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1、1.概述 朱伯芳有限单元法原理与应用：有限单元法是在六七十年代发展起来的强有力的数值分析方法，它使许多复杂的工程问题迎刃而解，而且由于前后处理技术的发展，计算效率非常高，实际应用越来越广泛。有限元（有限元（Finite Element Method Finite Element Method Finite Element Modelling-FEM Finite Element Modelling-FEM Finite Element Analysis FEA)一、有限元简介 第1页/共100页1.1.概述 有限元方法可以用来求解多种问题：这里应力变形问题有限元方法可以用来求解多种问题：这里应
2、力变形问题有限元方法把系统（结构）看作是由无限多个单元组成的有限元方法把系统（结构）看作是由无限多个单元组成的连续体连续体，在解这一连续，在解这一连续体时将连续体离散化，然后将物理方程、平衡方程、几何方程结合起来，变换为体时将连续体离散化，然后将物理方程、平衡方程、几何方程结合起来，变换为求解线性方程组问题。求解线性方程组问题。单元与单元之间只通过结点连接单元与单元之间只通过结点连接有限元分析可概括为六个步：有限元分析可概括为六个步：有限元基本思想 第2页/共100页1.1.概述 物理方程物理方程有限元基本思想 平衡方程平衡方程几何方程几何方程最终建立外荷载与位移之间的关系最终建立外荷载与位移
3、之间的关系第3页/共100页1.1.概述 有限元分析可概括为六步：有限元分析可概括为六步：1.1.结构的离散化：结构的离散化：将分析结构系统划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设将分析结构系统划分成有限个单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替原来的结构。一般情况，单元划分越细则表述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计构。一般情况，单元划分越细则表述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大。算量越大。2.2.选择位移模式：选择位移模式：位移模式，就可导出用节点位移表
4、示单元内任意点位移位移模式，就可导出用节点位移表示单元内任意点位移 有限元基本思想 第4页/共100页1.1.概述 3.3.建立单元结点力和结点位移之间的关系建立单元结点力和结点位移之间的关系有限元基本思想 第5页/共100页1.1.概述 4.4.计算结点荷载计算结点荷载(包括集中力、面力、体积力包括集中力、面力、体积力)5.5.集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程有限元基本思想 6.6.方程组求解方程组求解第6页/共100页（11）用离散结构代替原结构：离散结构由许多）用离散结构代替原结构：离散结构由许多单元体组成，各单元只在结点处有力
5、的联系。单元体组成，各单元只在结点处有力的联系。（22）荷载简化到结点上，）荷载简化到结点上，RR（33）由由ssDKDK（44）解线性方程组解线性方程组 K=RK=R（55）由位移由位移应变应变应力应力ss（66）对非线性问题，需重复（对非线性问题，需重复（33）-（66）步。）步。有限元基本步骤 非线性：材料非线性与几何非线性非线性：材料非线性与几何非线性第7页/共100页1.1.概述（11）平面（应力、应变）有限元：三结点、四结点、）平面（应力、应变）有限元：三结点、四结点、66结点、结点、88结点结点（22）轴对称有限元）轴对称有限元(本质上是二维问题本质上是二维问题本质上是二维问题本
6、质上是二维问题)（33）三维有限元三维有限元有限元类型 （11）总应力法）总应力法（22）有效应力法）有效应力法第8页/共100页二、有限单元法（FEMFEM）的优点及应用情况 可用于非均质问题，多层土、多种材料、多区域；可用于非均质问题，多层土、多种材料、多区域；可用于非线性材料，各向异性材料；可用于非线性材料，各向异性材料；可适应复杂边界条件；可适应复杂边界条件；可用于各种类型的问题：应力变形、渗流、固结、流变、可用于各种类型的问题：应力变形、渗流、固结、流变、湿化变形、动力、温度问题等。湿化变形、动力、温度问题等。优点：优点：缺点：缺点：单元形态对计算结果影响较大；单元形态对计算结果影响
7、较大；计算比较复杂、麻烦；计算模型、参数对结果影响大；计算比较复杂、麻烦；计算模型、参数对结果影响大；非连续性问题困难；非连续性问题困难；第9页/共100页岩土工程正是存在上述问题，因此，有限元得到了广泛地应用。在水利工程中常见岩土工程正是存在上述问题，因此，有限元得到了广泛地应用。在水利工程中常见的是土石坝，随着筑坝技术的不断提高，土石坝已经向的是土石坝，随着筑坝技术的不断提高，土石坝已经向300300米级高坝发展。米级高坝发展。高土石高土石坝坝一般不是均质坝，如有心墙、砼防渗墙、砼面板，墙、板等的受力与土体变形是一般不是均质坝，如有心墙、砼防渗墙、砼面板，墙、板等的受力与土体变形是联系在一
8、起的，相互作用，相互影响，联系在一起的，相互作用，相互影响，基坑的支护问题基坑的支护问题，边坡稳定问题，地下洞室，边坡稳定问题，地下洞室，地基基础，隧道盾构施工等地基基础，隧道盾构施工等。材料本身不是弹性材料，边界条件十分复杂，解析解是不可能的。只有依靠数值解。可用于各种类型的问题：应力变形、渗流、固结、流变、湿化变形、动力、温度问题等第10页/共100页对岩土体进行应力变形（应力应变）有限元分析的目的：了解整个结构的位移场和应力场，从而，位移的分布、大小，应力集中的部了解整个结构的位移场和应力场，从而，位移的分布、大小，应力集中的部位，位，塑性区塑性区的大小、范围，为设计及采取相应措施提供依
9、据。的大小、范围，为设计及采取相应措施提供依据。塑性区：强度问题，有限元精度较差；尤其剪切带等塑性区：强度问题，有限元精度较差；尤其剪切带等 又如边坡稳定问题又如边坡稳定问题第11页/共100页例一：砼面板坝 土与结构的相互作用问题？土与结构的相互作用问题？面板是受拉？受压？（顺坡向）面板是受拉？受压？（顺坡向）面板哪些部位受压？面板哪些部位受压？面板哪些部位受拉？面板哪些部位受拉？上游立视第12页/共100页例二：土质心墙堆石坝 糯扎渡、双江口糯扎渡、双江口拱效应拱效应第13页/共100页例三：三峡二期围堰例三：三峡二期围堰一道？一道？塑性混凝土？塑性混凝土？第14页/共100页例四：基坑工
10、程例四：基坑工程开挖问题开挖问题第15页/共100页例五：基础工程例五：基础工程第16页/共100页例六：地基沉降例六：地基沉降路基变形问题路基变形问题第17页/共100页例七：边坡工程例七：边坡工程11、有限元极限平衡法：、有限元极限平衡法：利用有限元计算得到的应力场，认为沿某假定的滑动面达利用有限元计算得到的应力场，认为沿某假定的滑动面达到极限平衡状态时稳定安全系数为到极限平衡状态时稳定安全系数为11，并定义：，并定义：FsFsttff/tt。22、强度折减法：、强度折减法：cc、tantanff作折减后分别进行有限元计算，依据计算得到的位移场等作折减后分别进行有限元计算，依据计算得到的位
11、移场等进行稳定性判定进行稳定性判定33、容重增加法：、容重增加法：第18页/共100页例八：地下洞室例八：地下洞室洞室开挖的变形、洞室开挖的变形、稳定稳定盾构施工、地下空间盾构施工、地下空间但是，有限元对动态过程的模拟能力很有限但是，有限元对动态过程的模拟能力很有限第19页/共100页例八：地下洞室例八：地下洞室盾构施工盾构施工第20页/共100页例八：地下洞室例八：地下洞室盾构施工盾构施工第21页/共100页第二章 土体应力计算土工有限元需特殊处理的问题：土工有限元需特殊处理的问题：（11）本构关系选用，模型参数的确定；）本构关系选用，模型参数的确定；（22）计算方法：非线性分析方法、特殊问
12、题（单元破坏、湿化、）计算方法：非线性分析方法、特殊问题（单元破坏、湿化、分期施分期施工工、接触问题）的处理。、接触问题）的处理。非常重要：要注意岩土体的特殊性非常重要：要注意岩土体的特殊性第22页/共100页有限元计算分析：总应力法和有效应力法；都有线弹性和非线性分析之分。有限元计算分析：总应力法和有效应力法；都有线弹性和非线性分析之分。对透水性强的地基或土工建筑物，可用总应力法进行计算；但由于该法较简单，也对透水性强的地基或土工建筑物，可用总应力法进行计算；但由于该法较简单，也常用于分析饱和粘土的应力变形。常用于分析饱和粘土的应力变形。一般情况下，饱和粘土地基或土工建筑物，较严密的方法为有
13、效应力法。一般情况下，饱和粘土地基或土工建筑物，较严密的方法为有效应力法。第23页/共100页2.2.非线性分析方法（11）用离散结构代替原结构）用离散结构代替原结构离散结构由许多单元体组成，各单元只在结点处有力的联系。离散结构由许多单元体组成，各单元只在结点处有力的联系。（22）荷载简化到结点上，）荷载简化到结点上，RR（33）由由ss DKDK（44）解线性方程组解线性方程组 K=RK=R（55）由位移由位移应变应变应力应力（66）对非线性问题，需重复（对非线性问题，需重复（33）-（66）步。）步。一、有限元基本步骤 第24页/共100页土体在未达到其极限状态之前的使用荷载作用下，应力水
14、平较低，可以近似当作土体在未达到其极限状态之前的使用荷载作用下，应力水平较低，可以近似当作线性弹性体看待。对有些土，即使应力水平较低，应力应变关系也具有明显非线线性弹性体看待。对有些土，即使应力水平较低，应力应变关系也具有明显非线性，这时，应进行非线性分析。性，这时，应进行非线性分析。对于非线性材料：对于非线性材料：试验确定试验确定非线性的应力应变关系，即本构关系非线性的应力应变关系，即本构关系 第25页/共100页应力应变关系非线性表现为有限元中荷载应力应变关系非线性表现为有限元中荷载与变形的非线性，与变形的非线性，RR非线性；非线性；非线性问题包括物理非线性（材料非线性）和几何非线性（大应
15、变）。物非线性问题包括物理非线性（材料非线性）和几何非线性（大应变）。物理非线性是指土的本构关系是非线性的，而应变与位移的关系是线性的；理非线性是指土的本构关系是非线性的，而应变与位移的关系是线性的；土体在荷载作用下的位移与其几何尺度相比很小，因而在求出位移场后，土体在荷载作用下的位移与其几何尺度相比很小，因而在求出位移场后，可以用某单元原来的尺寸计算应力场。土力学中大多数问题属于物理非线可以用某单元原来的尺寸计算应力场。土力学中大多数问题属于物理非线性范畴。几何非线性表示单元体的几何性状的有限变化，将引起位移很大性范畴。几何非线性表示单元体的几何性状的有限变化，将引起位移很大的变化。应变与位
16、移的关系不再是线性的。除非象泥炭或吹填土等的应变的变化。应变与位移的关系不再是线性的。除非象泥炭或吹填土等的应变量达到量达到3030以上，否则一般不需要作几何非线性分析。以上，否则一般不需要作几何非线性分析。第26页/共100页 在有限元计算中，实现这种非线性的方法是迭代法、增量法或增量迭在有限元计算中，实现这种非线性的方法是迭代法、增量法或增量迭代法。代法。求解非线性问题的关键在于确定能反映土体变形特性的本构关系，并求解非线性问题的关键在于确定能反映土体变形特性的本构关系，并合理准确地确定模型参数。合理准确地确定模型参数。第27页/共100页迭代是指一系列逼近正确解的递推计算。每次迭代中，土
17、体受全部荷载的作迭代是指一系列逼近正确解的递推计算。每次迭代中，土体受全部荷载的作用，因此，又称为全量迭代法、直接迭代法。用，因此，又称为全量迭代法、直接迭代法。二、迭代法二、迭代法 第28页/共100页每一步迭代相当于进行一次线性分析。每一步迭代相当于进行一次线性分析。首先，根据弹模、泊松比（割线方法确定）形成首先，根据弹模、泊松比（割线方法确定）形成DKDK解出位移、应解出位移、应变、应力，再确定新的弹模、泊松比变、应力，再确定新的弹模、泊松比。由应力求割线模量、泊松比：如三轴试验的应力应变关系直接求。不需由应力求割线模量、泊松比：如三轴试验的应力应变关系直接求。不需要本构模型要本构模型L
18、L次迭代次迭代（11）L-1L-1 非线性非线性 L-1L-1 （22）EEsLsL、VVsLsLDDLL （33）KKLL （44）KKLLLL=R=R （55）LLLLLL（一）、割线迭代法（一）、割线迭代法 第29页/共100页余量迭代法是先将总荷载施加于结构作一次有限元计算，解得的应余量迭代法是先将总荷载施加于结构作一次有限元计算，解得的应变在非线性关系上所对应的应力一般地与外荷载是不平衡的。则从变在非线性关系上所对应的应力一般地与外荷载是不平衡的。则从总荷载中扣除计算应力所平衡了的那部分荷载，仅将剩余荷载施加总荷载中扣除计算应力所平衡了的那部分荷载，仅将剩余荷载施加于结构作迭代计算。
19、于结构作迭代计算。11、切线迭代；、切线迭代；2 2、常劲度迭代、常劲度迭代（二）、余量迭代法（二）、余量迭代法 第30页/共100页11、切线迭代；、切线迭代；首先，根据假定的初始应力求首先，根据假定的初始应力求EtEt、VtVt或者直接由弹塑性模型求或者直接由弹塑性模型求DKDK位移、应变、应力位移、应变、应力LL次迭代次迭代（11）L-1L-1EEtt、VVttDDLL（22）DDLLKKLL（33）L-1L-1FFL-1L-1RRL-1L-1（44）DDRRLL=R=RLL-R-RL-1L-1（55）KKDDLL=DDRRLL（66）DDLLDDLLLL=L-1L-1+DDLL（77）
20、LL由非线性关系由非线性关系LL（二）、余量迭代法（二）、余量迭代法 第31页/共100页22、常劲度迭代、常劲度迭代直接用初始模量、或直接假定的弹性常数直接用初始模量、或直接假定的弹性常数LL次迭代次迭代（11）L-1L-1EEtt、VVttDDLL（22）DDLLKKLL（33）L-1L-1FFL-1L-1RRL-1L-1（44）DDRRLL=R=RLL-R-RL-1L-1（55）KKDDLL=DDRRLL（66）DDLLDDLLLL=L-1L-1+DDLL（77）LL由非线性关系由非线性关系LL（二）、余量迭代法（二）、余量迭代法 第32页/共100页将非线性的将非线性的关系用初应力关系
21、用初应力00的变化来实现。的变化来实现。（三）、初应力迭代法（三）、初应力迭代法 用初应力法迭代求解非线性方程组实际上就是设想有一个初应力用初应力法迭代求解非线性方程组实际上就是设想有一个初应力00，使其，使其非线性的应力应变关系非线性的应力应变关系与线性的应力应变关系与线性的应力应变关系00等效等效（如图）。其中，（如图）。其中，为弹性应力。事实上，前一种关系式是真实的，为弹性应力。事实上，前一种关系式是真实的，而后一种线性关系式是假想的，只有将而后一种线性关系式是假想的，只有将00调整到适当值时，两者才能等效。调整到适当值时，两者才能等效。调整调整00使得非线性方程组得到求解的方法即初应力
22、迭代法。使得非线性方程组得到求解的方法即初应力迭代法。第33页/共100页（三）、初应力迭代法（三）、初应力迭代法 第34页/共100页将非线性的将非线性的关系用初应力关系用初应力00的变化来实现。的变化来实现。（三）、初应力迭代法（三）、初应力迭代法 步骤：（步骤：（LL次）次）(1)(1)求初应力求初应力(2)(2)求求，(3)(3)求求(4)(4)由由可求可求LL，从而求出从而求出和和（由非（由非线性的线性的求）求）(5)(5)由由求求，；(6)(6)比较比较与与，直至两者接近，否则，重复（直至两者接近，否则，重复（11）（）（66）弹性应力弹性应力非线性性非线性性应力应力第35页/共1
23、00页将非线性的将非线性的关系用初应力关系用初应力00的变化来实现。的变化来实现。（三）、初应力迭代法（三）、初应力迭代法 弹性应力弹性应力非线性性非线性性应力应力弹性应力弹性应力第36页/共100页22、初应变法、初应变法用初始应力用初始应力00确定初始确定初始DD11KK11，K=RK=R解得解得111111*11DD（弹性应力）；再根据弹性应力）；再根据11由非线性应力由非线性应力应变关系可求得应变关系可求得11。第37页/共100页22、初应变法、初应变法步骤：（步骤：（LL次）次）(1)(1)求初应力求初应力(2)(2)求求，(3)(3)求求(4)(4)由由可求可求LL，从而求出从而
24、求出和和（由非线性的（由非线性的求）求）(5)(5)由由求求，；(6)(6)比较比较与与，直至两者接近，否则，重复直至两者接近，否则，重复（11）（）（66）。）。第38页/共100页前面介绍的方法都是荷载施加到结构，引起应力和变形。实际上，对土工结构，前面介绍的方法都是荷载施加到结构，引起应力和变形。实际上，对土工结构，除了荷载因素引起结构变形外，温度、蠕变、湿化（湿陷）等因素也可引起结构除了荷载因素引起结构变形外，温度、蠕变、湿化（湿陷）等因素也可引起结构的变形。这时，一般采用的变形。这时，一般采用“初应变初应变”法迭代求解结构变形与应力场。而把这种非法迭代求解结构变形与应力场。而把这种非
25、荷载因素引起的结构应变称为荷载因素引起的结构应变称为“初应变初应变”。求初应变：如蠕变，要使结构产生这么大应变，应施加的荷载：求初应变：如蠕变，要使结构产生这么大应变，应施加的荷载：第39页/共100页 实际外实际外荷载荷载流变问题有限元 第40页/共100页11、试验方法、试验方法22、理论方法（如邓肯张模型）、理论方法（如邓肯张模型）（五）真实应力应变关系的确定（五）真实应力应变关系的确定 第41页/共100页迭代法困难：迭代法困难：要有全量的要有全量的关系（有唯一性）才能进行，不能反映应力路径影关系（有唯一性）才能进行，不能反映应力路径影响，试验是在特定的应力路径下进行，响，试验是在特定
26、的应力路径下进行，曲线不能作为迭代收敛的依据。曲线不能作为迭代收敛的依据。再说试验曲线是轴对称试样再说试验曲线是轴对称试样关系，与平面、三维情况不同。关系，与平面、三维情况不同。第42页/共100页增量法是将全荷载分为若干级微小增量，逐级用有限元法进行计算。对于每一增量法是将全荷载分为若干级微小增量，逐级用有限元法进行计算。对于每一级增量，在计算示级增量，在计算示（一）基本增量法（一）基本增量法 荷载分成若干级荷载分成若干级 三三 增量法增量法 第43页/共100页（一）基本增量法（一）基本增量法 步骤：步骤：（11）L-1L-1DDLL （22）DDLLKKLL （33）KKLLLL=R=R
27、LL （44）（55）求求=，=，=三三 增量法增量法 第44页/共100页（二）中点增量法二）中点增量法 对每级荷载先用基本增量作一次试算，得出应力后，求该级平均应力，对每级荷载先用基本增量作一次试算，得出应力后，求该级平均应力，用平均应力对应的用平均应力对应的EE、vv作一次修正计算，作为结果。作一次修正计算，作为结果。LL级增量的步骤：级增量的步骤：(1)(1)(5)(5)同基本增量法同基本增量法 (6)(6)LL=(=(L-1L-1+LL)/2)/2 (7)(7)LLDDLLKKLL (8)K (8)KLLLL=R=RLL (9)(9)由由 (10)=(10)=，=，=第45页/共10
28、0页(三三)增量迭代法增量迭代法对每一级增量对每一级增量,用某一种迭代法计算多次用某一种迭代法计算多次,直至收敛。可用常劲度迭代法直至收敛。可用常劲度迭代法.也可将中点增量法重复多次。也可将中点增量法重复多次。第46页/共100页四、弹塑性计算四、弹塑性计算 用增量法计算用增量法计算 关键先要判断加、卸载关键先要判断加、卸载 加载加载DDepep 卸载卸载DD 1 1判别所依据的应力状态判别所依据的应力状态 （11）依据前一级到本级的变化）依据前一级到本级的变化 依据前一级初始应力变化到本级初始应力，实际上依据前依据前一级初始应力变化到本级初始应力，实际上依据前级初始与终了两个应力状态来判别（
29、可用基本增量法）。级初始与终了两个应力状态来判别（可用基本增量法）。（22）依据本级初始与终了应力状态的变化）依据本级初始与终了应力状态的变化 必须先作一次试算，近似确定本级终了应力状态，才可确定正必须先作一次试算，近似确定本级终了应力状态，才可确定正式计算用加载公式还是卸载公式。（中点增量法）式计算用加载公式还是卸载公式。（中点增量法）第47页/共100页 2 2由应力状态变化确定加、卸载存在三种可能：由应力状态变化确定加、卸载存在三种可能：（11）在屈服面以内）在屈服面以内 用用DD （22）在屈服面以外在屈服面以外 用用DDepep （33）由以内到以外由以内到以外 a.a.对整个当前荷
30、载增量，对该单元都用对整个当前荷载增量，对该单元都用DDepep b.b.将其分成两段，分别用将其分成两段，分别用DD和和DDepep BF BFDD FE FEDDepep第48页/共100页 BB：00 E E：=00+BF+BF：BEBE：=可以利用三个状态的屈服函数；来确定可以利用三个状态的屈服函数；来确定FF：=00+aa 其中，其中，EE点应力点应力由第一次试算得到由第一次试算得到第49页/共100页33中点增量法弹塑性计算中点增量法弹塑性计算对某一级荷载增量对某一级荷载增量（11）由初始应力状态作一次弹性计算）由初始应力状态作一次弹性计算（22）判别）判别是加载还是卸载？是加载还
31、是卸载？（33）作第二次计算（可以用初应力法或中点增量法）作第二次计算（可以用初应力法或中点增量法）卸载，用卸载，用DD全加载，全加载，部分加载部分加载（11OCR1挤压，甚至达挤压，甚至达4.04.0。KK001.01.0第72页/共100页（二）群桩（二）群桩1.1.简化为二维问题简化为二维问题桩桩板桩板桩2.2.半解析元法半解析元法在在yy向用级数展开，以反映材料的变化和应力、变形的变化及向用级数展开，以反映材料的变化和应力、变形的变化及xzxz向有限向有限元数值解。元数值解。3.3.三维有限元法三维有限元法单元、结点太多：大体积单元、结点太多：大体积群桩承台模拟：变刚度群桩承台模拟：变
32、刚度随着计算机容量、速度的提高，也不成问题。随着计算机容量、速度的提高，也不成问题。第73页/共100页五、土坝浸水变形 蓄水对坝的作用蓄水对坝的作用：（11）水压力）水压力作用于心墙，面力或渗流力作用于心墙，面力或渗流力（22）浮托力）浮托力作用于上游坝壳作用于上游坝壳（33）湿化变形）湿化变形土颗粒重新调整位置，体积缩小土颗粒重新调整位置，体积缩小第74页/共100页11、湿化试验湿化试验（11）直接法（单线法）：）直接法（单线法）：干干湿（对于给定的应力状态）湿（对于给定的应力状态）优点：反映了由干到湿的过程对变形的影响。优点：反映了由干到湿的过程对变形的影响。缺点：缺点：不能反映应力路
33、径的影响，试验工作量大；不能反映应力路径的影响，试验工作量大；由由和和转为应变分量还要作假定；转为应变分量还要作假定；轴对称试样的湿化变形与平面应变有差异。轴对称试样的湿化变形与平面应变有差异。第75页/共100页（22）间接法（双线法）：）间接法（双线法）：分别作干样和湿样的变形分别作干样和湿样的变形试验。试验。干：干：确定邓肯模型参数确定邓肯模型参数湿：湿：确定邓肯模型参数确定邓肯模型参数假定湿化变形假定湿化变形缺点：作了上假定，没有反映湿化过程。这一假定缺点：作了上假定，没有反映湿化过程。这一假定不一定合理，也许宜作修正。目前看来，大部分试不一定合理，也许宜作修正。目前看来，大部分试验资
34、料表明，这样得到的湿化变形偏小；验资料表明，这样得到的湿化变形偏小；优点：试验工作量小；不必进行总应变与应变分量优点：试验工作量小；不必进行总应变与应变分量的转换。的转换。第76页/共100页22、计算、计算（11）假定结点位移限制，求应力改变量）假定结点位移限制，求应力改变量用直接试验资料（单线法）用直接试验资料（单线法）由由用间接法用间接法分成若干增量分成若干增量假定应变同干态，假定应变同干态，则用湿态应力应则用湿态应力应变关系得到的应变关系得到的应力比原力比原ss小小需将主应变分量需将主应变分量转换为各应变分转换为各应变分量，还需假定中量，还需假定中主应变增量主应变增量第77页/共100
35、页将主应变分量转将主应变分量转换为各应变分量换为各应变分量lxlx，ly,lzly,lz分别为分别为ss11与与x,y,zx,y,z轴的方向余弦轴的方向余弦第78页/共100页（22）相应结点力：）相应结点力：（33）将）将与浮力、水压力对应的与浮力、水压力对应的RR相加，作为外载，解有限相加，作为外载，解有限元方程得：元方程得：（44）得结果应力）得结果应力第79页/共100页六、单元破坏的处理为什么要应力修正？为什么要应力修正？修正原则：莫尔库仑破坏准则修正原则：莫尔库仑破坏准则或其它破坏准则或其它破坏准则第80页/共100页六、单元破坏的处理三维有限元计算中的应力修正：三维有限元计算中的
36、应力修正：11、修正原则：莫尔库仑破坏准则；、修正原则：莫尔库仑破坏准则；22、修正方法：、修正方法：(1)(1)、假定修正前后大主应力不变，同时假定、假定修正前后大主应力不变，同时假定bb(2233)/)/(1133)或或uuss(2(2221133)/)/(1133)不变，主应力方向不变；不变，主应力方向不变；11*=*=11；莫尔库仑准则莫尔库仑准则33*；bb22*xx、yy、zz、xyxy、yzyz、xzxzll11、mm11、nn11、ll22、mm22、nn22、ll33、mm33、nn33xx*、yy*、zz*、xyxy*、yzyz*、xzxz*(2)(2)、假定修正前后、假定
37、修正前后(1133)/2)/2不变，同时假定不变，同时假定bb(2233)/)/(1133)或或uuss(2(222221133)/)/(1133)不变，主应力方向不变；不变，主应力方向不变；第81页/共100页六、单元破坏的处理1.1.拉裂破坏拉裂破坏令令（11）假定）假定，且主应，且主应力方向不变力方向不变第82页/共100页六、单元破坏的处理（22）假定）假定不变，且主应力方不变，且主应力方向不变向不变令令第83页/共100页2.2.剪切破坏剪切破坏（11）假定）假定不变不变，且主应，且主应力方向不变力方向不变土工原理土工原理中有错中有错第84页/共100页（22）假定）假定不变不变，且
38、主应力方向，且主应力方向不变不变令令应力迁移问题：应力迁移问题：第85页/共100页5 5 固结有限元（一）（一）BiotBiot固结方程固结方程1.1.平衡方程平衡方程第86页/共100页 2.2.连续性方程连续性方程第87页/共100页（二）有限元方程（二）有限元方程1.1.平衡方程平衡方程第88页/共100页 2.2.连续连续加权余量法加权余量法取近似解取近似解近似解代入分式，不为近似解代入分式，不为00，出现余量。，出现余量。令余量乘以其中权函数后，在单元内积分为令余量乘以其中权函数后，在单元内积分为00，可作出，可作出应服从的关应服从的关系式，取权函数为系式，取权函数为NNii（x,
39、yx,y）。）。第89页/共100页 差分差分第90页/共100页 方程右端：方程右端：格林公式：格林公式：第91页/共100页 3.3.总体方程总体方程对一个结点，对一个结点，K-K-劲度矩阵；劲度矩阵；KK结点孔压所对应的结点力结点孔压所对应的结点力RtRt前一时间段末已经平衡的荷载前一时间段末已经平衡的荷载第92页/共100页 方程应用方程应用11、初始条件初始条件初始孔压、初始位移初始孔压、初始位移22、边界条件、边界条件位移边界、孔压边界位移边界、孔压边界（11）透水边界：孔压已知）透水边界：孔压已知（22）不透水边界（与内部结点一样处理，土层向外延伸被截取的）不透水边界（与内部结点
40、一样处理，土层向外延伸被截取的边界一般作此种边界）边界一般作此种边界）5 5 固结有限元 第93页/共100页 二、时间步长选取与解的稳定性二、时间步长选取与解的稳定性tt太小，解易不稳定；太小，解易不稳定；tt太大，误差大；太大，误差大；固结后期，固结后期，tt可以适当增大可以适当增大5 5 固结有限元 在用有限元法进行固结计算时，如果时间步长选取太小，计算可能不稳定。在用有限元法进行固结计算时，如果时间步长选取太小，计算可能不稳定。然而，在流变问题的有限元分析中，时间步长不宜太大，否则，计算可能不然而，在流变问题的有限元分析中，时间步长不宜太大，否则，计算可能不稳定，尤其对于流变初期非线性
41、表现强烈的模型。因此，对于考虑固结的流稳定，尤其对于流变初期非线性表现强烈的模型。因此，对于考虑固结的流变分析，时间步长的合理确定非常重要。变分析，时间步长的合理确定非常重要。第94页/共100页 5 5 固结有限元 单元形态：单元形态：NishizakiNishizaki研究了单元形态：位移研究了单元形态：位移单元形态对有限元计算结果影响较大单元形态对有限元计算结果影响较大第95页/共100页 三、砂井地基的平面简化三、砂井地基的平面简化11、砂墙砂墙墙与墙之间墙与墙之间22层以上单元层以上单元22、排水结点、排水结点真空荷载？边界负孔压真空荷载？边界负孔压5 5 固结有限元 第96页/共1
42、00页 一、一、11、22、6 6 流变问题有限元 第97页/共100页 6 6 有限元在边坡稳定分析中的应用11、有限元极限平衡法：、有限元极限平衡法：利用有限元计算得到的应力场，认为沿某假利用有限元计算得到的应力场，认为沿某假定的滑动面达到极限平衡状态时稳定安全系数为定的滑动面达到极限平衡状态时稳定安全系数为11，并定义：，并定义：FsFsttff/tt。22、强度折减法：、强度折减法：cc、tantanff作折减后分别进行有限元计算，依据计算作折减后分别进行有限元计算，依据计算得到的位移场等进行稳定性判定得到的位移场等进行稳定性判定33、容重增加法：、容重增加法：第98页/共100页 一、极限平衡方法一、极限平衡方法二、强度折减法二、强度折减法常见常见22种判定准则：位移、有限元迭代收敛种判定准则：位移、有限元迭代收敛三、容重增加法（不理想）三、容重增加法（不理想）6 6 有限元在边坡稳定分析中的应用第99页/共100页感谢您的观看！第100页/共100页