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1、第02章静电场(1)现在学习的是第1页，共23页 本章具体内容本章具体内容2-1 电场强度、电通（量）及电场线电场强度、电通（量）及电场线2-2 真空中的静电场方程真空中的静电场方程2-3 电位与等位面电位与等位面2-4 介质极化介质极化2-5 介质中的静电场方程介质中的静电场方程2-6 两种介质的边界条件两种介质的边界条件2-7 介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件2-8 电容与部分电容电容与部分电容2-9 电场能量电场能量2-10 电场力电场力现在学习的是第2页，共23页2-1 电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线 电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电荷的作
2、用力称为该点的电场强度电场强度，以以E 表示表示。式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。电场强度通过任一曲面的通量称为电场强度通过任一曲面的通量称为电通电通，以以 表示表示,即即 电场线：电场线：把一个测试电荷放入电场中，由于受电场力的作用，它会在电场中沿确定把一个测试电荷放入电场中，由于受电场力的作用，它会在电场中沿确定的轨迹移动，这个轨迹（或路线）就是电场线（也叫通量线）。的轨迹移动，这个轨迹（或路线）就是电场线（也叫通量线）。电场线实际上并不存在，引进此概念后，可以用图示的方法形象地来表示电电场线实际上并不存在，引进此概念后，可以
3、用图示的方法形象地来表示电场的存在情形。场的存在情形。现在学习的是第3页，共23页电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。现在学习的是第4页，共23页2-2 真空中静电场方程真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程满足下列两个积分形式的方程式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定理，它表明真空中
4、静电场的电场强度通过任一左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭封闭曲面的电通等于该封闭曲曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条条闭合曲线的环量为零。闭合曲线的环量为零。根据根据亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理，无限空间的矢量场可由其散度和旋度唯一确定。静电场是矢量，无限空间的矢量场可由其散度和旋度唯一确定。静电场是矢量场，矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。场，矢量场的散度及旋度是研究矢量场特性的首要问题。现在学习的是第5页，共23页根据上面两
5、式可以求出电场强度的根据上面两式可以求出电场强度的散度散度及及旋度旋度，即即左式表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的的散度等于该点的电荷体电荷体密度密度与与真空介电常数真空介电常数之比之比。右式表明，。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋真空中静电场的电场强度的旋度度处处处处为零为零。由此可见，。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度场强度E 应为应为 式中式中xPzyr0现在学习的是第6页，共23
6、页将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得因此因此 标标量量函函数数 称称为为电电位位。因因此此，上上式式表表明明真真空空中中静静电电场场在在某某点点的的电电场场强强度度等等于于该点电位梯度的该点电位梯度的负负值。值。按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为现在学习的是第7页，共23页 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场
7、强度与电荷的获知此时电位及电场强度与电荷的面密度面密度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为 无论电荷作何种分布，电位及电场强度均为电荷量的一次函数，因此计算无论电荷作何种分布，电位及电场强度均为电荷量的一次函数，因此计算电位或电场强度均可利用叠加定理。电位或电场强度均可利用叠加定理。对于某些静电场问题，可以直接利用高斯定律的积分形式求出电场强度。但要找到一个曲对于某些静电场问题，可以直接利用高斯定律的积分形式求出电场强度。但要找到一个曲面，其上各点的电场强度的分布特性已知，具有这种特性的曲面叫面，其上各点的电场强度的分布特性已知，具有这种特性的曲面叫高斯面高斯面。这种情况只有对。
8、这种情况只有对某些结构特殊的静电场问题才可行。因此直接利用高斯定理求解静电场问题只适用于某些结构特殊的静电场问题才可行。因此直接利用高斯定理求解静电场问题只适用于某些特殊的场分布。某些特殊的场分布。现在学习的是第8页，共23页（1 1）高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电荷的总所包围的全部正负电荷的总和。和。静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真
9、空中的静电场和线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。算静电场的方法。现在学习的是第9页，共23页 自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场线是不可自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场线是不可能闭合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积分会因电场强度能闭
10、合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积分会因电场强度E与与线元线元dl的方向处处一致而使环量不为零。由此可以证明，任意两点之的方向处处一致而使环量不为零。由此可以证明，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。间电场强度的线积分与路径无关。自由空间中的静电场是保守场。自由空间中的静电场是保守场。现在学习的是第10页，共23页例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。点电荷点电荷就是指体积为就是指体积为零零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有有球对称球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与特点，因此若点电荷位于
11、球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。球坐标的方位角及无关。取中心位于点电荷的球面为取中心位于点电荷的球面为高斯面高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上式左端积分为上式左端积分为 得得或或现在学习的是第11页，共23页 也也可可通通过过电电位位计计算算点点电电荷荷产产生生的的电电场场强强度度。当当点点电电荷荷位位于于坐坐标标原原点点时，时，。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为求得电场强度求得电场强度 E 为为 若直接根据电场强度公式（若直接根
12、据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度），同样求得电场强度E为为 现在学习的是第12页，共23页例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。由前述电位和电场强度的计算公式可见，由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为电偶极子产生的电位应为 若观察距离远大于两电荷的间距若观察距离远大于两电荷的间距 l，则可认为，则可
13、认为 ，与与 平行，则平行，则x-q+qzylrr-r+O现在学习的是第13页，共23页式式中中l 的的方方向向规规定定由由负负电电荷荷指指向向正正电电荷荷。通通常常定定义义乘乘积积 q l 为为电电偶偶极极子子的的电电矩矩，以以 p 表示，即表示，即求得求得那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为现在学习的是第14页，共23页 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角次方成反比。而
14、且两者均与方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。现在学习的是第15页，共23页例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。由于轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限值，上下均匀无限长，因此场量与长，因此场量与 z 坐标无关。
15、对于任一坐标无关。对于任一 z 为常数为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于直于z 轴，且与径向坐标轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。无关。取半径为取半径为 r，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律 现在学习的是第16页，共23页 因因电电场场强强度度方方向向处处处处与与圆圆柱柱侧侧面面S1的的外外法法线线方方向向一一致致，而而与与上上下下端端面面的的外法线方向垂直
16、，因此上式左端的面积分为外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 ,求得电场强度为求得电场强度为 现在学习的是第17页，共23页 上上式式中中a2 可可以以认认为为是是单单位位长长度度内内的的电电量量。那那么么，柱柱外外电电场场可可以以看看作作为为位位于于圆圆柱柱轴轴上上线线密密度度为为 =a2 的的线线电电荷荷产产生生的的电电场场。由由此此我我们们推推出出线线密密度度为为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算
17、其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。电场强度，显然不易。现在学习的是第18页，共23页xzyr21r0例例4 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长度方轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角对称，场强与方位角 无关。因为电场强无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解
18、其电场强度。只好进行直接积分，计算解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。其电位及电场强度。因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 现在学习的是第19页，共23页考虑到考虑到求得求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则此结果与此结果与例例3 导出的结果完全相同。导出的结果完全相同。现在学习的是第20页，共23页2-3 电位与等位面电位与等位面 静静电电场场中中某某点点的的电电位位，其其物物理理意意义义是是单单位位正正电电荷荷在在电电场场力力的的作作用用下下，自该点沿自该点沿任一条任一条
19、路径移至无限远处过程中电场力作的路径移至无限远处过程中电场力作的功功。应应该该注注意意，这这里里所所说说的的电电位位实实际际上上是是该该点点与与无无限限远远处处之之间间的的电电位位差差，或或者者说说是是以以无无限限远远处处作作为为参参考考点点的的电电位位。原原则则上上，可可以以任任取取一一点点作作为为电电位位参参考考点点。显显然然，电电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电电位位的的值值也也不不同同。但但是是任任意意两两点点之之间间的的电电位位差差与与电电位位参参考考点点无无关关，因因此此电电位位参参考考点点的的选选择择不不会会影影响响电电场场强强度度的的值值。当当电电荷荷分分布布在在有有限
20、限区区域域时时，通通常常选选择择无无限限远远处处作作为为电电位位参参考考点点，因因为为此此时无限远处的电位为零。时无限远处的电位为零。电位的数学表示电位的数学表示式中式中q 为电荷的电量，为电荷的电量，W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。现在学习的是第21页，共23页 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为电场线等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E现在学习的是第22页，共23页现在学习的是第23页，共23页