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1、离散数学课件离散数学课件 第五章第五章 代数结构代数结构现在学习的是第1页，共52页 由由于于数数学学和和其其他他科科学学的的发发展展，人人们们需需要要对对若若干干不不是是数数的的事事物物，用用类类似似普普通通计计算算的的方方法法进进行行相相似似的的计算。如矩阵、向量等。计算。如矩阵、向量等。研研究究代代数数系系统统的的学学科科称称为为“近近世世代代数数”或或“抽抽象代数象代数”。现在学习的是第2页，共52页本章主要内容本章主要内容集合的概念集合的概念1集合的表示方法集合的表示方法2同态与同构同态与同构6阿贝尔群与循环群阿贝尔群与循环群4陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理5集合的概念集合的概
2、念1集合的表示方法集合的表示方法2群与子群群与子群3代数系统与性质代数系统与性质1半群半群2现在学习的是第3页，共52页5-1 5-1 代数系统的引入代数系统的引入定定义义5-1.15-1.1 如如果果 为为A An n到到B B的的一一个个函函数数，则则称称 为为集集合合A A上上的的n n元元运运算算（operateroperater）。如如果果 B B A A，则称则称 该该n n元运算元运算在在A A上上封闭封闭。现在学习的是第4页，共52页代数系统的定义代数系统的定义定定义义5-1.25-1.2 一一个个非非空空集集合合A A连连同同若若干干个个定定义义在在该该集集合合上上的的运运算
3、算 f f1 1,f,f2 2,f,fk k 所所组组成成的的系系统统称称为为一一个个代代数系统（代数结构），数系统（代数结构），记为记为A,f。代数结构由以下三个部分组成：代数结构由以下三个部分组成：非空集合非空集合S S，称为代数结构的载体。，称为代数结构的载体。载体载体S S上的若干运算。上的若干运算。一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。代数系统常用一个多元序组代数系统常用一个多元序组S 来表示。来表示。现在学习的是第5页，共52页代数系统举例代数系统举例(1)(1)R R上上的的“+”+”、“”运运算算，构构成成一一个个代代数数系系统统R R，+
4、，；(2)(2)(S)(S)上上的的“”“”、“”“”、“”运运算算，构构成代数系统成代数系统(S),(S),，称集合代数；，称集合代数；(3)(3)含含有有n n个个命命题题变变元元的的命命题题集集合合A A与与A A上上的的“”“”、“”“”、“”“”运运算算，构构成成代代数数系系统统A A，称之为命题代数。，称之为命题代数。现在学习的是第6页，共52页5-2 5-2 二元运算的性质二元运算的性质定定义义 可可以以用用 o o、*、等等符符号号表表示示二二元元或一元运算或一元运算,称为称为算符算符。定定义义5-2.15-2.1 设设*是是定定义义在在集集合合A A上上的的二二元元运运算算，
5、如如果果对对于于任任意意的的x x，yAyA，都都有有x*yAx*yA，则则称称二二元元运运算算*在在A A上是封闭的。上是封闭的。现在学习的是第7页，共52页二元运算的主要算律二元运算的主要算律定义定义 设设o o为为S S上的二元运算上的二元运算,(1)(1)如如果果对对于于任任意意的的x,yS,x,yS,有有x xo oy=yy=yo ox,x,则则称称运运算算o o在在S S上满足上满足交换律交换律。(2)(2)如果对于任意的如果对于任意的x,y,zS x,y,zS 有有(x(xo oy)y)o oz=xz=xo o(y(yo oz),z),则称运算则称运算o o在在S S上满足上满足
6、结合律结合律。(3)(3)如如果果对对于于任任意意的的xSxS有有x xo ox=x,x=x,则则称称o o运运算算在在S S上满足上满足幂等律（等幂律）幂等律（等幂律）。现在学习的是第8页，共52页二元运算的主要算律（续）二元运算的主要算律（续）定义定义 设设o o和和*为为S S上两个不同的二元运算上两个不同的二元运算,(1)(1)如果对于任意的如果对于任意的x,y,zSx,y,zS有有(x*y)oz=(xoz)*(yoz)(x*y)oz=(xoz)*(yoz)和和 zo(x*y)=(zox)*(zoy),zo(x*y)=(zox)*(zoy),则则称称o o运算对运算对*运算满足运算满足
7、分配律分配律。(2)(2)如如果果o o和和*都都可可交交换换,并并且且对对于于任任意意的的x,ySx,yS有有xo(x*y)=xxo(x*y)=x和和x*(xoy)=x,x*(xoy)=x,则则称称o o和和*运运算算满满足足吸吸收收律律。现在学习的是第9页，共52页特殊元素特殊元素1 1：幺元（单位元）：幺元（单位元）定义定义5-2.7 5-2.7 设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）若存在）若存在e el lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 e el l a=a a=a，则则称称e el l是是A A中中关关于于运运算算“”的的一一个个左左幺幺元元（左左单单
8、位元）位元）（2 2）若存在）若存在e er rAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 a a e er r=a=a，称称e er r是是A A中中关关于于运运算算“”的的一一个个右右幺幺元元（右右单单位位元）元）（3 3）若存在）若存在eAeA，对任意，对任意aAaA，都有，都有 a a e=e e=e a=a a=a，则称则称e e是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个幺元（单位元）幺元（单位元）现在学习的是第10页，共52页幺元的性质幺元的性质定理定理5-2.15-2.1 设设*是定义在集合是定义在集合A A上的一个二元运算，上的一个二元运算，且且在在A A中有关于中有
9、关于 运算的左幺元运算的左幺元e el l和右幺元和右幺元e er r，则则e el l=e er r=e=e，且且A A中的中的幺元是唯一的幺元是唯一的。证明：证明：（先证左幺元（先证左幺元e el l=右幺元右幺元e er r=e=e）e el l=e=el l e er r=e=er r=e=e （再证幺元（再证幺元e e是唯一的）是唯一的）设还有一个幺元设还有一个幺元e e A,A,则则 e=e e=e e=e e=e现在学习的是第11页，共52页特殊元素特殊元素2 2：零元：零元定义定义5-2.85-2.8 设设A,是一个二元代数系统，是一个二元代数系统，（1 1）若存在）若存在 l
10、 lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 l l a=a=l l，则称则称 l l是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个左零元左零元；（2 2）若存在）若存在 r rAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有a a r r=r r，则称则称 r r是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个右零元右零元。（3 3）若存在）若存在 A A，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有a a =a=a=，则称则称是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个零元零元；现在学习的是第12页，共52页零元的性质零元的性质定定理理5-2.25-2.2 设设*是是定定义义在在集集
11、合合A A上上的的一一个个二二元元运运算算，且且在在A A中中有有关关于于 运运算算的的左左零零元元 l l和和右右零零元元 r r，则则 l l =r=r=，且且A A中的中的零元是唯一的零元是唯一的。证明：证明：（先证左零元（先证左零元 l l=右零元右零元 r r=）l l=l l r r=r r=（再证零元（再证零元 是唯一的）是唯一的）设还有一个零元设还有一个零元 A,A,则则 =现在学习的是第13页，共52页幺元、零元举例幺元、零元举例例：代数例：代数A=A=aa，b b，cc，。用下表定义：用下表定义：。abcaabbbabccaba则则 b b是左么元，无右么元；是左么元，无右
12、么元；a a是右零元，是右零元，b b是右零元；无左零元是右零元；无左零元;运算：既不满足结合律，也不满足交换律。运算：既不满足结合律，也不满足交换律。现在学习的是第14页，共52页幺元、零元举例（续）幺元、零元举例（续）例例:求出下列集合的幺元，零元。求出下列集合的幺元，零元。（1 1）I I，I I为整数集为整数集 则幺元为则幺元为1 1，零元为，零元为0 0 （2 2）（A A）,对运算对运算，是幺元，是幺元，A A是零元，是零元，对运算对运算，A A是幺元是幺元 ，是零元。是零元。（3 3）N N，+有幺元有幺元0 0，无零元。，无零元。现在学习的是第15页，共52页幺元、零元性质幺元
13、、零元性质定定理理5-2.35-2.3 如如果果代代数数结结构构A 有有关关于于 运运算算的零元的零元 和幺元和幺元e e ，且集合，且集合A A中元素个数大于中元素个数大于1 1，则，则 e e 。证明：证明：用反证法：用反证法：设设幺元幺元e e =零元零元 ，则对于任意，则对于任意x x A A ，必有，必有 x x =e=e x=x=x x =e e 于是，推出于是，推出A A中所有元素都是相同的，矛盾。中所有元素都是相同的，矛盾。现在学习的是第16页，共52页特殊元素特殊元素3 3：逆元：逆元定定义义5-2.95-2.9 设设A,是是二二元元代代数数系系统统，e e是是幺幺元元，aA
14、aA，若存在一个元素，若存在一个元素bAbA，（1 1）使得：）使得：b b a=ea=e，则称则称b b是是a a的一个的一个左逆元左逆元，记为，记为a al l 1 1；（2 2）使得：）使得：a a b=e b=e，则称则称b b是是a a的一个的一个右逆元右逆元，记为，记为a ar r 1 1。（3 3）使得：）使得：a a b=b b=b a=e a=e，则称则称a a可逆，并称可逆，并称b b是是a a的一个的一个逆元逆元，记为，记为a a 1 1；现在学习的是第17页，共52页逆元的性质逆元的性质注：注：一般地，一个元素的一般地，一个元素的左逆元左逆元不一定等于它的不一定等于它的
15、右逆元右逆元。一个元素。一个元素左、右逆元左、右逆元不一定同时存在。甚不一定同时存在。甚至一个元素的至一个元素的左（右）逆元左（右）逆元不一定是唯一的。不一定是唯一的。定定理理 设设*为为S S上上可可结结合合的的二二元元运运算算,e,e为为该该运运算算的的单单位位元元,对对于于xSxS如如果果存存在在左左逆逆元元y yl l和和右右逆逆元元y yr r,则则有有y yl l =y=yr r=y=y，且，且y y是是x x的唯一的逆元。的唯一的逆元。现在学习的是第18页，共52页证明：证明：因为因为 y yl l*x=e*x=e，x*yx*yr r=e=e，故故y yl l=y=yl l*e=
16、y*e=yl l*(x*y*(x*yr r)=(y)=(yl l*x)*y*x)*yr r=e*y=e*yr r=y=yr r令令y yl l =y yr r =y,y,则则y y是是x x的的逆逆元元。设设y yS S也也是是x x的的逆逆元元,则则y=y*e=y*(x*y)=(y*x)*y=e*y=yy=y*e=y*(x*y)=(y*x)*y=e*y=y所以所以y y是是x x唯一的逆元。唯一的逆元。现在学习的是第19页，共52页通过运算表观察二元运算的性质通过运算表观察二元运算的性质1 1）封闭性封闭性：表中的每个元素都属于：表中的每个元素都属于A A。2 2）可交换性可交换性：运算表关
17、于主对角线是对称的。：运算表关于主对角线是对称的。3 3）等等幂幂性性：运运算算表表的的主主对对角角线线上上的的每每一一元元素素与与它它所在行（列）的表头元素相同。所在行（列）的表头元素相同。4 4）A A中中关关于于运运算算 具具有有零零元元：该该元元素素所所对对应应的的行行和和列中的元素都与该元素相同。列中的元素都与该元素相同。5 5）A A中中关关于于运运算算 具具有有幺幺元元：该该元元素素所所对对应应的的行行和和列依次与运算表的首行和首列相一致。列依次与运算表的首行和首列相一致。6 6）A A中中关关于于运运算算 具具有有幺幺元元，a a和和b b互互逆逆：位位于于a a行行b b列的
18、元素以及列的元素以及b b行行a a列的元素都是幺元。列的元素都是幺元。现在学习的是第20页，共52页例：例：P182 P182 例题例题9 9，1010，1111，1212现在学习的是第21页，共52页例：设例：设X=e,a,b,c,dX=e,a,b,c,d，*是是X X上的二元运算，上的二元运算，*的运算的运算表如下。表如下。从本例还可以看到从本例还可以看到a a的逆元也是的逆元也是c,dc,d。运算运算*满足可交换性，但不满足等幂性。满足可交换性，但不满足等幂性。*eabcdeeabcdaaaaeebbaaeecceeccddeecc从表中可知，从表中可知，X 是代是代数系统，数系统，e
19、 e是关于是关于*的幺的幺元。元。X X中无零元。中无零元。表中表中 b*c=c*b=eb*c=c*b=e；b*d=d*b=eb*d=d*b=e，故，故c c和和d d均为均为b b的逆元，即的逆元，即b b的逆元不唯一。的逆元不唯一。原因在于运算原因在于运算*不满足结合不满足结合律律。现在学习的是第22页，共52页练练习习：指指出出下下面面运运算算的的性性质质，并并求求出出幺幺元元,零零元元，可逆元素的逆元。可逆元素的逆元。1 1、在、在Q Q集合上，集合上，x,y x,y Q Q，x*y=x+y-xyx*y=x+y-xy2 2、在在I+I+集合上集合上,x,y x,y I+I+，x*y=l
20、cm(x,y)x*y=lcm(x,y)1 1、满足交换律、结合律，不满足幂等律，幺元为满足交换律、结合律，不满足幂等律，幺元为0 0，零，零元为元为1 1，x x的逆元的逆元x x-1-1=x/(x-1)(x1)=x/(x-1)(x1)2 2、满足交换律、结合律、幂等律，幺元为满足交换律、结合律、幂等律，幺元为1 1，无零元，只，无零元，只有有1 1有逆元，其逆元为有逆元，其逆元为1 1。现在学习的是第23页，共52页5-3 5-3 半群半群定定义义5-3.15-3.1 如如果果集集合合S S上上的的二二元元运运算算 是是封封闭闭的的，则称代数系统则称代数系统S 为为广群广群。定定义义5-3.
21、25-3.2 如如果果集集合合S S上上的的二二元元运运算算 是是封封闭闭的的并且满足结合律并且满足结合律，则称代数结构，则称代数结构S 为为半群半群。例：例：P186P186例题例题1 1，例题，例题2 2现在学习的是第24页，共52页子半群子半群定理定理5-3.15-3.1 设设S,为一半群为一半群,B B S S且且 在在B B上封上封闭闭，那么，那么B,也是也是一个半群，称为一个半群，称为S,的的子子半群半群。例：乘法运算在例：乘法运算在某些集合上某些集合上构成构成的子半群。的子半群。现在学习的是第25页，共52页含幺半群（独异点）含幺半群（独异点）定义定义5-3.35-3.3 设代数
22、结构设代数结构S,为为半群半群，若，若S,含有关于含有关于 运算的幺元运算的幺元,则称它为则称它为独异点独异点，或或含幺半群含幺半群，有时也记为，有时也记为S,e。现在学习的是第26页，共52页独异点的性质独异点的性质运算表中任两行两列不相同运算表中任两行两列不相同定定理理5-3.35-3.3 设设S,e是是一一个个独独异异点点,则则在在关关于于运算运算 的运算表中任何两行或两列都是不相同的。的运算表中任何两行或两列都是不相同的。例例:设设I I是是整整数数集集合合，m m是是任任意意正正整整数数，Zm m是是由由模模m m的的同同余余类类组组成成的的同同余余类类集集，在在Zm m上上定定义义
23、两两个个二二元元运算运算+m+m和和mm分别如下：分别如下：对于任意的对于任意的ii，jj ZmZm，有，有 i+mj=(i+j)(mod m)i+mj=(i+j)(mod m)imj=(ij)(mod m)imj=(ij)(mod m)试试证证明明在在这这两两个个二二元元运运算算的的运运算算表表中中任任何何两两行行或两列都是不相同的。或两列都是不相同的。现在学习的是第27页，共52页证明思路：证明思路：1 1、证明运算的封闭性；、证明运算的封闭性；Zm Zm 0,1,2,m0,1,2,m11,任意任意x,yZm,x,yZm,显然显然x+myx+myZm,x mym,x myZm,m,所以所以
24、+m+m、mm运算封闭性成立。运算封闭性成立。2 2、证明运算满足结合律；、证明运算满足结合律；任意任意x,y,z Zm,x,y,z Zm,有有 (x(xm my)y)m mzz (x(xy+z)(mod m)y+z)(mod m)xxm m(y(ym mz)z)所以所以+m+m满足结合律，同理可证满足结合律，同理可证mm满足结合律。满足结合律。3 3、显然，、显然，00、11分别为分别为+m+m和和mm的幺元。的幺元。现在学习的是第28页，共52页 综综上上所所述述，和和 Zm,m都都是是独独异异点点。由由定定理理5-3.35-3.3可可知知，这这两两个个运运算算的的运运算算表表中中任任两行
25、或两列都不相等。两行或两列都不相等。现在学习的是第29页，共52页独异点的性质独异点的性质定定理理5-3.45-3.4 设设S,e是是一一个个独独异异点点,如如果果对对于于任意任意a,ba,b S S，且，且a,ba,b均有逆元均有逆元，则，则 a)a)(a(a-1-1)-1-1=a=a b)b)a a b b 有有逆逆元元，且且(a(a b b)-1-1 =b=b-1-1 a a-1-1 。证明证明:a):a)因因a a-1-1和和a a为互为逆元，直接得到结论。为互为逆元，直接得到结论。b)b)必须证明两种情况：必须证明两种情况：(a (a b b)(b b-1-1 a a-1-1)=e=
26、e 和和 (b b-1-1 a a-1-1)(a(a b b)=e)=e 利用结合律容易得出。利用结合律容易得出。现在学习的是第30页，共52页子独异点子独异点定定义义5-3.35-3.3 设设代代数数结结构构S,为为半半群群，若若B B S S且且 在在B B上上封封闭闭，B B含含有有S,关关于于 运运算算的的幺幺元元,那那么么B,称为称为子独异点子独异点，或，或子幺半群。子幺半群。现在学习的是第31页，共52页独异点举例独异点举例 设设是是一一个个非非空空有有限限集集合合，称称为为字字母母表表，由由中中有有限限个个字字母母组组成成的的有有序序集集合合（即即字字符符串串）称称为为上上的的一
27、一个个字字，串串中中的的字字母母个个数数m m称称为为字字长长，m=0m=0时时，称称为为空空字字，即即为为单单位位元元，记记为为e e。表表示示上上的的字字的的集集合合，上上的的连连接接运运算算定定义义为为，=，则则是是一一个个代代数数系系统统，而而且且是是一一个个独独异异点点,是是在在计计算算机机科科学学中中自自动动机机理理论论及及形形式式语语言言中中最最基基本本的的结结构构。的的任任一一子集就称为语言。子集就称为语言。现在学习的是第32页，共52页5-4 5-4 群与子群群与子群定定义义5-4.15-4.1 称称代代数数结结构构G,为为群群(groupsgroups),),如如果果 （1
28、 1）G 中运算中运算 是封闭的；是封闭的；（2 2）G 中运算中运算 是可结合的；是可结合的；（3 3）G 中有幺元中有幺元e e；（4 4）G 中每一元素中每一元素x x都有逆元都有逆元x x-1-1。现在学习的是第33页，共52页群举例群举例例题例题1 1 R=0,60,120,180,240,300,R=0,60,120,180,240,300,*是是R R上上的的二二元元运运算算，a a*b b表表示示先先旋旋转转a a再再旋旋转转b b的的角角度度，并并规规定定旋旋转转360360等等于于原原来来的的状状态态。运运算算表表如如表表5-45-4.1 1所示。验证所示。验证代数结构代数
29、结构R,为群。为群。解题思路：解题思路：需需证证明明R,：（1 1）运运算算*封封闭闭；（2 2）运运算算*是是可可结结合合的的；（3 3）有有幺幺元元0;0;（4 4）每每一一元元素素x x都都有有逆逆元元x x-1-1。现在学习的是第34页，共52页典型的群典型的群1 1、2 2、R,3 3、Z,其其中中Z Z6 6 =0=0，1 1，2 2，3 3，4 4，55，单单位位元元是是0 0；1 1、5 5互互为为逆逆元元，2 2、4 4互互为为逆逆元元，3 3的的逆逆元元为为3 3，0 0的逆元为的逆元为0 0。注注：Z,+不不是是群群，其其不不存存在在幺幺元元，且且每每个个元元素素也也不存
30、在逆元。不存在逆元。而而存存在在幺幺元元，除除0 0以以外外，均均不不存存在在逆逆元元，故其只是半群。故其只是半群。现在学习的是第35页，共52页代数结构总图代数结构总图封闭封闭G,广群广群半群半群独异点独异点群群结合结合含幺含幺可逆可逆 G,广广群群半半群群独异点独异点群群现在学习的是第36页，共52页有限群与无限群有限群与无限群定义定义5-4.25-4.2 设设 G,为一群。若为一群。若G G为无限集，则为无限集，则称称G,为为无限群；无限群；否则，称否则，称G,为为有限群有限群，此时此时G G的元素个数称为的元素个数称为G G的阶的阶,记为记为|G|G|。现在学习的是第37页，共52页有
31、限群举例有限群举例现在学习的是第38页，共52页KleinKlein四元群四元群*eabceeabcaaecbbbceaccbaeKleinKlein四元群四元群:e e为为G G中的单位元；中的单位元；运算是可交换的；运算是可交换的；G G中任何元素的逆元就是中任何元素的逆元就是它自己；它自己；在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中,任何任何两个元素运算的结果都等于另两个元素运算的结果都等于另一个元素。一个元素。现在学习的是第39页，共52页群的性质群的性质11阶数大于阶数大于1 1的群中无零元的群中无零元定定理理5-4.15-4.1 设设G 为为群群，那那么么当当G G ee时时,G
32、 G无零元无零元。证证明明:设设|G|1|G|1 且且群群有有零零元元。那那么么群群中中任任何何元元素素x x G G，都都有有 x x =x x=e e，所所以以，零零元元 就不存在逆元，与就不存在逆元，与G 是群的假设矛盾。是群的假设矛盾。现在学习的是第40页，共52页群的性质群的性质22群方程存在唯一解群方程存在唯一解定定理理5-4.25-4.2 设设G 为为群群，对对于于a,ba,b G G，必必存存在在x x G G，使得关于，使得关于x x的方程的方程a a x xb b有唯一解。有唯一解。证明证明:1 1）先证解存在性；）先证解存在性；设设a a的逆元的逆元a a-1-1，令令x
33、=ax=a-1-1 b b（构造一个解）（构造一个解）a a x x a a(a a-1-1 b)b)（a a a a-1-1）b b e e b b b b 2 2）再证解唯一性）再证解唯一性;若另有解若另有解x x1 1满足满足 a a x x1 1 b b，则，则 x x1 1 （a a-1-1 a a ）*x x1 1 a a-1-1 （a a *x*x1 1）a a-1-1 b b x x现在学习的是第41页，共52页群的性质群的性质33群满足消去律群满足消去律定理定理5-4.35-4.3 设设G 为群，那么，为群，那么，对任意对任意a,x,ya,x,y G G 如如果果 a a x
34、 x=a a y y，则则 x x=y y；（左左乘乘a a-1-1可可证）证）如如果果 x x a a=y y a a，则则 x x=y y 。（右右乘乘a a-1-1可可证）证）现在学习的是第42页，共52页群的性质群的性质44幺元是群中唯一等幂元幺元是群中唯一等幂元定义定义5-4.45-4.4 设设G 为群，如果存在为群，如果存在a a G G，有有a a a=a a=a，则称，则称a a为为等幂元等幂元。定定理理5-4.55-4.5 在在群群G 中中，除除幺幺元元e e之之外外，不不可可能能有任何别的等幂元。有任何别的等幂元。证明证明:因为因为e e e=e e=e ，所以，所以e e
35、是等幂元。是等幂元。现设现设 a a G G，ae ae 且且 a a a=a a=a 则有则有a=ea=e a a =(a a-1-1 a)a)a=aa=a-1-1(a a a)=aa)=a-1-1 a=ea=e 与假与假设设 ae ae 矛盾。矛盾。现在学习的是第43页，共52页子群及子群的性质子群及子群的性质定定义义5-4.5 5-4.5 设设G 为为群群。如如果果S S G G，且且S 为为一一群群，则则称称S 为为G 的的子子群群；若若S S真真包包含含于于G G，则为，则为真子群真子群。定定理理5-4.65-4.6 设设G,为为群群，S,为为G G的的子子群群，那那么么，G,中中的
36、的幺幺元元e e必必定定也也是是S,中中的的幺幺元。元。证证明明:设设G,中中的的幺幺元元为为e1 e1，对对于于任任意意一一个个元元素素 x x S S G,G,必有必有 e1 e1 x=e x=e x x，因为群满足消去律，所以因为群满足消去律，所以 e1=ee1=e。现在学习的是第44页，共52页子群举例子群举例Z 是群，是群，H1=0,2,4,H2=0,1,5,H3=0,3,H1=0,2,4,H2=0,1,5,H3=0,3,问问：H1,是是Z 的的子子群群吗？吗？解：解：H1,+是是Z 的子群；的子群；H2,+不是不是Z 的子群；的子群；（因为运算不封闭）（因为运算不封闭）H3,+是是
37、Z 的子群。的子群。现在学习的是第45页，共52页平凡子群平凡子群定义定义5-4.6 5-4.6 对任何群对任何群G G都存在子群。都存在子群。G G和和ee都是都是G G的子群的子群,称为称为G G的的平凡子群平凡子群。现在学习的是第46页，共52页子群的判定定理子群的判定定理定理定理5-4.75-4.7 设设G,为群，为群，B B为为G G的的非空子集非空子集，如，如果果 B B是一个是一个有限有限集集,那么那么,只要运算只要运算 在在B B上上封闭封闭（即任意（即任意a,ba,b B B有有a*ba*b B)B),B,必定是必定是 的子群。的子群。定理定理5-4.85-4.8 设设为群为
38、群,S S为为G G的的非空子集非空子集,如果如果对于对于任意任意元素元素a,ba,b S S有有abab-1-1 S S,那么那么,必必定是定是 的子群。的子群。现在学习的是第47页，共52页典型子群：生成子群典型子群：生成子群定义定义 设设G G为群为群,aG,aG,令令 H=aH=ak k|kZ|kZ，即，即a a的所有的所有的幂构成的集合的幂构成的集合,则则H H是是G G的子群的子群,称为称为由由a a生成的子生成的子群群,记作记作。例例1 1：整数加群整数加群,由由2 2生成的子群是：生成的子群是：=2k|kZ=2k|kZ例例2 2：群群Z 中中,由由2 2生成的子群是：生成的子群
39、是：2 20 0=0,2=0,21 1=2,2=2,22 2=4,2=4,23 3=0,=0,构成构成,即即 =0,2,4=0,2,4现在学习的是第48页，共52页子群例题子群例题P196P196例题例题5 5：设：设G G是群是群,H,K,H,K是是G G的子群。的子群。证明证明HKHK也是也是G G的子群。的子群。证证 由由eHK eHK 知知 HKHK非空非空。任取任取a,bHKa,bHK,则则aH,aK,bH,bKaH,aK,bH,bK。由于由于H H和和K K是子群是子群,所以所以b b-1-1H,bH,b-1-1KK。又因为群中的运算满足封闭性，所以必有又因为群中的运算满足封闭性，
40、所以必有a*ba*b-1-1HH和和a*ba*b-1-1KK，从而推出，从而推出a*ba*b-1-1HKHK。根据定理根据定理5-4.8,5-4.8,命题得证。命题得证。现在学习的是第49页，共52页练习练习1 1：P197P197（1 1）可可见见，运运算算。封封闭闭以以及及可可结结合合；幺幺元元为为f f1 1；f f1 1、f f2 2、f f3 3、f f6 6均均以以自自身身为为逆逆元元，f f4 4与与f f5 5互为互为逆元逆元。f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f4f3f6f5f3f3f5f1f2f6f5f4f4f6f2f5f1f3f5f5f6f6
41、f1f4f2f6f6f5f4f3f2f1现在学习的是第50页，共52页练习练习2 2：P197P197（2 2）证证 a)a)任意任意a,b,ca,b,c A A，由由 a*b=a*c a*b=a*c 得得 aa*(a*b)=*(a*b)=aa*(a*c)*(a*c)故故 e*b=e*c,e*b=e*c,故故 b=c b=c b)b)任意任意x x A A，xx*(x*e)=e=*(x*e)=e=xx*x*x 故故 x*e=xx*e=x，所以，所以e e是右幺元，是右幺元，所以所以e e是幺元是幺元。又任意又任意x x A A，xx*(x*(x*x)x)=x*e,x*e,故故 x*x*xx=e e，所以所以xx是是x x的右逆元，的右逆元，所以所以xx是是x x的逆元的逆元。故故 是群。是群。现在学习的是第51页，共52页练习练习3 3：P197P197（5 5）证证 任任意意x x A A，要要么么以以自自身身为为逆逆元元，要要么么与与A A中中另另一一元元素素互互为为逆逆元元。因因为为A A的的元元素素个个数数为为偶偶数数，而而A A中中幺幺元元e e唯一，且唯一，且e e以自身为逆元，故命题得证。以自身为逆元，故命题得证。现在学习的是第52页，共52页