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1、理想流体的旋涡运动你现在浏览的是第一页，共53页第四章理想流体的旋涡运动流体的旋涡运动是自然界普遍存在的一种流动现象。例如台风、龙卷风依然在破坏亚洲、澳洲和美洲的海岸，每年吞噬这成千上万人的生命。由于它的特殊性，人们对其认识在早期十分模糊，并且带上一种神秘的色彩。百慕大三角区的旋涡更使人神秘莫测，另外旋涡还伴随有飞机、舰船等的机械能损失。另一方面，旋涡有利于人类。现代生物力学证实主动脉窦内血液流动形成的蜗旋使主动脉瓣在射血结束时关闭，保证了人体血液循环的正常运行；利于三角翼形成的涡旋可增加机翼的升力；在水坝泄水口，为保证坝基不被急泄而下的水流冲坏，采用消能设备人为制造涡旋以消耗水流动能。你现在
2、浏览的是第二页，共53页涡旋运动的一些基本概念和运动学特性(a)图是圆筒中水随圆筒一起绕轴转动形成的涡流，此时水的运动如同刚体一样转动，流体质点速度和离轴距离成正比(b)图是水中插一个旋转的直圆柱面形成的涡流注意，自由面呈现抛物曲面形状(c)图是面浆中插一个旋转直圆柱形成的涡流，有趣的是面浆会顺着圆柱向上“爬”你现在浏览的是第三页，共53页(d)图是流体以一定流速绕过圆柱时，圆柱后面将出现两列交替排列的涡，称为卡门涡街e)图是柱状涡，旋风就是这一类涡流，通常直径10m，面高达1000m(f)图是碟状涡，海洋和大气层中很多为此类涡流和柱状涡相反，其直径达1000km，而高度约10km(g)图是人
3、体主动脉窦内血液在主动脉辩开启时所形成的涡流，正是这个涡的作用使主动脉瓣在射血结束时关闭涡的这个作用早已由达芬奇指出(h)图是银河系的涡状结构，天文测旦证实了这样的结构此类结构的星系并不是唯一的，宇宙中成千成万地存在着你现在浏览的是第四页，共53页你现在浏览的是第五页，共53页无旋流动有旋流动在图(a)中，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个
4、方向，即儿童对地来说没有旋转。你现在浏览的是第六页，共53页你现在浏览的是第七页，共53页判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关，你现在浏览的是第八页，共53页4-1涡量场以及旋涡的运动学特性速度的旋度称为流场的速度的旋度称为流场的
5、涡量涡量 是矢量流场，称为涡量场1 涡线、涡管和涡束涡线、涡管和涡束 1843年年H.L.F赫姆霍茨赫姆霍茨1.涡线涡线定义定义:某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为取过该点涡线上的微元矢量为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即，即这就是涡线的微分方程。这就是涡线的微分方程。你现在浏
6、览的是第九页，共53页涡面在涡量场中任取一条非涡线的曲线，过该曲线的每一点作同一时刻的涡线，这些涡线将构成一个曲面称作涡面你现在浏览的是第十页，共53页涡管定义涡管定义:某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线不是涡线)，通过曲线，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管微元涡管。横断涡管并与。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上，各点的旋转其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面
7、上，各点的旋转角速度相同。角速度相同。n你现在浏览的是第十一页，共53页2 涡通量和速度环量涡通量和速度环量对有限面积，则通过这一面积的对有限面积，则通过这一面积的涡通量涡通量定义为定义为速度环量速度环量定义定义:某一瞬时在流场中取任意闭曲线某一瞬时在流场中取任意闭曲线 ，在线上取一微元线段在线上取一微元线段 ，速度，速度 在在 切线上切线上的分量沿闭曲线的分量沿闭曲线 的线积分，的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。即为沿该闭合曲线的速度环量。开尔文开尔文1869年年速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线
8、顺时针绕行的方向为负方向。向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。你现在浏览的是第十二页，共53页证：流体以等速度证：流体以等速度v0水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲线的速度水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲线的速度环量，环量，其次求沿图所示圆周线的速度环量其次求沿图所示圆周线的速度环量同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。例题例题1 证明均匀流的速度环量等于零。证明均匀流的速度环量等于零。你现在浏览的是第十三页，共53页实际上
9、，速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。由Stokes定理涡通量J与速度环量虽然都能用来表征旋涡的特性，但是在某些时况下，利用速度环量往往更为方便，这是因为速度环量是线积分，被积函数是速度本身；而涡通量则是面积分，被积函数是速度的偏导数再考虑例1你现在浏览的是第十四页，共53页3涡管强度守恒定理内容：在同一时刻、同一涡管的各个截面上，涡通量（涡管强度）都是相同的称为该瞬时涡管的强度若A为某瞬时涡管的某一横截面，则涡通量你现在浏览的是第十五页，共53页由Gauss定理对于微元涡管对于微元涡管近似认为近似认为由涡管强度守恒定理由涡管强度守恒定理你
10、现在浏览的是第十六页，共53页（1）对于同一微元涡管，截面越小的地方，涡量越大（2）涡管截面不可能收缩到零(?)。涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。你现在浏览的是第十七页，共53页4-2Kelvin速度环量定理涡管强度守恒定理指出：同一时刻涡管不同截面的涡通量是相同的，然而Stokes定理又指出任一封闭曲线上的速度环量等于以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。由此，我们知道，同一时刻绕涡管的任意封闭曲线的速度环量相等但是，不同时刻的情况如何呢?下面将讨论这个问题你现在浏览的是第十八页，共53页1 速度环量随时间的变化
11、率速度环量随时间的变化率 首先引出首先引出流体线流体线(也称为时间线也称为时间线)的概念。（与迹线相关）的概念。（与迹线相关）流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终流体线：指在流场中任意指定的一段线，该线段在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成是由同样的流体质点所组成。(体系体系)封闭流体线速度环量对时间的变化率等于此封闭流体线的加速度环量Kelvin方程你现在浏览的是第十九页，共53页t时刻时刻流体线微元流体线微元t 时刻流体线微元t+时刻流体线微元你现在浏览的是第二十页，共53页2Kelvin环量定理正压性正压性的的理想理想流体在流体在有势的质量力有势的质量力作用下沿
12、任何封作用下沿任何封闭流体线的速度环量不随时间而变化，即闭流体线的速度环量不随时间而变化，即体力有势体力有势流体是正压的流体是正压的对于密度函数仅与压力有关的理想流体，当体力有势时，沿任何封闭流体线的速度环量在流体运动的全部时间内将保持不变由Kelvin方程你现在浏览的是第二十一页，共53页1 涡线、涡管和涡束涡线、涡管和涡束2 涡通量和速度环量的关系涡通量和速度环量的关系3涡管强度守恒定理4Kelvin定理你现在浏览的是第二十二页，共53页4-3Lagrange定理在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻流体内的某一部分内没有旋
13、涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内某一部分内没有旋涡，则在以前或以后的时间内，该部分流体内也不会有旋涡。也不会有旋涡。证明：由条件知，在某一时刻（可认为是初始时刻），在被研究的那部分流体中，处处有，则由Stokes公式知由Kelvin定理，沿上述任意封闭流体线的速度环量，在以前或以后的时间内将保持为零A是以封闭流体线L为边界的流体面再利用由Stokes公式，对于完全位于所讨论的那部分流体中的任何流体曲面A而言，在运动过程中，始终有由于曲面A选取的任意性，故要使上式成立，则必须处处有你现在浏览的是第二十三页，共53页2 亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmholtz）方程）方程理想流体运动中涡量理想
14、流体运动中涡量 必须满足的方程必须满足的方程 。公式11你现在浏览的是第二十四页，共53页在有势的质量力作用下，正压理想流体在有势的质量力作用下，正压理想流体亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程它为动力学方程。优点是不出现压力、体力和密度，而只包含速度它为动力学方程。优点是不出现压力、体力和密度，而只包含速度和涡量和涡量3 关于旋涡的形成和消失关于旋涡的形成和消失由Lagrange定理可知，当流体满足下述三个条件：(1)流体是理想的：(2)流场是正压的，(3)体力是有势的时，若流体在某时刻的运动有旋，则将永远有旋；若流体某时刻的运动无旋，则将永远无旋即流场中的旋涡既不会产生也不会消失因此，Lagrange
15、定理是判断流场是否有旋的重要定理（1）无穷远均匀来流绕流物体的流场是无旋流场；（2）物体在静止流场中的运动所造成的流场也是无旋流场等等但要特别指出的是，如果上述三个条件中有一个条件得不到满足旋涡就既可以产生，也可以消失这说明等压面与等密度面处处重合你现在浏览的是第二十五页，共53页在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失。产生也会在流体中消失。粘性粘性是旋涡产生和消失的根本原因。是旋涡产生和消
16、失的根本原因。你现在浏览的是第二十六页，共53页流线不能突然折转，因而在图的物体尾部，必然有一部分流体不能参与主流方向的运动，而被主流带动产生涡旋这样就消耗了主流的能量，或者增大了运动物体的阻力。如果将物体平直的尾部改成圆滑的“流线型”形状，则可以减小尾部的涡旋，改善运动物体的动力性能，所谓“流线型”就是适应流线不能突然折转而采取的减少阻力的措施。在局部装置处经常出现涡旋区和速度的重新分布。涡旋区中，流体不规则地旋转、碰撞、回流，往往给主流运动造成巨大的阻碍，消耗主流运动的能量，导致压强、水头、能量的降低，这种涡旋区的存在是局部阻力的普遍现象。你现在浏览的是第二十七页，共53页1涡线保持定理涡
17、线保持定理在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻构成涡面、在有势的质量力作用下，正压理想流体中，在某一时刻构成涡面、涡线或涡管的流体质点，在运动的全部时间内将仍然构成涡面、涡线或涡管的流体质点，在运动的全部时间内将仍然构成涡面、涡线或涡管涡线或涡管 （正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。远保持为由相同流体质点组成的涡管。）4-4 涡线及涡管强度保持定理涡线及涡管强度保持定理（亥姆霍兹旋涡定理）（亥姆霍兹旋涡定理）在初始时刻流体涡面上，任取一个封闭流体线L为周界的流体曲面A，依据涡面的定义和Stoke
18、s公式考虑以后任意时刻,由Stokes公式首先证明涡面的保持性：在初始时刻组成涡面的流体质点，在以后任一时刻也永远组成涡面你现在浏览的是第二十八页，共53页因为周线可取任意小，而且它可位于面上的任意位置，因此在面上任一点都应有即为涡面涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。涡面永远保持为由相同流体质点组成的涡面。涡面永远保持为由相同流体质点组成的涡面。下面证明涡线保持定理下面证明涡线保持定理在初始时刻取一涡线，通过作两个相交的涡面与以后任一时刻由涡面保持定理都是涡面所以是涡线流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动。流体质点冻结在涡线上随涡线一起运动。你现在浏
19、览的是第二十九页，共53页2 涡管强度保持定理涡管强度保持定理在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何涡管的强度不随时在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。间而变化，永远保持定值。由Kelvin定理，沿上述封闭流体周线的速度环量在运动的全部时间内保持不变再由涡管表面保持性，涡管强度在运动中永远保持不变涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理？你现在浏览的是第三十页，共53页例在理想、不可压缩流体的定常流动中，若体力有势，试证明：（1）对于平面流动，沿流线涡量保持不变（2）对于的轴对称流动，沿流线保持不变证明：对于平面流动，存在在流动平面（xy）上，任取一小流管
20、（宽度为一个单位的流层）在流管中做面积为的微元涡管，根据涡管强度保持定理12xy根据连续性方程因为流体不可压缩所以沿流线沿流线涡量总与z轴平行，且数值不变。所以涡量沿流线保持不变你现在浏览的是第三十一页，共53页（2）对于的轴对称流动，存在因此r1xr在流管中做面积为的微元涡管，根据涡管强度保持定理对于不可压缩流体，根据质量守恒原理，组成上述环形涡管的流体质量应守恒r2你现在浏览的是第三十二页，共53页4-5旋涡的形成形成旋涡的原因可能是以下三个中的一个：（1）流体是非理想的（2）流体是非正压的（3）体力是无势的1流体是非正压时旋涡的形成仍考虑流体是理想的，体力是有势的由Kelvin方程由此得
21、比容为了阐明上述方程右端项放入意义，下面引进等压等容管概念p=常量称为等压面=常量称为等容面对于正压情况，等压面和等容面是重合的对封闭流线L你现在浏览的是第三十三页，共53页但对于非正压情况，等压面和等容面彼此相交的作一系列单位间距的等压面和等容面,将流体空间分为一系列管子,称为单位等压-等容管在AD、BC上，p恒定，dp=0在AB、DC上，恒定当周线L包含N1个正的单位等压-等容管当周线L包含N2个负的单位等压-等容管ABCD对于ABCD的周线 gradp到grad为正方向你现在浏览的是第三十四页，共53页Bjerknes定理(伯耶克内斯)如果流体是理想的，且体力是有势的，则沿着任何封闭流体
22、线L的速度环量对时间的导数将等于穿过此周线L的正的与负的单位等压-等容管数目之差对于处在有势体力作用下的理想、非正压流体，通过任何流体面A的涡通量对时间的导数将等于穿过该流体面力的正的与负的单位等压等容管数目之差由于速度环量刻划了漩涡的性质，所以，等压面与等容面的相交便是旋涡形成的原因之一你现在浏览的是第三十五页，共53页他们发现，每年的11月到第二年的3月，风总是从东北方的大陆上吹来，拂动着海水向西南流去。这时的海上总是晴空万里，积云和雨水都很少。4月至11月则恰恰相反，出现西南风，驱赶着云涛和海流不断驰向东北方，海上的雷雨也比较多。横渡印度洋的办法找到了！说起来道理很简单，只消掌握住风向和
23、海流的变化规律，就能定期扬帆到远方去贸易，并能按时顺风返回故乡。夏、秋两季，可以利用西南风直航印度；冬、春季两行，再顺着东北风返回阿拉伯半岛和非洲。依靠季风的帮助，他们十分顺利地建立起了和非洲、印度的联系。接着，印度和波斯的船只也出现在这条航线上。由于这种按季节而变化的定向风帮了商船队的大忙，所以人们就把它称作贸易风贸易风 信风信风。贸易风贸易风你现在浏览的是第三十六页，共53页假定地球是圆球，在高度相同的地方压力相同，即等压面是以地心为中心的球面；由于太阳对地球表面照射强度不同，同一高度，赤道要比北极温度高。因此，沿球面从北极向赤道温度逐步升高，根据气体状态方程可以看到，比容由北极向赤道逐步
24、增大；此外，在同一地点，高度越高，空气越稀薄，比容也越大。所以等容面不是球面，而是自赤道到北极向上倾斜。这样，沿到有正的单位等压等容管，即。从而是空气沿地面从北纬流向南纬，在赤道上升，然后再从上层流回北纬，在北纬处再下降到地面。这种环流就是贸易风你现在浏览的是第三十七页，共53页3体力无势的时漩涡的产生假设理想流体，但不正压。以地球表面上大气运动为例说明体力无势时漩涡的产生考虑地球自转，在运动坐标系中流体的相对运动方程为R为所研究的流体质点到地球自转轴的距离地球引力有势第一项反映对速度环量变化的影响，将产生贸易风你现在浏览的是第三十八页，共53页由于贸易风，在圆周L上每一点将有自北纬到南纬运动
25、的速度，L逆时针为正所以Coriolis力无势将使即随着时间的增长，将减小这样，就产生按顺时针方向由东向西的风。因此，贸易风将不是严格地自北向南吹，而是自东北向西南吹你现在浏览的是第三十九页，共53页4.6由涡量场和散度场决定速度场流动区域出现漩涡时，流动状态将发生变化。所以确定漩涡引起的速度场常常是重要的。5.3由涡量场决定速度场设在流场中，同时存在涡旋场和散度场（1）其中分别为已知的速度散度和涡量函数，现要求这散度和涡量场所决定的速度场V1基本方程的归结由流体与物面即不分离又不渗透的条件可知，物面上流体的法向速度应等于物体本身的法向速度，即将速度V分解为三部分（3）（2）将（3）式带入基本
26、方程（1）和边界条件（2）你现在浏览的是第四十页，共53页它们可分解为必存在速度势以上三组方程和边界条件与原基本方程及边界条件的提法是完全等价的对而言，相当于求满足Poisson任一特解第一组方程你现在浏览的是第四十一页，共53页必存在矢量势若假定稍后说明含义对而言，也相当于求满足Poisson任一特解它们可分解为15式第二组方程你现在浏览的是第四十二页，共53页这是一组无散度和无旋的流动。由无旋条件 必存在速度势代入无散度条件所对应的边界条件式中的与由第一组和第二组方程的特解给出因此，求已知散度场和旋度场引起的流动，可以归结为求解两个与散度和旋度有关的Poisson方程的特解，以及一个Lap
27、lace方程及其边界条件的解下面仅讨论给定旋度场的不可压缩流动（第二组方程）Laplace方程第三组方程你现在浏览的是第四十三页，共53页给定旋度场的不可压缩流动相当于给定旋度场的无散度流动是矢量型泊松方程，有解为涡量场为积分元到所感应点的距离现在假设点源所在的点M的坐标为()，其强度为，要求它在M点以外任一点P(x,y,z)处所定的边度场第二组方程你现在浏览的是第四十四页，共53页对应的诱导速度场为（4-56）你现在浏览的是第四十五页，共53页的力学含义对于任意一点，要求在边界A上，处处满足即在边界上，涡量的法向分量处处为零。推导得到最后来分析你现在浏览的是第四十六页，共53页4-7涡线诱导
28、的速度场涡线（涡丝）：设想旋涡集中在一根很细的涡管上，从而可近似地将此涡管看成几何上的一条线涡线强度涡线对应的速度场（4-56）为Biot-Savart公式涡线例：已知一根直涡线，强度为，试确定直线涡流场的速度考虑一截面积为，长度为的管状体积你现在浏览的是第四十七页，共53页半无限长涡线：向下无限延伸无限长涡线：向两端无限延伸无限长涡线对应的是平面流场，平面点涡你现在浏览的是第四十八页，共53页点涡的流谱你现在浏览的是第四十九页，共53页特殊的涡对：强度相同，旋转方向相反的两个点涡所构成的这个特殊的点涡对有重要的意义。例如，热带双台风会出现打转现象，就可以用此涡对来进行模拟和解释。又如飞机在刚
29、起飞或降落时，由于靠近地面，其受力状况和在高空飞行时不一样，往往会发生一些估计不到的情况在讨论物体受力时可以把它看作一个点涡，当飞机起飞或降落时，地面效应使得我们可以把流场看成是所述这个特殊涡对所诱导的流场，从而容易求出流场的速度，确定飞机的受力状况并解释所发生的现象你现在浏览的是第五十页，共53页例：Rankine组合涡。考虑已根无限长，但截面积有限的直涡柱设圆涡取在平面z=0上，是一个以角速度旋转的强迫涡，半径为。强迫涡内，流体速度为圆涡之外自由涡对于自由涡，流动是无旋的，利用无旋流的Bernoulli方程你现在浏览的是第五十一页，共53页对于强迫涡，将坐标系选在旋转流体上取其中一点在圆涡的边界上则圆涡内任一点的压力为在圆涡核心压力达最小例如对龙卷风，在近涡线处流体质点高速旋转，形成强烈的低压，使得水、灰尘甚至物体被卷吸如内飞旋。（3-115）你现在浏览的是第五十二页，共53页涡流中涡核内、外的速度和压强分布你现在浏览的是第五十三页，共53页