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1、 这个正交性是关于质量矩阵M的，它起了加权矩阵的作用。将方程(5.3-6)代入方程(5.3-3)，可得振型向量关于刚度矩阵也是正交的，即 需要再次强调指出，正交性关系式(5.3-6)和(5.3-7)只有当M和K为对称矩阵时才是正确的。如果r=s，则不论u(s)TMu(r)取任何值，式(5.3-5)都自然满足，因而可令(5.3-7)(5.3-8)(5.3-9)称Mr为模态质量，Kr为模态刚度。第2页/共50页第1页/共50页 如果将振型向量正则化，则称振型向量为关于质量矩阵和刚度矩阵的正则正交性。式中rs为克朗尼格符号，其数学定义为 若正则化是按照方程(5.2-15)得到的，即(5.3-10)(
2、5.3-11)(5.3-12)那么振型向量应满足下面的关系式第3页/共50页第2页/共50页 例例5.3-1 图5.3-1所示三个弹簧悬挂着质量m，三个弹簧位于同一平面内，弹簧常数分别为k1，k2和k3，试写出质量m的运动微分方程。若弹簧刚 度 k1=k2=k3=k，并 且1=0，2=120，3=210，求系统的固有频率和固有振型，并验证振型向量的正交性。解解：取直角坐标x-y如图所示。如果只考虑微小位移，并设弹性恢复力为R1，R2和R3，则质量m的运动微分方程为图 5.3-1第4页/共50页第3页/共50页式中弹性力为Ri=-ki(xcosi+ysini)将Ri的值代入运动微分方程，得写成矩
3、阵形式为第5页/共50页第4页/共50页当1=0时，有当2=120时，有当3=210时，有将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得第6页/共50页第5页/共50页代入质量m的运动微分方程为特征值问题为由此得固有频率为第7页/共50页第6页/共50页 由于运动微分方程是两个独立的方程，表明x，y正好是两个固有坐标，因此固有振型为 为了验证振型向量的正交性，将振型向量u(1)和u(2)代入方程(5.3-6)，有满足正交性条件。第8页/共50页第7页/共50页第一阶主振型第二阶主振型第9页/共50页第8页/共50页二二.具有重特征值的系统具有重特征值的系统 具有重特征值，也就是有相同的固有
4、频率的系统，称为退化系统。当系统存在p(2pn)个相同的固有频率时，对应重特征值的特征向量与其余的n-p个特征向量是正交的，但一般说来，对应重特征值的特征向量之间并非一定正交。当特征值问题是由实对称矩阵M和K来确定时，相应于重特征值的特征向量有p个、但不超过p个相互正交的特征向量。由于对应于重特征值的特征向量的任一线性组合也是一个特征向量，所以特征向量不是唯一的。第10页/共50页第9页/共50页 一般来说，总可以选择p个对应于重特征值的特征向量的线性组合，使它们构成相互正交的特征向量组，从而使得问题中的特征向量唯一地确定。假定系统的固有频率1和2相等，其他各固有频率则与它们不同，则在特征值问
5、题的n方程组中，只有n-2个是独立的，这正是由于1是一个特征方程的二重根。两个固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的任意性，可以把任意的组合C1u(1)+C2u(2)看成是对应于固有频率1=2的一个固有振型(其中C1和C2为任意常数)。第11页/共50页第10页/共50页故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是对应于1或2的固有振型，所以可以认为有无穷多个固有振型的解，其中只能任意选取两个相互独立的解，其他的解均可由这两个解的线性组合得到。(5.3-13)(5.3-14)将 ，和u(1)、u(2)分别代入方程(5.2-10)，有因此，有(5.3-15)第12页/共50页第11页/共50页
6、任意的两个独立的固有振型u(1)和u(2)一般不满足正交性条件，即但可以作一个向量 u(2)+Cu(1)(C为待定常数)，要求这个向量对质量矩阵M与u(1)正交，即(5.3-16)(5.3-17)由此可解出待定常数C为(5.3-18)由这个C值而组合的向量u(2)+Cu(1)，就是与u(1)对质量矩阵M是正交的。第13页/共50页第12页/共50页 不难进一步证明它们对刚度矩阵K也是正交的，而u(1)与u(2)+Cu(1)是彼此独立的固有振型。这种既相互独立又正交的固有振型仍有无穷多组，其中任意一组都可以作为重特征值的特征向量。第14页/共50页第13页/共50页 例例5.3-2 在图5.3-
7、2所示的系统中，m1=m2=m，k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k，试求作微幅振动时，系统的固有频率和固有振型。解解：由于系统作微幅振动，可以认为弹簧k1和k2在x方向的变形不影响其他弹簧的状态，而其他弹簧在y方向的变形也不影响弹簧k1和k2的状态。系统运动微分方程为图 5.3-2第15页/共50页第14页/共50页可见，此系统存在重特征值。特征值问题为特征方程为解得特征值为第16页/共50页第15页/共50页 将 代入特征值问题方程之中，求出第三阶固有振型为将 代入特征值问题方程为可见 可取任意值，并有 第17页/共50页第16页/共50页 取对应于1和2的两阶固有振型向量为不难验
8、证，它们与u(3)是满足关于M和K的正交性条件，即第18页/共50页第17页/共50页令新的第二阶振型向量为由正交性条件但它们之间不正交，即第19页/共50页第18页/共50页解得于是约去比例因子5/3，故取所以对应于1，2，3的固有振型为第20页/共50页第19页/共50页第21页/共50页第20页/共50页三三.模态矩阵模态矩阵 振型向量可以排列成为n阶方阵，称为模态矩阵(或振型矩阵)，即u的每一列是一个振型向量u(r)(r=1,2,n)。引入振型矩阵u之后，由方程(5.2-14)所表示的特征值问题的所有n个解可以写成简洁的矩阵方程，即式中 2是固有频率平方的对角矩阵。(5.3-19)(5
9、.3-20)第22页/共50页第21页/共50页 应用振型矩阵u，可以把式(5.3-6)和式(5.3-8)合并成一个式子，即类似地，可将式(5.3-7)和式(5.3-9)合并为(5.3-21)(5.3-22)称Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵。第23页/共50页第22页/共50页 由于固有振型具有正交性，振型矩阵u可以用来作为使系统的运动微分方程不耦合的变换矩阵。若振型向量按照方程(5.2-15)进行正则化，然后排列成正则振型矩阵u，则模态质量矩阵为单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角矩阵，即(5.3-23)第24页/共50页第23页/共50页 由于振型向量只表示系统作固有振动时各
10、坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后，才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使Mr和Kr具有确定的值。(5.3-24)第25页/共50页第24页/共50页四四.展开定理展开定理 特征向量u(r)(r=1,2,n)形成一个线性独立组，即有 由于固有振型的线性独立性，于是系统的任何一个位形的n维向量w可以由n个固有振型的线性组合构成，即(5.3-25)式中c1,c2,cn是不同时为零的常数。(5.3-26)式中w称为 的线性组合，系数C1,C2,Cn表示每一个振型的参与程度。第26页/共50页第25页/共50页 改变系数C1,C2,Cn而得到的所有线
11、性组合组成向量空间w,这个空间是由u(1),u(2),u(n)生成的。向量组u(r)(r=1,2,n)称为w的生成系统，因为这个向量组是独立的，所以生成系统称为w的基。属于空间w的任何向量都可以表示成线性组合(5.3-26)的形式，即 系统的任何可能的运动都可以被描写为振型向量的线性组合，也就意味着由任意激励产生的系统的运动可以看作固有振型用适当的常数相乘后的叠加。第27页/共50页第26页/共50页 如果用正则振型来表示系统的运动，就是把一组联立的运动微分方程变换成一组独立的方程，这里的变换矩阵就是振型矩阵u。把联立的运动方程变换成一组互不相关的方程来得出系统响应的过程称为振型分析或模态分析
12、。考虑固有振型的正交性条件，用u(s)TM左乘方程(5.3-26)的两端，得(5.3-27)只有当r=s时，内才有值，其余情况均为零，得第28页/共50页第27页/共50页 若u(r)为正则振型向量，则式(5.3-27)中的Mr=1，即系数Cr表示第r阶固有振型u(r)对w所起作用的一种度量。方程(5.3-26)和方程(5.3-27)与方程(5.3-28)在振动分析中称为展开定理。(5.3-28)展开定理：或 第29页/共50页第28页/共50页 考察一个保守系统，系统的动能和势能为q1,q2,qnT为广义坐标向量，为广义速度向量，M为系统的质量矩阵，K为系统的刚度矩阵。(5.4-1)(5.4
13、-2)5.4 半正定系统第30页/共50页第29页/共50页 动能和势能分别是广义速度和广义坐标的二次型。质量矩阵M和刚度矩阵K都是实对称矩阵。按定义动能永远是正的，且只有当速度全为零时才为零，所以质量矩阵M是正定的。势能如取最小值为零，则它是非负的，它可以在坐标不全为零时等于零，可见刚度矩阵K既可能是正定的，也可能是半正定的，K为负定的情况这里不加以讨论。第31页/共50页第30页/共50页 如果振动系统的质量矩阵M和刚度矩阵K都是正定的，就称为正定系统。如果质量矩阵M是正定的，而刚度矩阵K是半正定的，就称为半正定系统。由于产生半正定系统的物理条件是系统具有不完全的约束，所以整个系统可能象刚
14、体一样运动。可见半正定系统一定会出现零值的固有频率，相应的固有振型称为刚体振型或零振型。在一般情况下，对于一个半正定系统，系统的运动是刚体运动和弹性运动的复合。第32页/共50页第31页/共50页 例例5.4-1 如图5.4-1所示系统，两质量m1=2m，m2=m，两质量之间的弹簧刚度为2k，求系统的固有频率和固有振型。解解：系统的运动微分方程为写成矩阵形式图 5.4-1第33页/共50页第32页/共50页假定运动是同步的，有 式中Xi(i=1，2)为常数，f(t)是简谐函数，于是有特征值问题特征方程为求得特征值为第34页/共50页第33页/共50页 代入特征值问题方程，求出特征向量为此例题中
15、的两个质量组成的系统是不完全约束系统，存在着刚体运动(1=0，X(1)=1 1T)，作为整体的x方向移动。因为由零固有频率和刚体振型做所定义的刚体运动是特征值问题的一个解，可见任何其他的特征向量必定与之正交，即应满足条件第35页/共50页第34页/共50页 由于X(1)是一个元素为同一常数的向量，上式的结果为根据同步运动解上式也可以写成这一式子的物理意义是：半正定系统在这样的自由振动时，其总动量守恒且恒为零值。所以刚体振型的正交性相当于动量守恒。第36页/共50页第35页/共50页 例例5.4-2 图5.4-2所示系统，三圆盘的转动惯量分别I1，I2和I3，其间两段轴的抗扭刚度分别为k1和k2
16、，求系统的第一阶固有频率及固有振型，并加以讨论。解：解：系统的动能为式中转动惯量矩阵为图 5.4-2第37页/共50页第36页/共50页系统的势能为式中刚度矩阵为代入拉格朗日方程可得自由振动的方程为第38页/共50页第37页/共50页 写成矩阵形式为式中f(t)为简谐函数，将此式代入运动微分方程得特征值问题为 系统的特征方程为设同步运动解为 第39页/共50页第38页/共50页固有振型的相对幅值为 显然可见，系统的第一阶固有频率和相应的固有振型由上面两式可得可见系统按此振型振动时，各圆盘的扭角都相同，各圆盘之间不产生相对扭角，整个系统以相同的角位移转动，也就是刚体运动。一个不完全约束系统的一般
17、运动是在刚体运动上叠加弹性振型的组合运动。第40页/共50页第39页/共50页 需要再次指出的是，对于一个半正定系统，至少有一个零特征值，相应的固有振型为刚体振型。不能依据固有振型各元素相等来定义零固有频率，实际上，有些正定系统的固有振型的各元素同样相等，但并不存在零固有频率。因为零固有频率和相应的刚体振型是特征值问题的一个解，可见任何其他的特征向量必与其正交，即应满足条件所以上式的结果为第41页/共50页第40页/共50页根据同步运动的解，并求导可得 与弹性运动相关的系统的动量矩等于零。于是得出，刚体振型的正交性相当于动量矩守恒。另一方面的问题是半正定系统的刚度矩阵是奇异矩阵，也就是说其不存
18、在逆矩阵，这一点由刚度矩阵的系数行列式detK等于零显然可见。上式的物理意义是：为了克服系统刚度矩阵的奇异性，必须限制刚体运动，消除刚体振型。希望能够将一个不完全约束系统的特征值问题变换成为一个仅仅寻求弹性振型的问题。第42页/共50页第41页/共50页 利用刚体振型与其他阶固有振型(弹性振型)的正交性条件所建立起来的守恒方程(动量或动量矩守恒)加以约束处理。如以三圆盘系统为例，有得这样，受约束向量r与响应向量之间的关系表示如下式第43页/共50页第42页/共50页对于角速度 也存在类似的结果，所以(5.4-3)这里 起一个约束矩阵的作用。注意到，虽然受约束向量r和 有三个元素，但方程(5.4
19、-3)中的响应向量只有两个元素1和2。第44页/共50页第43页/共50页 线性变换(5.4-3)可以用来简化动能和势能，使其只含有1和2，依据动能和势能的公式，有(5.4-4)(5.4-5)式中这里I和K均为22阶对称正定矩阵。第45页/共50页第44页/共50页 经过变换之后，系统的特征值问题成为它具有正定系统的一切特性。它的解是由固有频率1和2以及相应的固有振型(1)和(2)组成。考虑到变换关系式(5.4-3)，有(5.4-7)(5.4-6)式中受约束振型(1)r和(2)r中的元素自动满足由正交条件得出的结果，即I11+I22+I33=0显然，方程(5.4-7)只表示弹性振型。第46页/
20、共50页第45页/共50页 例例5.4-3 考虑图5.4-2所示的系统，设k1=k2=k，I1=I2=I3=I，求系统的固有振型。解解：固有振型可以通过解特征问题式(5.4-6)得到，而式(5.4-6)中的I和K根据已知条件可以得出显然K是非奇异矩阵，因为它的行列式不等于零。第47页/共50页第46页/共50页特征值问题为特征方程为解得固有频率为相应的固有振型为第48页/共50页第47页/共50页这样，对应于弹性振型的受约束特征向量为第49页/共50页第48页/共50页 如果把零固有频率和刚体振型记为0和(0)，则系统的固有频率和固有振型为 第50页/共50页第49页/共50页感谢您的观看！第50页/共50页