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1、- 1 -第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。2016，全国卷，6,5 分(表面积)2016，全国卷，6,5 分(表面积)2016，全国卷，10,5 分(体积最大值)2016，北京卷，6,5 分(三棱锥体积)2016，浙江卷，14,6 分(体积最大值)本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。微知识 小题练自|主|排|查1几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
2、各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱2r22rl，S锥r2rl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S(rr)2 12 2(r1r2)l。(5)球的表面积为 4R2(球半径是R)。2几何体的体积(1)V柱体Sh。(2)V锥体Sh。1 3(3)V台体 (SS)h，V圆台 (rr1r2r)h，V球 R3(球半径是R)。1 3SS1 32 12 24 3微点提醒 1求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面
3、积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。2求几何体的体积，要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。小|题|快|练- 2 -一 、走进教材1(必修 2P28A 组 T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_。【解析】 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1 abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以1 31 21 21 21 21 481 4847 48V1V2147。【答案】 1472(必修 2P36A 组 T10改编)一直角三角
4、形的三边长分别为 6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为_。【解析】 旋转一周所得几何体为以 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为24 5S68(cm2)。24 524 5336 5【答案】 cm2336 5二、双基查验1(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )- 3 -A20 B24C28 D32【解析】 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r2，底面圆的周长c2r4，圆锥的母线长l4，圆柱的高h4，所以该几222 32何体的表面积S表r2chcl416828。故选 C。1 2【答案】 C
5、2已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )2A12 B36C72 D108【解析】 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为 36，高为 223，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该四棱锥的外接球3 22(12 6)2的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3，所以其外接球的表面积等于43236。故选 B。【答案】 B3表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_。【解析】 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则 rlr23，l2r。解得r1，即直径为 2。【答案】 24(2016北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱
6、柱的体积为_。- 4 -【解析】 通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S ，通过侧视图可知四棱柱的高h1，所以该四棱柱的体积VSh 。12 1 23 23 2【答案】 3 25(2016赤峰模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为 7，则此三棱柱的体积为_。【解析】 如图，设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为 2a，在ODC中，OD2DC2OC2，即a22r2，所以r2，(2 3a3)7a2 3S球表4r2a27，28 3所以a2 ，即a，3 432V三棱柱(2a)22a2a323 。3433(
7、32)9 4【答案】 9 4微考点 大课堂考点一 空间几何体的表面积【典例 1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )- 5 -A82 B11222C142 D152(2)(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是28 3( )A17 B18C20 D28【解析】 (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示。直角梯形斜腰长为，所以底面周长为 4，侧面积121222为 2(4)82，两底面的面积和为 2 1(12)3，所221 2以该几何体的表面积为 823112
8、。故选 B。22(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体，设1 8- 6 -球的半径为r，故 r3，所以r2，表面积S 4r2 r217。故选7 84 328 37 83 4A。【答案】 (1)B (2)A反思归纳 以三视图为载体的几何体表面积的求法1恰当分析给出的三视图。2找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。3注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。【变式训练】 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )A. B.611 211 2C11 D.311 23【解析】 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半。根据图中数据可知这个圆台的
9、上底面半径是 1，下底面半径是 2，高为，母线长是 2，其表面积是两个半圆、圆台3侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S 12 22 (12)2 (24)1 21 21 21 23。故选 D。311 23【答案】 D考点二 空间几何体的体积多维探究角度一：以三视图为背景的体积问题【典例 2】 (2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3。- 7 -【解析】 将三视图还原成直观图如图所示，它由 2 个长方体组合而成，其体积V222432 cm3，表面积为 62462272 cm2。【答案】 72 32角度二：利用割补法、换底法求体积【
10、典例 3】 如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成 45的二面角，AB1，则这个多面体的体积为( )A. B.2233C. D.242【解析】 以正方形ABCD为底面，DD1为棱将题图补成一个正四棱柱ABCDA2B1C2D1，如图所示。截面A1BC1D1与底面ABCD成 45的二面角，原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半。AA1CC1，易知D1BD为截面A1BC1D1与底面ABCD所成的二面角的平面角。D1BD45。AB1，BD，DD1。22正四棱柱ABCDA2B1C2D1的体积V11。22- 8 -所
11、求多面体的体积为。故选 A。22【答案】 A反思归纳 1.分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积。2.补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算。3.换底法：三棱锥换底法通常在高或底面积不好求时使用。4.三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为棱锥的顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解。考点三 与球有关的“切” 、 “接”问题母题发散【典例 4】 已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为(
12、 )A36 B64C144 D256【解析】 如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVCAOB R2RR336，故R6，则球O的表面积为1 31 21 6S4R2144，故选 C。【答案】 C【母题变式】 1.若本典例条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上” ，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的半径。【解析】 设球的半径为R，因为直三棱柱中AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径。取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形
13、BCC1B1的对角线长即为球直径，所以 2R13，即R。1225213 2【答案】 13 22若本典例条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积。【解析】 如图，设球心为O，半径为r，则在 RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r ，则球O的体29 4- 9 -积V球 r3 3。4 34 3(9 4)243 16【答案】 243 16反思归纳 空间几何体与球接、切问题的求解方法1.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。2.若球面上四点P，A，
14、B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解。【拓展变式】 (2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球。若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( )A4 B.9 2C6 D.32 3【解析】 由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ，该球的体积最大，Vmax R3。故选3 24 34 327 89 2B。【答案
15、】 B微考场 新提升1一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为( )A. B.16 332 3C16 D24解析 设球的半径为R，则表面积是 16，即 4R216，解得R2。所以体积为R3。故选 B。4 332 3答案 B2在三角形ABC中，AB3，BC4，ABC90，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为( )A15 B20C30 D40解析 依题意知几何体为底面半径为 3，母线长为 5 的圆锥，所得几何体的侧面积等于- 10 -3515。故选 A。答案 A3如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A9 B10C12 D18解析 由三视图还原出几何体的直观图如图，
16、SD平面ABCD，AB与DC平行，AB2，DC4，AD3，SD3，所求体积V (24)1 31 2339。故选 A。答案 A4(2016四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_。解析 由正视图知，底面三角形是腰长为 2，底边为 2的等腰三角形，三棱锥的高为31，所以该三棱锥的体积V 1。1 3(1 2 2 3 1)33答案 33- 11 -5.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)。若 取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的x为_。解析 由三视图知，
17、商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得(5.4x)312x12.6，解得(1 2)x1.6。答案 1.6微专题 巧突破巧定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是
18、这个多面体的外接球。也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；5若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球- 12 -的表面积是(
19、 )A16 B20 C24 D32【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为2，半径为，球的表面积为 24，故选 C。22224266【答案】 C【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。【变式训练 1】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( )A16 B4 C8 D2【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，
20、则三棱锥的外接球的半径R为 1，则三棱锥的外接球的表面积S4R24，故选 B。【答案】 B二、构造长方体或正方体确定球心1正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；- 13 -4若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体。【典例 2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是3_。【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则可将三棱锥补形
21、成正方体。3从而外接球的直径为 3，半径为 ，故所求外接球的体积V3。3 24 3(3 2)9 2【答案】 9 2【小结】 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为R，则 2R。a2b2c2【变式训练 2】 (2016洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A200 B150C100 D50【解析】 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为 5、4、3，所以其外接球半径R满足 2R5，所以该
22、几何体的4232522外接球的表面积为S4R24250。故选 D。(5 22)【答案】 D三、由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的- 14 -性质，确定球心。【典例 3】 正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为 2，则球O的表3面积为_。【解析】 如图，设三棱锥ABCD的外接球的半径为r，M为正BCD的中心，因为BCCDBD，ABACAD2，AM3平面BCD，所以DM1，AM，又OAODr，所以(r)3321r2，解得r，所以球O的表面积S4r2。2 3316 3【答案】 16 3【小结】 本题是运用公式R2r2d2求球的半径的，
23、该公式是求球的半径的常用公式。本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究。这种等价转化的数学思想方法值得我们深思。【变式训练 3】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1 的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )A. B122C. D.23【解析】 由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为ABC所在圆面的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点。设正方形BCC1B1的边长为x，RtOMC1中，OM ，MC1 ，OC1R1(R为球的半径)，x 2x 2221，即x，则ABAC1，(x 2)(x 2)2S矩形ABB1A11。故选 C。22【答案】 C