《理学傅里叶光学.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理学傅里叶光学.pptx（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、0-1 常用函数常用函数 五五.sinc函数函数(续续)Sinc函数的重要性函数的重要性:数学上数学上,sinc函数和函数和rect函函数互为傅里叶变换数互为傅里叶变换物理上物理上,单一矩形脉冲单一矩形脉冲rect(t)的频谱是的频谱是sinc函数函数;单缝的夫琅和费衍射场单缝的夫琅和费衍射场分布是分布是sinc函数函数xsinc2(x)01-11sinc(x)sinc2(0)=1,S=1与与sinc(x)相比相比,曲线形状不同曲线形状不同,但曲线下面积相同但曲线下面积相同,为什么为什么?二维二维sinc函数函数:sinc(x)sinc(y)sin2(p px)(p px)2附附:sinc2函
2、数函数sinc2(x)=sinc(x)2第第1页页/共共33页页0-1 常用函数常用函数(续续)六、高斯函数六、高斯函数 Gaussian FunctionGaus(0)=1S=1是非常平滑的函数是非常平滑的函数,即即各阶导数均连续各阶导数均连续.Gaus(x)0 x二维情形二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp-p(p(x2+y2)可代表单模激光束的光强分布可代表单模激光束的光强分布Gaus(x)=exp(-p px2)第第2页页/共共33页页0-1 常用函数常用函数(续续)七、圆域函数七、圆域函数 Circular Function定义:circ(r)=circ函数是不可分离变量的
3、二元函数函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率的圆孔的透过率1xy0第第3页页/共共33页页a0第第4页页/共共33页页注意注意以上定义的函数以上定义的函数,其宗量均无量纲其宗量均无量纲.在处理在处理实际问题时实际问题时,要根据所取的单位采用适当的要根据所取的单位采用适当的缩放因子缩放因子.例例:以以 rect(x)代表单缝代表单缝.若若x单位为单位为cm,则则 rect(x)代表宽度为代表宽度为1cm 的单缝的单缝.若若x单位为单位为mm,则则 rect(x/10)代表宽度为代表宽度为1cm 的的单缝单缝.第第5页页/共共33页页0-
4、2 脉冲函数脉冲函数 d d-Function 一、定义一、定义 fn(x)可以是可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二二维圆域函数等等维圆域函数等等.物理系统已无法分辨更物理系统已无法分辨更窄的函数窄的函数定义定义1.定义定义2.基于函数系列的极限基于函数系列的极限:练习练习:画出画出rect(x),10rect(10 x),sinc(x),10sinc(10 x)的示意图的示意图.可描述可描述:单位质量质点的密度单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率
5、单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等等等.第第6页页/共共33页页0-2 脉冲函数脉冲函数 d d-Function 一、定义一、定义(续续)0 xd(x)110 xd(x,y)yd d-函数的图示函数的图示:定义定义3:设任意函数设任意函数f f(x)在在x=0点连续点连续,在有限区在有限区间外为零间外为零,则则d d-函数定义为：函数定义为：f f(x)称为检验函数称为检验函数.第第7页页/共共33页页0-2 d d-函数函数 二、性质二、性质1.筛选性质筛选性质 sifting(由定义由定义3直接可证直接可证)设设f f(x)在在x0点连续点连续,则则证明思路证明思路:二者对检验函数在二者
6、对检验函数在积分中的作用相同积分中的作用相同.(练习练习)推论推论:d d(x)是偶函数是偶函数2.缩放性质缩放性质 scaling与普通函数缩放性质的区别与普通函数缩放性质的区别:普通函数普通函数:因子因子a不影响函数的高度不影响函数的高度,但影响其宽度但影响其宽度d d-函数函数:因子因子a不影响函数的宽度不影响函数的宽度,但影响其高度但影响其高度通过此积分通过此积分,可从可从f f(x)中筛选出单一的中筛选出单一的f f(x0)值值.第第8页页/共共33页页0-2 d d-函数函数 二、性质二、性质(续续)3.乘积性质乘积性质设设f f(x)在在x0点连续点连续,则则:f f(x)d d
7、(x-x0)=f f(x0)d d(x-x0)任意函数与任意函数与d d-函数的乘积函数的乘积,是幅度变化了的是幅度变化了的d d-函数函数练习练习0-4：计算：计算1.sinc(x)d d(x)2.sinc(x)d d(x-0.5)3.sinc(x)d d(x-1)4.(3x+5)d d(x+3)第第9页页/共共33页页0-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)表示沿表示沿 x 轴分布、间隔为轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔为间隔为t t 的
8、脉冲系列的脉冲系列:定义定义:n为整数为整数xcomb(x).01第第10页页/共共33页页0-2 d d-函数函数 三、三、d d-函数函数 的阵列的阵列-梳状函数梳状函数 comb(x)梳状函数与普通函数的乘积梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用利用comb(x)可以对函数可以对函数f(x)进行等间距抽样进行等间距抽样.xy二维梳状函数二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)第第11页页/共共33页页练习练习0-5：已知连续函数：已知连续函数f(x)，若，若x0b0,利用利用d d 函数可筛选出函数在函数可筛选出函数在x=x0+b的
9、值，试写的值，试写出运算式。出运算式。0-6:f(x)为任意连续函数，为任意连续函数，a0,求函数求函数g(x)=f(x)d d(x+a)-)-d d(x-a)并作出示意图。并作出示意图。0-7：已知连续函数：已知连续函数f(x)，a0和和b0。求出。求出下列函数下列函数（写出最简式并画出示意图）（写出最简式并画出示意图）：(1)h(x)=f(x)d d(ax-x0)(2)(2)g(x)=f(x)comb(x-x0)/)/b第第12页页/共共33页页0-2 d d-函数函数 练习练习0-5:0-6:0-7:g(x)=f(x)d d(x+a)-d d(x-a)=f(x)d d(x+a)-f(x)
10、d d(x-a)=f(-a)d d(x+a)-f(a)d d(x-a)h(x)=f(x)d d(ax-x0)作图作图第第13页页/共共33页页0-2 梳状函数梳状函数 练习练习 0-7(2)第第14页页/共共33页页练习练习 0-8 画函数图形画函数图形(1)(2)第第15页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入例题例题方法：用宽度为方法：用宽度为 a 的狭缝对此分布扫描，在的狭缝对此分布扫描，在狭缝后用光电探测器记录。狭缝后用光电探测器记录。求光电探测器的输出函数？求光电探测器的输出函数？x平面上有一光强分布（平面上有一光强分布（例如：例如：f(
11、x)=2+cos(2p pf0 x)），），希望将它测量出来。希望将它测量出来。第第16页页/共共33页页卷积卷积 概念的引入概念的引入探测器输出的光功率分布探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0 x卷积运算卷积运算x第第17页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入(II)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布物体分布成像系统成像系统像平面分布像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果后的结果.需用卷积运算来描述
12、需用卷积运算来描述f(x)成像成像xx x 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)第第18页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution一、概念的引入一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果后的结果.需用卷积运算来描述需用卷积运算来描述f(x x)成像成像xx x 0 x x1 1f(x x 1)h(x-x x 1)x x2 2f(x x 2)h(x-x x 2)f(0 0)h
13、(x)x第第19页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution二、定义二、定义若若f(x)与与h(x)有界且可积有界且可积,定义定义*:卷积符号卷积符号 g(x)是是f(x)与与h(x)两个函数共同作用的结果两个函数共同作用的结果.对于给定的对于给定的x,第第一个函数的贡献是一个函数的贡献是f(x x),则第二个函数的贡献是则第二个函数的贡献是h(x-x x).需要对任需要对任何可能的何可能的x x求和求和.g(x)称为函数称为函数f(x)与与h(x)的卷积的卷积.二维函数的卷积二维函数的卷积:第第20页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方
14、法-借助几何作图借助几何作图th(t)1/5 5 90f(t)1/3 4 6t0f(t)1/3 4 6t0th(-t)1/5 -9 -50 xh(x-t)x-9 x-5t 4 60练习:计算rect(x)*rect(x)9 11 13 15 g(x)x 0 2/151.用哑元用哑元t t 画出函数画出函数f(t t)和和h(t t);2.将将h(t t)折叠成折叠成h(-t t);3.将将h(-t t)移位至给定的移位至给定的x,h-(t t-x)=h(x-t t);4.二者相乘二者相乘;5.乘积函数曲线下面积乘积函数曲线下面积 的值即为的值即为g(x).步骤步骤:第第21页页/共共33页页0
15、-3 卷积卷积 convolution三、计算方法三、计算方法-几何作图法几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-1 0 1 g(x)x 11.用哑元用哑元t t画出画出 二个二个 rect(t t)2.将将rect(t t)折叠后不变折叠后不变;3.将一个将一个rect(-t t)移位至给定的移位至给定的x,rect-(t t-x)=rect(x-t t);4.二者相乘二者相乘;乘积曲线下乘积曲线下面积的值面积的值 即为即为g(x).rect(t)1t -1/20 1/2|x|1;g(x)=0-1 x 0;g(x)=1 x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1;g(x)=1 1
16、/2-(x-1/2)=1-xrect(t)1t -1/20 1/2 x-1/2x x+1/2rect(t)1t -1/20 1/2rect(x)*rect(x)=tri(x)第第22页页/共共33页页卷积卷积 概念的引入：概念的引入：回到前面的例题回到前面的例题探测器输出的光功率分布探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0 xx第第23页页/共共33页页计算这个卷积计算这个卷积:讨论这个结果f(x)=2+cos(2pf0 x)第第24页页/共共33页页练习练习若证明：令 x-x=x证:第第25页页/共共33页页作业作业 0-9若证明：第第26页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolu
17、tion四、性质四、性质1.卷积满足交换律卷积满足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x)=h(x)*f(x)推论推论:卷积是线性运算卷积是线性运算 Linearity av(x)+bw(x)*h(x)=av(x)*h(x)+bw(x)*h(x)2.卷积满足分配律卷积满足分配律 Distributive Property v(x)+w(x)*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*h(x)3.卷积满足结合律卷积满足结合律 Associative Propertyv(x)*w(x)*h(x)=v(x)*h(x)*w(x)=v(x)*w(x)*h(x)第第27页页/共共3
18、3页页0-3 卷积卷积 convolution四、性质四、性质(续续)4.卷积的位移不变性卷积的位移不变性 Shift invariance 若若f(x)*h(x)=g(x),则则 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质卷积的缩放性质 Scaling 若若f(x)*h(x)=g(x),则则 第第28页页/共共33页页0-3 卷积卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与即任意函数与d d(x)卷积后不变卷积后不变根据根据 1.d d-函数是偶函数函数是偶函数,2.d d-函数的筛选性质函
19、数的筛选性质,有有:任意函数与脉冲函数卷积的结果任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平是将该函数平移到脉冲所在的位置移到脉冲所在的位置.f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形的函数波形,用于描述各种重复性的结构用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得利用卷积的位移不变性可得:第第29页页/共共33页页作业作业0-10.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为透过率。假定缝宽为a，光栅常数为，光栅常数为d，缝数为，缝
20、数为N.0-11.利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p p位位相板，透过率怎样变化？相板，透过率怎样变化？ldxy(透透 过率过率=输出输出/输入输入)第第30页页/共共33页页利用卷积性质求卷积的例子利用卷积性质求卷积的例子 作业作业 0-12：用图解表示下面两个函数卷积的运算过程用图解表示下面两个函数卷积的运算过程 f(x)*h(x)若要求写出解析运算式若要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成写成 tri(x)的平移式的平移式h(x)=?+?写成写成d d(x)的平移式的平移式利用卷积的线性性质利用卷积的线性性质利用利用d d函数函数的卷积性质的卷积性质利用卷积的平移性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0？第第31页页/共共33页页作业作业:0-11（解）（解）*=ldxyt(x,y)d(x+d/2)+d(x-d/2)=*p p 位相板位相板:输出输出=输入输入 exp(jp p),即即:透过率透过率=exp(jp p)=-1d(x+d/2-d(x-d/2)t(x,y)=*若右边园孔上加若右边园孔上加p p 位相板位相板,则则x0dlxyy第第32页页/共共33页页感谢观看！感谢观看！第第33页页/共共33页页