的为使系统不产生自振荡，可通过调整继电器特性的死区参数来实现。此时，应使死区参数来实现。此时，应使-1/N(A)的极值小于的极值小于G(j)曲线与负实轴的交点坐标，即曲线与负实轴的交点坐标，即 若取若取=2，即调整为，即调整为 a=1.5，则，则-1N(A)极值为极值为-/4-0.785。显然，。显然，这时两条曲线不相交。从而保证系统这时两条曲线不相交。从而保证系统不产生自振荡。不产生自振荡。同样道理，也可以在不改变继电器特性
38、参数的情况同样道理，也可以在不改变继电器特性参数的情况下。通过减小下。通过减小G(j)的传递系数，使的传递系数，使G(j)曲线与负实曲线与负实轴的交点右移，使系统减小或消除自振荡。轴的交点右移，使系统减小或消除自振荡。0ImG(j)-1/N(A)Re-/6（b）M1M2第50页/共56页小结小结1 基本知识点基本知识点 A A 典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点典型非线性的定义，几种典型非线性的特点 p284p284；本质非线性用折线代替；饱和、死区、滞环、继电特性本质非线性用折线代替；饱和、死区、滞环、继电特性
39、B B 非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法非线性系统的特征，非线性系统的分析方法p286p286；特征：特征：1 时域响应的形状与输入的大小和初始值有关；时域响应的形状与输入的大小和初始值有关；2 稳定性稳定性 3 频率响应与线性系统不同，为周期非正弦函数；频率响应与线性系统不同，为周期非正弦函数；4 自振荡自振荡 方法：方法：1 描述函数法描述函数法 2 相平面法相平面法 3 计算机求解法计算机求解法 C C 描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基本思想和应用条件描述函数法的基
40、本思想和应用条件 p287p287；近似方法（谐波线性化）；近似方法（谐波线性化）；条件：条件：1 化简后的结构化简后的结构 2 奇函数奇函数 3 线性部分具有低通特性，高频段越陡，精度越高。线性部分具有低通特性，高频段越陡，精度越高。第51页/共56页 D D 描述函数的计算及其物理意义描述函数的计算及其物理意义描述函数的计算及其物理意义描述函数的计算及其物理意义p288p288；步骤：步骤：1 画出非线性的静态特性、画出非线性的静态特性、x=f(t)、y(t)的波形；的波形；2 利用傅氏级数求利用傅氏级数求y(t)的基波分量；的基波分量；3 求出求出N(A)。物理意义：描述了非线性元件对基
41、波分量的传递能力物理意义：描述了非线性元件对基波分量的传递能力 E E 描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般步骤描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般步骤描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般步骤描述函数法分析系统稳定性和自振荡的一般步骤p293p293；1 求出求出N(A)；2 画出画出G(jw)和和-1/N(A)的曲线的曲线 3 用奈氏稳定判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定用奈氏稳定判据判断稳定性和自振荡，若存在稳定的自的自 振荡，进一步求出自振荡的频率和振幅。振荡，进一步求出自振荡的频率和振幅。第52页/共56页2 有关例题有关例题一一 设某非线性系统如图所示，试确定其自振荡的振幅和频率。设某非线性系统如图所示，试确定其自振荡的振幅和频率。解：根据线性部分的传递函数，得其幅频及相频特性分别为其中M=1，解出自振荡振幅为第53页/共56页习题：设非线性系统结构如图所示。求：1)K=10时系统是否产生稳定的自振荡，参数是多少？2)欲使系统稳定工作，不出现自振荡，K的临界稳定值是多少？r(t)c(t)012012+-课本313例题7-14第54页/共56页习题：求图示2个非线性环节串联后等效的非线性特性。0M-M0ab第55页/共56页感谢您的观看。第56页/共56页