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1、引言 在当今的信息学竞赛中，动态规划可以说是一种十分常用的算法。它以其高效性受到大家的青睐。然而，动态规划算法有时也会遇到时间复杂度过高的问题。因此，要想真正用好用活动态规划，对于它的优化方法也是一定要掌握的。本文将就鹰蛋这道题目做较为深入的分析，并从中探讨优化动态规划的本质思想与一般方法。第1页/共45页问题 当鹰蛋从第E层楼及以下楼层落下时是不会碎的，但从第（E+1）层楼及以上楼层向下落时会摔碎。有一堆共M个鹰蛋，一位教授想研究这些鹰蛋的坚硬度E。他是通过不断从一幢N层的楼上向下扔鹰蛋来确定E的。如果鹰蛋未摔碎，还可以继续使用；但如果鹰蛋全碎了却仍未确定E，这显然是一个失败的实验。教授希望
2、实验是成功的。第2页/共45页问题 例如：若鹰蛋从第1层楼落下即摔碎，E=0；若鹰蛋从第N层楼落下仍未碎，E=N。这里假设所有的鹰蛋都具有相同的坚硬度。给定鹰蛋个数M与楼层数N(M,N=1000),求最坏情况下确定E所需要的最少次数。样例：M=1，N=10 ANS=10（解释：只能将这个鹰蛋从下往上依次摔）第3页/共45页算法一 由于是求最优值，我们自然想到了使用动态规划！第4页/共45页算法一状态定义：f(i,j):用i个蛋在j层楼上最坏情况下确定E所需要的最少次数。状态转移：i个鹰蛋 (j-w)层(i-1)个鹰蛋 (w-1)层i个鹰蛋 j层f(i-1,w-1)次f(i,j-w)次第5页/共
3、45页算法一状态定义：f(i,j):用i个蛋在j层楼上最坏情况下确定E所需要的最少次数。状态转移：f(i,j)=minmaxf(i-1,w-1),f(i,j-w)+1|1=w=时，直接输出 即可.算法的时间复杂度立即降为O(N2log2N)第9页/共45页算法二 这里，我们是通过减少状态总数而得到了优化的空间，从而大大提高了算法效率。这也是优化动态规划算法的一种常用方法。然而优化还远未结束！第10页/共45页算法三经观察发现，动态规划函数f(i,j)具有如下单调性：f(i,j)=f(i,j-1)(j=1)这条性质可以用数学归纳法进行证明，这里就从略了。那么，f(i,j)的单调性有什么作用呢？第
4、11页/共45页算法三（如图，令为f(i-1,w-1)的图象，为f(i,j-w)的图象,即为maxf(i-1,w-1),f(i,j-w)+1的图象）第12页/共45页算法三 这样，我们就成功地将状态转移的时间复杂度降为O(log2N)，算法的时间复杂度也随之降为O(N(log2N)2).在对算法三进行研究之后，我们会萌生一个想法：既然现在f(i,j)都需要求出，要想找到更高效的算法就只能从状态转移入手，因为这一步是O(log2N)，仍然不够理想。因此，算法四将以状态转移为切入点，进一步探究优化的空间。第13页/共45页算法四根据这个不等式，我们可以得到如下推理：若存在一个决策w使得f(i,j)
5、=f(i,j-1)，则f(i,j)=f(i,j-1)若所有决策w均不能使f(i,j)=f(i,j-1)，则f(i,j)=f(i,j-1)+1通过进一步挖掘状态转移方程，我们得到如下不等式：f(i,j-1)=f(i,j)=1)第14页/共45页算法四这里，我们设一指针p，并使p时刻满足：f(i,p)=f(i,j-1)-1 且 f(i,p+1)=f(i,j-1)由状态转移方程可知，决策时f(i,p)所对应的函数值是f(i-1,j-p-1).下面，我们将证明只需通过判断f(i,p)与f(i-1,j-p-1)的大小关系便可以决定f(i,j)的取值。第15页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+
6、1j-1第16页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第17页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第18页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第19页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第20页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第21页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第22页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1第23页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1s大于等于j-1(s=j-p-1)第24页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjp+1psj-1第2
7、5页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1sf(i,j)=f(i,j-1)j-1第26页/共45页算法四f(i-1)f(i)jjpp+1s小于f(i-1,s)f(i,p)=f(i,j-1)-1j-1第27页/共45页情况一（pf(i,j-1)大于等于大于大于等于j-1第28页/共45页情况二（p=p)f(i-1)f(i)jjp+1psj-1maxf(i,p),f(i-1,s)+1f(i,j-1)大于第29页/共45页情况三（pp)f(i-1)f(i)jjp+1pspsmaxf(i,p),f(i-1,s)+1f(i,j-1)第30页/共45页算法四 因此，我们只需根据f(i,p)与f(
8、i-1,j-p-1)的大小关系便可直接确定f(i,j)的取值，从而使状态转移成功地降为O(1),算法的时间复杂度降为O(Nlog2N)综上所述，当f(i,p)=f(i-1,j-p-1)时，可以直接得出f(i,j)=f(i,j-1);当f(i,p)=1)状态转移也十分简单。很显然，无论有多少鹰蛋，若只试1次就只能确定一层楼，即g(1,j)=1(j=1)g(i,j)=g(i-1,j-1)+g(i-1,j)+1 (i,j1)第34页/共45页算法五 我们的目标便是找到一个x，使x满足g(x-1,M)=N，答案即为x.这个算法乍一看是O(Nlog2N)的，但实际情况却并非如此。经过观察，我们很快会发现
9、，函数g(i,j)与组合函数C(i,j)有着惊人的相似，而且可以很容易证明对于任意i,j(i,j=1),总有g(i,j)=C(i,j).第35页/共45页算法五 这样，我们可以得到C(x-1,M)=g(x-1,M)N。根据这个式子，我们可以证明运算量(即xM)与 同阶，这里证明从略。因此，我们若在M=1时作特殊判断，就可以使运算量最差与 同阶。第36页/共45页算法五 在新的动态规划模型之下，我们找到了一个比前几种算法都优秀得多的方法。这就提醒我们不要总是拘泥于旧的思路。换个角度来审视问题，往往能收到奇效。倘若我们仅满足于算法四，就不能打开思路，找到更高效的解题方法。可见多角度地看问题对于动态
10、规划的优化也是十分重要的。第37页/共45页总结本文就鹰蛋一题谈了五种性能各异的算法，这里做一比较：O(log2N)O()算法五O(N)O(Nlog2N)算法四O(N)O(N(log2N)2)算法三O(N)O(N2log2N)算法二O(N)O(N3)算法一空间复杂度时间复杂度算法编号第38页/共45页总结 从这张表格中，我们可以很明显地看出优化能显著提高动态规划算法的效率。并且，优化的方法也是多种多样的。这就要求我们在研究问题时必须做到：深入探讨大胆创新永不满足不断改进第39页/共45页总结 在实际问题中，尽管优化手段千变万化，但万变不离其宗，其本质思想都是：二、另辟蹊径，建立新的模型，从而得到更高效的二、另辟蹊径，建立新的模型，从而得到更高效的 算法。算法。一、找到动态规划算法中仍不够完美的部分，进行一、找到动态规划算法中仍不够完美的部分，进行 进进 一步改进；一步改进；第40页/共45页总结而在具体的优化过程中，需要我们做到以下几点：减少状态总数 挖掘动态规划方程的特性 优化状态转移部分建立新的动态规划模型 第41页/共45页结束语优化，再优化，让我们做得更好！第42页/共45页第43页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页