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1、引入引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。分布规律用密度函数（曲线）描述。第1页/共31页复习100个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.355
2、25.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距第2页/共31页复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距第3页/共31页复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线第4页/共31页复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线第5页/共31页高尔顿钉板试验 高尔顿板实验导入导入第6页/共31页以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.1 1编号频率/组距2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
3、 7 8 8 9 910101111知识回放第7页/共31页总体密度曲线0YX第8页/共31页导入导入产品尺寸的总体密度曲线产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：就是或近似地是以下函数的图象：1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线第9页/共31页cdab平均数XY 若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率为:第10页/共31页2.正态分布的定义:如果对于任何实数 a
4、b,随机变量X满足:则称为X 的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作 X N（，2）第11页/共31页 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的
5、水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。第12页/共31页3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征第13页/共31页012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在
6、x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)第14页/共31页 m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平x3x4平均数x x=第15页/共31页产品 尺寸(mm)总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与
7、分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义第16页/共31页正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当=0，=1时标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线第17页/共31页（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式=第18页/共31页例例1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.B第19页/共31页练习：练习：1、
8、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。20 25 301510 xy5352、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。第20页/共31页方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1若 固定,随 值的变化而沿x轴平移,故 称为位置参数；第21页/共31页均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0若 固定,大时,曲线矮而胖；若 固定,小时,曲线瘦而高,故称 为形状参数。第22页/共31页=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状
9、由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质第23页/共31页正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)第24页/共31页正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-
10、x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)第25页/共31页4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若XN ,则对于任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小,落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。特别地有特别地有第26页/共31页 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些
11、情况发生为小概率事件小概率事件。第27页/共31页例2、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115A20000.68261365人0.9544第28页/共31页2、已知XN(0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量XN(0,1),则 =,=.4、若XN(5,1),求P(6X7).D0.50.9544第29页/共31页归纳小结1.正态曲线及其性质；正态曲线及其性质；2.2.正态分布及概率计算；正态分布及概率计算；3.33.3s s原则原则。第30页/共31页感谢您的观看。第31页/共31页