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1、1主要内容Floyd算法Dijkstra算法两个例子的求解引例2：最廉价航费表的制定引例1：最短运输路线问题最短路径问题的0-1规划模型第1页/共31页2如如图图的的交交通通网网络络，每每条条弧弧上上的的数数字字代代表表车车辆辆在在该该路路段段行行驶驶所所需需的的时时间间，有有向向边边表表示示单单行行道道，无无向向边边表表示示可可双双向向行行驶驶。若若有有一一批批货货物物要要从从1 1号号顶顶点点运运往往1111号号顶顶点点，问问运运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？引例1：最短运输路线问题 10237411659813 35 512122
2、 210106 61 15 58 88 87 79 99 93 32 22 27 7第2页/共31页3 某某公公司司在在六六个个城城市市C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C,C4 4,C,C5 5,C,C6 6都都有有分分公公司司，公公司司成成员员经经常常往往来来于于它它们们之之间间，已已知知从从CiCi到到C Cj j的的直直达达航航班班票票价价由由下下述述矩矩阵阵的的第第i i行行，第第j j列列元元素素给给出出（表表示示无无直直达达航航班班），该该公公司司想想算算出出一一张张任任意意两两个个城城市市之之间间的的最最廉价路线航费表。廉价路线航费表。引例2：最廉价航费表的制定 第3页
3、/共31页4最短路径问题l定义：设P(u,v)是加权图G中从u到v的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P).从u到v的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.10237411659813 35 512122 210106 61 15 58 88 87 79 99 93 32 22 27 7第4页/共31页5最短路径算法DijkstraDijkstra算法算法使用范围使用范围:l l寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径;l l有向图、无向图和混合图有向图、无向图和混合图;l l权非负权非负.算法思路：算法思路：采用标号作业法采用标号
4、作业法,每次迭代产生一个永久标号每次迭代产生一个永久标号,从而生长一颗以从而生长一颗以v v0 0为根的最短路树为根的最短路树,在这颗树上每在这颗树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.10237411659813 35 512122 210106 61 15 58 88 87 79 99 93 32 22 27 7第5页/共31页6Dijkstra算法算法步骤S:具有永久标号的顶点集;l(v):v的标记;f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;输入加权图的带权邻接矩阵w=w(vi,vj)nxm.l初始化 令l(v0)=0,S=;vv0,l(v)=;l更
5、新l(v),f(v)l 寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v),即 l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;1)重复步骤2),直到所有顶点都在S中为止.第6页/共31页7MATLAB程序（Dijkstra算法）function min,path=dijkstra(w,start,terminal)function min,path=dijkstra(w,start,terminal)n=size(w,1);label(start)=0;f(start)=start;n=size(w,1)
6、;label(start)=0;f(start)=start;for i=1:nfor i=1:n if i=start if i=start label(i)=inf;label(i)=inf;end,endend,ends(1)=start;u=start;s(1)=start;u=start;while length(s)nwhile length(s)(label(u)+w(u,v)if label(v)(label(u)+w(u,v)label(v)=(label(u)+w(u,v);f(v)=u;label(v)=(label(u)+w(u,v);f(v)=u;end,end,en
7、d end,end,end v1=0;v1=0;k=inf;k=inf;for i=1:n for i=1:n ins=0;ins=0;for j=1:length(s)for j=1:length(s)if i=s(j)if i=s(j)ins=1;ins=1;end,end end,end if ins=0 if ins=0 v=i;v=i;if klabel(v)if klabel(v)k=label(v);k=label(v);v1=v;v1=v;end,end,end end,end,end s(length(s)+1)=v1;s(length(s)+1)=v1;u=v1;u=v1;
8、endendmin=label(terminal);min=label(terminal);path(1)=terminal;path(1)=terminal;i=1;i=1;while path(i)=startwhile path(i)=start path(i+1)=f(path(i);path(i+1)=f(path(i);i=i+1;i=i+1;endend path(i)=start;path(i)=start;L=length(path);L=length(path);path=path(L:-1:1);path=path(L:-1:1);第7页/共31页8最短路径算法Dijks
9、tra算法程序的使用说明：算法程序的使用说明：调用格式为调用格式为 min,path=dijkstra(w,start,terminal)min,path=dijkstra(w,start,terminal),其中输入变量其中输入变量w w为所求图的带权邻接矩阵，为所求图的带权邻接矩阵，start,start,terminalterminal分别为路径的起点和终点的号码。分别为路径的起点和终点的号码。返回返回startstart到到terminalterminal的最短路径的最短路径pathpath及其长度及其长度min.min.注意：顶点的编号从注意：顶点的编号从1 1开始连续编号。开始连续
10、编号。第8页/共31页9最短路径算法Floyd算法算法使用范围使用范围:l l求每对顶点的最短路径求每对顶点的最短路径;l l有向图、无向图和混合图有向图、无向图和混合图;算法思想算法思想:直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次递推地构造出递推地构造出n n个矩阵个矩阵D(1),D(2),D(n),D(n)D(1),D(2),D(n),D(n)是是图的距离矩阵图的距离矩阵,同时引入一个后继点矩阵记录两点同时引入一个后继点矩阵记录两点间的最短路径间的最短路径.10237411659813 35 512122 210106 61 15 58 88
11、87 79 99 93 32 22 27 7第9页/共31页10Floyd算法算法步骤 d(i,j):i到j的距离;path(i,j):i到j的路径上i的后继点;输入带权邻接矩阵a(i,j).1）赋初值 对所有i,j,d(i,j)a(i,j),path(i,j)j,k=l.2）更新d(i,j),path(i,j)对所有i,j,若d(i,k)+d(k,j)d(i,j),则 d(i,j)d(i,k)+d(k,j),path(i,j)path(i,k),k k+13）重复2)直到k=n+1第10页/共31页11MATLAB程序（Floyd算法）function D,path,min1,path1=f
12、loyd(a,start,terminal)function D,path,min1,path1=floyd(a,start,terminal)D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);for i=1:nfor i=1:n for j=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf if D(i,j)=inf path(i,j)=j;path(i,j)=j;end,end,endend,end,endfor k=1:nfor k=1:n for i=1:n for i=1:n for j=1:n fo
13、r j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k);path(i,j)=path(i,k);end,end,end,endend,end,end,endif nargin=3if nargin=3 min1=D(start,terminal);min1=D(start,terminal);m(1)=start;m(1)=start;i=1;i=1;path1=;path1=;while path(m(i),termina
14、l)=terminal while path(m(i),terminal)=terminal k=i+1;k=i+1;m(k)=path(m(i),terminal);m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1;i=i+1;end end m(i+1)=terminal;m(i+1)=terminal;path1=m;path1=m;end end 第11页/共31页12最短路径算法Floyd算法程序的使用说明：算法程序的使用说明：1.D,path=floyd(a),1.D,path=floyd(a),返回矩阵返回矩阵D,path D,path。其中。其中a a是所求是所求图
15、的带权邻接矩阵，图的带权邻接矩阵，D(i,j)D(i,j)表示表示i i到到j j的最短距离的最短距离;path(i,j)path(i,j)表示表示i i与与j j之间的最短路径上顶点之间的最短路径上顶点i i的后继点的后继点.2.D,path,min1,path1=floyd(a,i,j)2.D,path,min1,path1=floyd(a,i,j)返回矩阵返回矩阵D,D,path;path;并返回并返回i i与与j j之间的最短距离之间的最短距离min1min1和最短路径和最短路径path1.path1.第12页/共31页13edge=2,3,1,3,3,5,4,4,1,7,6,6,5,
16、5,11,1,8,6,9,10,8,9,edge=2,3,1,3,3,5,4,4,1,7,6,6,5,5,11,1,8,6,9,10,8,9,9,10;.9,10;.3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11,5,3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11,5,8,1,9,5,11,9,8,10,9;.8,1,9,5,11,9,8,10,9;.3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7,2,9,9,3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7,2,9,9,2,2;2,2;n=11;weig
17、ht=inf*ones(n,n);n=11;weight=inf*ones(n,n);for i=1:nfor i=1:n weight(i,i)=0;weight(i,i)=0;endendfor i=1:size(edge,2)for i=1:size(edge,2)weight(edge(1,i),edge(2,i)=edge(3,i);weight(edge(1,i),edge(2,i)=edge(3,i);endenddis,path=dijkstra(weight,1,11)dis,path=dijkstra(weight,1,11)引例1的Matlab求解102374116598
18、13 35 51 12 22 21 10 06 61 15 58 88 87 79 99 93 32 22 27 7第13页/共31页14运行上页程序输出：运行上页程序输出：dis=21path=1 8 9 10 11 因此顶点因此顶点1到顶点到顶点11的最短路径为的最短路径为18 9 10 11,其长度为其长度为21。引例1的求解第14页/共31页15建立脚本建立脚本建立脚本建立脚本mm文件如下：文件如下：文件如下：文件如下：a=a=0,50,inf,40,25,10;50,0,15,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf;0,50,inf,40,25,10;50,0,15
19、,20,inf,25;inf,15,0,10,20,inf;40,20,10,0,10,25;25,inf,20,10,0,55;10,25,inf,25,55,0;40,20,10,0,10,25;25,inf,20,10,0,55;10,25,inf,25,55,0;D,path=floyd(a)D,path=floyd(a)运行便可输出结果。运行便可输出结果。运行便可输出结果。运行便可输出结果。引例2的Matlab求解第15页/共31页16运行输出结果：运行输出结果：运行输出结果：运行输出结果：D=D=0 35 45 35 25 0 35 45 35 25 1010 35 0 15 20
20、 30 35 0 15 20 30 2525 45 15 0 10 20 45 15 0 10 20 3535 35 20 10 0 10 35 20 10 0 10 2525 25 30 20 10 0 25 30 20 10 0 3535 10 25 35 25 35 10 25 35 25 35 0 0path=path=1 6 5 5 5 6 1 6 5 5 5 6 6 2 3 4 4 6 6 2 3 4 4 6 5 2 3 4 5 4 5 2 3 4 5 4 5 2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 1 4 3 4 5 1 1 4 3 4 5 1 1 2 4 4 1 6 1 2
21、 4 4 1 6D D便是最廉价的航费表，便是最廉价的航费表，要求飞行路线，由要求飞行路线，由pathpath矩矩阵可以得到，比如阵可以得到，比如2 2到到5 5的的路线：路线：path(2,5)=4,path(2,5)=4,path(4,5)=5,path(4,5)=5,因此，应为因此，应为24 524 5第16页/共31页17 假设图有假设图有 n 个顶点，现需要求从顶点个顶点，现需要求从顶点1到顶点到顶点n的最短路径的最短路径.最短路径问题的0-1规划模型 设决策变量为设决策变量为xij,当顶点当顶点1至顶点至顶点n的路上含弧的路上含弧(i,j)时，时，xij=1；否则；否则xij=0.
22、其数学规划表达式为其数学规划表达式为第17页/共31页18最短路径问题的0-1规划模型 例（有向图最短路问题）在下图中，用点表示城市，现有 共7个城市.点与点之间的连线表示城市间有道路相连.连线旁的数字表示道路的长度.现计划从城市 到城市 铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案.本质是求从城市 到城市 的一条最短路第18页/共31页19最短路径问题的0-1规划模型 解：写出相应的LINGO程序，MODEL:1!We have a network of 7 cities.We want to find 2 the length of the shortest route from ci
23、ty 1 to city 7;3 4sets:5 !Here is our primitive set of seven cities;6 cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;7 8 !The Derived set roads lists the roads that 9 exist between the cities;第19页/共31页20最短路径问题的0-1规划模型 10 roads(cities,cities)/11 A,B1 A,B2 B1,C1 B1,C2 B1,C3 B2,C1 B2,C2 B2,C3 12 C1,D C2,D C3,D/:w,x;13 end
24、sets 14 15 data:16 !Here are the distances that correspond 17 to above links;18 w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;19 enddata 第20页/共31页21最短路径问题的0-1规划模型 20 21 n=size(cities);!The number of cities;22 min=sum(roads:w*x);23 for(cities(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:24 sum(roads(i,j):x(i,j)=sum(roads(j,i):x(j,i);25 sum(roads
25、(i,j)|i#eq#1:x(i,j)=1;END第21页/共31页22最短路径问题的0-1规划模型 在上述程序中，21句中的n=size(cities)是计算集cities的个数，这里的计算结果是 ,这样编写方法目的在于提高程序的通用性.22句表示目标函数,即求道路的最小权值.23,24句表示约束中 的情况，即最短路中中间点的约束条件.25句表示约束中 的情况，即最短路中起点的约束.约束中 的情况，也就是最短路中终点的情况，没有列在程序中，因为终点的约束方程与前个方程相关.当然，如果你将此方程列入到LINGO程序中，计算时也不会出现任何问题，因为LINGO软件可以自动删除描述线性规划可行解中
26、的多余方程.第22页/共31页23最短路径问题的0-1规划模型 LINGO软件计算结果（仅保留非零变量）如下Global optimal solution found at iteration:0 Variable Value Reduced Cost 即最短路是 ,最短路长为6个单位.第23页/共31页24最短路径问题的0-1规划模型 例（无向图的最短路问题）求下图中 到 的最短路.本例是处理无向图的最短路问题，在处理方式上与有向图的最短路有一些差别.第24页/共31页25最短路径问题的0-1规划模型 解：对于无向图的最短路问题，可以这样理解，从点 到点 和点 到点 的边看成有向弧，其他各条
27、边均看成有不同方向的双弧，因此，可以按照前面介绍有向图的最短路问题来编程序，但按照这种方法编写LINGO程序相当于边（弧）增加了一倍.这里选择邻接矩阵和赋权矩阵的方法编写LINGO程序.MODEL:1 sets:2 cities/1.11/;3 roads(cities,cities):p,w,x;4 endsets 第25页/共31页26最短路径问题的0-1规划模型 5 data:6 p=0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 9 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 1 1
28、0 0 1 0 1 1 0 0 11 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 12 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 13 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 14 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 15 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;第26页/共31页27最短路径问题的0-1规划模型 17 w=0 2 8 1 0 0 0 0 0 0 0 18 2 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 19 8 6 0 7 5 1 2 0 0 0 0 20 1 0 7 0 0 0 9 0 0 0 0 21 0 1
29、 5 0 0 3 0 2 9 0 0 22 0 0 1 0 3 0 4 0 6 0 0 23 0 0 2 9 0 4 0 0 3 1 0 24 0 0 0 0 2 0 0 0 7 0 9 25 0 0 0 0 9 6 3 7 0 1 2 26 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 4 27 0 0 0 0 0 0 0 9 2 4 0;28 enddata第27页/共31页28最短路径问题的0-1规划模型 29n=size(cities);30min=sum(roads:w*x);31for(cities(i)|i#ne#1#and#i#ne#n:32 sum(cities(j):p(i,j)
30、*x(i,j)33 =sum(cities(j):p(j,i)*x(j,i);34sum(cities(j):p(1,j)*x(1,j)=1;END第28页/共31页29最短路径问题的0-1规划模型 在上述程序中，第6行到第16行给出了图的邻接矩阵 ，到 和 到 的边按单向计算，其余边双向计算.第17行到第27行给出了图的赋权矩阵 ,注意：由于有了邻接矩阵 ，两点无道路连接时，权值可以定义为0.其它的处理方法基本上与有向图相同.用LINGO软件求解，得到（仅保留非零变量）Global optimal solution found at iteration:2 0 Objective value:13.00000 第29页/共31页30最短路径问题的0-1规划模型 Variable Value Reduced Cost 即最短路径为最短路长度为13.第30页/共31页31感谢您的观看！第31页/共31页