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1、沙坪坝区教师进修学院沙坪坝区教师进修学院 赵兰赵兰对图形与几何的理解对图形与几何的理解及教学策略思考及教学策略思考2013.102013.10忠县初中数学骨干教师交流忠县初中数学骨干教师交流数与代数数与代数(50)空间与图形空间与图形(35)统计与概率统计与概率(15)实践与综合应用实践与综合应用数与式数与式函数函数方程与方程与不等式不等式认识认识关系关系变换变换概率概率统计统计初中数学知识树初中数学知识树一、对图形与几何的理解一、对图形与几何的理解1 1.图形与几何的核心内容图形与几何的核心内容图图形形与与几几何何认识认识(一个图形一个图形)关系关系(两个图形两个图形)变换变换数学是研究数学
2、是研究空间形式空间形式与数量关系的一门学科，与数量关系的一门学科，图形与几何图形与几何是中小学数学教学中较为重要的内容。是中小学数学教学中较为重要的内容。重庆市近几年中考考点重庆市近几年中考考点0909年年1010年年1111年年 1212年年认认识识圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角圆中的角三视图三视图三视图三视图弧长弧长扇形面积扇形面积尺规作图尺规作图(三角形三角形)尺规作图尺规作图(角的组合角的组合)尺规作图尺规作图(应用应用)简单全等证明简单全等证明解直角三角形解直角三角形简单全等证明简单全等证明解直角三角形解直角三角形关关系系相似比相似比(面积面积)相似比相似比
3、(中线周长中线周长)相似比相似比(图形面积图形面积)相似比相似比(高高)平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线平行线相交线圆与圆位置圆与圆位置直线与圆位置直线与圆位置中心对称中心对称轴对称轴对称变变换换几何几何综综合合几何几何综综合合几何几何综综合合几何概率几何概率直角梯形直角梯形(证证线段等线段等求线段长求线段长)直角梯形直角梯形(证证线段线段2 2倍倍证证角和差角和差)一般梯形一般梯形(求线段长求线段长证证线段和差线段和差)菱形菱形(求线段长求线段长证证线段和差线段和差)抛物线抛物线,旋转旋转,证线段证线段2 2倍倍,等腰分类等腰分类动点动点,
4、分段函数分段函数旋转旋转,证周长不证周长不变变,等腰分类等腰分类动点动点,分段函数分段函数平移平移,等腰分类等腰分类动点动点,分段函数分段函数平移平移,直角分类直角分类合合计计2.2.图形与几何的课标要求图形与几何的课标要求平行线等分线段平行线等分线段梯形和等腰梯形梯形和等腰梯形梯形的中位线定理梯形的中位线定理相似三角形的证明相似三角形的证明与圆有关的证明与圆有关的证明圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积弦切角、相交弦、切割线定理弦切角、相交弦、切割线定理3 3.图形与几何的知识结构图形与几何的知识结构点点:线线:角：角：三角形三角形:四边形四边形:圆圆:认
5、识从一般到特殊从一般到特殊:角特殊角特殊,边特殊边特殊直角三角形直角三角形,等腰三角形等腰三角形平行四边形平行四边形矩形矩形,菱形菱形,正方形正方形梯形梯形直角梯形直角梯形,等腰梯形等腰梯形从从简简单单到到复复杂杂边边,角角,特殊线段特殊线段概念概念,性质性质(判定判定),运用运用点与点：点与点：点与线：点与线：点与多边形点与多边形(角角):点与圆：点与圆：线与线：线与线：线与多边形线与多边形(角角):线与圆：线与圆：角与角角与角:多边形与多边形多边形与多边形:多边形与圆：多边形与圆：圆与圆：圆与圆：关系从从简简单单到到复复杂杂/点在线外点在线外,点在线上点在线上点在形外点在形外,点在形上点在
6、形上,点在形内点在形内点在圆外点在圆外,点在圆上点在圆上,点在圆内点在圆内比较比较(相等相等:和差倍分和差倍分,不等不等),平行平行,相交相交/直线与圆相离直线与圆相离,直线与圆相交直线与圆相交比较比较(相等相等:和差倍分和差倍分,不等不等)全等全等,相似相似/数量关系数量关系,位置关系位置关系变换点点:线线:角角:三角形三角形:四边形四边形:圆圆:运动变换运动变换平移平移旋转旋转对称对称从从简简单单到到复复杂杂二、图形与几何教学策略二、图形与几何教学策略1.1.整体结构整体结构 要让学生掌握学习的主动权，最有效率的是掌握和要让学生掌握学习的主动权，最有效率的是掌握和运用结构。结构具有较知识点
7、更强的迁移力。运用结构。结构具有较知识点更强的迁移力。（1 1）框架性结构）框架性结构体现知识整体体现知识整体（3 3）过程性结构）过程性结构体现知识形成体现知识形成（2 2）方法性结构）方法性结构体现学生学习体现学生学习案例案例1 1：菱形的性质：菱形的性质菱形的性质可以从哪些角度入手菱形的性质可以从哪些角度入手?学习菱形以什么方法来学学习菱形以什么方法来学(过程性结构过程性结构)?)?教结构，用结构教结构，用结构为什么学习矩形之后是菱形为什么学习矩形之后是菱形(框架性结构框架性结构)?)?边边,角角,特殊线段特殊线段(对称性对称性)观察观察猜想猜想验证验证四边形转化为三角形四边形转化为三角
8、形,平行线等平行线等角特殊角特殊边特殊边特殊菱形要学习哪些内容菱形要学习哪些内容(方法性结构方法性结构)？概念概念性质判定性质判定运用运用案例案例2 2：两条直线的位置关系：两条直线的位置关系相交线相交线(邻补角邻补角,对顶角对顶角)垂线垂线三线八角三线八角平行线平行线边边,角角,特殊线段特殊线段概念概念,性质性质(判定判定),),运用运用每节课局限在这些知识点的结论记忆和运用每节课局限在这些知识点的结论记忆和运用请画两条直线请画两条直线,你能画出几种不同的位置你能画出几种不同的位置?(?(框架性结构框架性结构)两条直线相交要学习哪些内容？两条直线相交要学习哪些内容？(方法性结构方法性结构)用
9、结构：平行用结构：平行两条直线位置关系：相交，平行两条直线位置关系：相交，平行观察观察猜想猜想验证验证两条直线相交以什么方法来学？两条直线相交以什么方法来学？(过程性结构过程性结构)教结构：相交教结构：相交案例：等腰三角形案例：等腰三角形例题：例题：ABC=ABC=ACB,ACB,BO.COBO.CO分别平分分别平分ABCABC,ACB.ACB.图中有几个图中有几个等腰三角形等腰三角形?变式变式1 1：过过O O作作EFEFBC.BC.图中有几个等图中有几个等腰三角形腰三角形?线段线段EFEF与与BEBE、FCFC之间有何关系之间有何关系?变式变式2 2：若若B BC.C.图中有没有等腰图中有
10、没有等腰三角形三角形?线段线段EFEF与与BEBE、FCFC之间还有无关系之间还有无关系?2.2.变式训练变式训练【例题例题】如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D、E分别是分别是AB、AC边上的点边上的点,DEBC.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.ABCDE案例：等边三角形案例：等边三角形（1 1）条件结论）条件结论变式常见方法：变式常见方法：【例题例题】如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D、E分别是分别是AB、AC边上的点边上的点,DEBC.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.ABCDE【变式变式】当点当点D、E满足什么条件时满足什么条件时,ADE
11、是等边三角形？是等边三角形？（2 2）封闭开放）封闭开放【变式变式】将将AED绕点绕点A旋转任意角度旋转任意角度,上述结论是否都成立？上述结论是否都成立？【例题例题】如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D、E分别是分别是AB、AC边上的点边上的点,DEBC.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.ABCDEABCED【变式变式】将将ADE绕着点绕着点A旋转，使旋转，使C、A、D三点在一条直线上三点在一条直线上.求证：求证：CE=BD.你还能得出哪些结论？你还能得出哪些结论？(边边.角角.三角形三角形位置关系位置关系.数量关系数量关系.形状形状)（3 3）图形变换）图形变换【变式变
12、式】将正方形将正方形CGEF绕点绕点C旋转任意角度旋转任意角度,上述结论还成立吗？上述结论还成立吗？如图，正方形如图，正方形CGEF的边的边CG在在正方形正方形ABCD的边的边BC的延长线的延长线上，连接上，连接AE，取线段，取线段AE的中的中点点M，连接，连接MD、MF.求证：求证：MD=MF.【变式变式】将正方形将正方形CGEF绕点绕点C旋转，使对旋转，使对角线角线CE在正方形在正方形ABCD的边的边BC的的延长线上，其他条件不变，上述延长线上，其他条件不变，上述结论还成立吗？结论还成立吗？（4 4）改变载体）改变载体【原型原型】如图如图,ABC是等边三角形，是等边三角形，D、E分别是分别
13、是AB、AC边上的点边上的点,DEBC.求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形.ABCDE【改编改编】若点若点D是直线是直线AB上的动点，点上的动点，点P是是DE的中点，的中点，AB=2，是否存在这，是否存在这样的点样的点D，使，使ABP是等腰三角形，若存在，求出此时是等腰三角形，若存在，求出此时AD的长，的长，若不存在，说明理由若不存在，说明理由.（5 5）化静为动）化静为动P【原型原型】如图，菱形如图，菱形ABCD中中,E、F分别分别是是AB、AD边的中点边的中点,H为为CD边上一点边上一点,且满足且满足BHC=2BCE（1）求证：）求证：CE=CF；（2）求证：）求证：CH=AB+A
14、H【改编改编】（6 6）特殊一般）特殊一般【原型原型】如图，如图，C=90DEAC，若若AE=1，AC=3，BC=2，求求ADE的面积的面积.【改编改编】（7 7）转换题型）转换题型3.3.语言转化语言转化(1)(1)文字语言文字语言(2)(2)图形语言图形语言(3)(3)符号语言符号语言几何符号几何符号:,关系符号关系符号:,英文字母英文字母A,B,C,DA,B,C,D等等,希腊字母希腊字母,等等条件上图条件上图,辅助线写法辅助线写法4.4.推理论证推理论证由数式的计算转到对几何图形的推理论证。由数式的计算转到对几何图形的推理论证。知道结论可以证明出来，但不知道怎么用符号语言把知道结论可以证
15、明出来，但不知道怎么用符号语言把论证的过程完整准确的表达出来，或论证过程拖泥带论证的过程完整准确的表达出来，或论证过程拖泥带水，语言表达无法准确简明水，语言表达无法准确简明.5.5.问题引导问题引导好好“问问”五度五度（1 1）准确度）准确度对准教学目标对准教学目标（2 2）趣味度）趣味度激发力强激发力强（3 3）深刻度）深刻度有效攻克重难点有效攻克重难点（4 4）开放度）开放度充分暴露相异构想充分暴露相异构想（5 5）集中度）集中度主问突出，线索清晰主问突出，线索清晰答疑答疑质疑质疑暴露问题暴露问题提出问题提出问题案例：轴对称案例：轴对称问题问题1 1阅读教材阅读教材58595859页，找出
16、其中的重要概念页，找出其中的重要概念,勾出概念中的关键词勾出概念中的关键词,思考：思考：如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何判断两个图形是否成轴对称？如何判断两个图形是否成轴对称？问题问题2 2成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形成轴对称吗全等吗？这两个图形成轴对称吗?问题问题3 3轴对称图形和轴对称图形和(成成)轴对称有什么区别和联系轴对称有什么区别和联系?问题问题4 4图中的两个三角形关于直线图中的两个三角形关
17、于直线MNMN对称，请你标对称，请你标出点出点A A、B B、C C的对称点的对称点A A、B B、C C,思考直线思考直线MNMN与线与线段段AAAA有什么关系？有什么关系？PNMCBA案例案例1 1：正比例函数的性质：正比例函数的性质问题问题1 1在同一坐标系内画出在同一坐标系内画出y=x,y=2x,y=3xy=x,y=2x,y=3x的图象的图象,观察它们有什么共性？观察它们有什么共性？(形形)问题问题2 2你能说明它们为什么有这样的共性？你能说明它们为什么有这样的共性？(数数)问题问题3 3上述结论能推广到一般情形吗？上述结论能推广到一般情形吗？问题问题4 4你能类比上述研究过程你能类比
18、上述研究过程,得出得出k k0 0的情形吗？的情形吗？案例案例2 2：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法公式法公式法问题问题1 1你能用配方法求出二次项系数你能用配方法求出二次项系数为为1 1的一元二的一元二次方程次方程 的解吗？的解吗？问题问题2 2你能用配方法求出二次项系数你能用配方法求出二次项系数不为不为1 1的一元的一元二次方程二次方程 的解吗？的解吗？问题问题3 3你能用配方法求出二次项系数你能用配方法求出二次项系数为字母为字母的一元的一元二次方程二次方程 的解吗？的解吗？案例案例3 3：有理数的加法：有理数的加法问题问题1 1小明在一条东西向的跑道上，先向东走了小明在一条东西向
19、的跑道上，先向东走了2020米，又向东走了米，又向东走了3030米，能否确定他现在位于原来位米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米置的哪个方向，与原来位置相距多少米?你能用一个算式简洁的表示这两次运动及结果吗？你能用一个算式简洁的表示这两次运动及结果吗？（必须表明运动的方向和距离）（必须表明运动的方向和距离）问题问题2 2如果删去问题如果删去问题1 1中的两个中的两个“向东向东”，你还能，你还能确定小明的位置吗？一共有几种情形？确定小明的位置吗？一共有几种情形？请直接用算式写出所有情形请直接用算式写出所有情形 问题问题3 3观察得到的几个算式，你能发现和的符号与观察得到
20、的几个算式，你能发现和的符号与两个加数的符号有什么关系吗？和的绝对值与两个两个加数的符号有什么关系吗？和的绝对值与两个加数的绝对值又有什么关系？加数的绝对值又有什么关系？问题问题4 4两种特殊情形：两种特殊情形：（1 1）第一次向西走了）第一次向西走了3030米，第二次向东走了米，第二次向东走了3030米；米；（2 2）第一次向西走了）第一次向西走了3030米，第二次没走米，第二次没走请分别写出算式，你能从中得出什么结论？请分别写出算式，你能从中得出什么结论？案例案例4 4：抛物线的增减性：抛物线的增减性变式变式1:1:抛物线抛物线y=3xy=3x2 2上有两点上有两点(x x1 1,y,y1
21、 1)、(x x2 2,y,y2 2)当当x x1 1x x2 20 0时时,问问y y1 1和和y y2 2的大小关系的大小关系问题问题.抛物线抛物线y=3xy=3x2 2上有两点上有两点(4,y(4,y1 1)、(1,y(1,y2 2)问问y y1 1和和y y2 2的大小关系的大小关系 .变式变式2:2:抛物线抛物线y=y=ax x2 2(a0)0)上有两点上有两点(x x1 1,y,y1 1)、(x x2 2,y,y2 2)当当x x1 1x x2 20 0时时,问问y y1 1和和y y2 2的大小关系的大小关系案例案例5 5：已知一元二次方程有一个根为已知一元二次方程有一个根为1,1,那么这个方程那么这个方程可以是可以是 .(.(只需写出一个方程只需写出一个方程)()(上海上海2005)2005)学生尝试，教师追问：你是怎么想到的？学生尝试，教师追问：你是怎么想到的？由学生的做法由学生的做法,引导探索引导探索,回归本质：回归本质：(1)(1)从最简单处思考，例如，方程从最简单处思考，例如，方程 ；(2)(2)从从 ，引出，引出 ；(3)(3)从从 ，引出，引出 .提升到一般方法：提升到一般方法：(4 4)从从 有根为有根为1 1，则，则 ，引出更一般的情况。，引出更一般的情况。谢谢倾听！谢谢倾听！Thanks!