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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 7 7 讲抛物线学案讲抛物线学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线其数学表达式：|MF|d(其中 d 为点 M 到准线的距离)考点 2 抛物线的标准方程与几何性质必会结论抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2，
2、y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)(3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切( )(3)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是 x.( )(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )2 / 17(5)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F 的弦，若 A(x1
3、，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)22018江西八校联考已知抛物线 yax2(a0)的焦点到准线的距离为 2，则 a( )A4 B2 C. D.1 2答案 C解析 化为标准方程 x2y，据题意22，a.3课本改编设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6 C8 D12答案 B解析 抛物线准线方程 x2，点 P 到准线的距离为 6，P到焦点的距离也为 6，选 B.4课本改编已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则
4、抛物线 C 的方程是( )By22xAy22x Dy24xCy24x 答案 D解析 由已知知双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为 y22px(p0)，则，所以 p2，所以抛物线方程为y24x.故选 D.5已知 AB 是抛物线 y22x 的一条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )A2 B. C. D.5 2答案 C解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又p1，x1x23，点 C 的横坐标是.故选 C.3 / 1762018唐山模拟若抛物线 x2ay 过点 A，则点 A 到此抛物线的焦点的距离为_答案 5 4解析 由题意可知，点 A 在
5、抛物线 x2ay 上，所以 1a，解得 a4，得 x24y.由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点 A 到抛物线的焦点的距离为 yA11.板块二 典例探究考向突破考向 抛物线的方程及几何性质 例 1 (1)2016全国卷设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 y(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k( )A. B1 C. D2答案 D解析 易知抛物线的焦点为 F(1,0)，设 P(xP，yP)，由 PFx轴，可得 xP1，代入抛物线方程，得 yP2(2 舍去)，把 P(1,2)代入曲线 y(k0)，得 k2.(2)已知过抛物线 y22px(p0)的焦
6、点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为( )Bx2Ax1 Dx2Cx1 答案 C解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 y，与抛物线方程联立得消去 y 整理得：x23px0，可得 x1x23p.根据中点坐标公式，有3，p2，因此抛物线的准线方程为 x1.(2)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，则|AB|_.答案 16 3解析 设 A(xA
7、，yA)，B(xB，yB)，y24x，抛物线的准线为 x1，F(1,0)，又 A 到抛物线准线的距离为 4，xA14，xA3，xAxB1，xB，|AB|xAxBp32.考向 抛物线定义及应用命题角度 1 到焦点与到定点距离之和最小问题 5 / 17例 2 2018赣州模拟若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为( )B.A(0,0) (1 2，1)D(2,2)C(1，) 答案 D解析 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时
8、 M(2,2)命题角度 2 到点与准线的距离之和最小问题 例 3 2018邢台模拟已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C：(x1)2(y5)21 上，则|MA|MF|的最小值是_答案 5解析 依题意，由点 M 向抛物线 x24y 的准线 l：y1 引垂线，垂足为 M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心 C(1,5)到 y1 的距离再减去圆C 的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5.命题角度 3 到定直线的距离最小问题例 4 已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线y24x 上一动点 P
9、 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )A. B2 C. D3答案 B解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线l1：4x3y60 的距离，所以最小值是2.命题角度 4 焦点弦中距离之和最小问题例 5 已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两6 / 17点，且|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B1 C. D.7 4答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为 l，A
10、B 的中点为 M，作AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，MM1l 于 M1，由抛物线的定义知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点 M 到 y 轴的距离为|MM1|(|AA1|BB1|).触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决7 / 17考向 抛物线在实际生活中的应用例 6 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱
11、，箱宽 3 m，车与箱共高 4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由解 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为 A，B，则 A(3，3)，B(3，3)设抛物线方程为 x22py(p0)，将 B 点坐标代入得 92p(3)，所以 p.所以抛物线方程为 x23y(3y0)因为车与箱共高 4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶 0.5 m.设抛物线上点 D 的坐标为(x0，0.5)，则 x，所以|x0|，所以 2|x0|0，即 m1 时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即 42(m1)，解得 m7.所以直线 AB 的方程为 yx7.触类旁通求解抛
12、物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求” “整体代入” “点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p(焦点在 x 轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式【变式训练 2】2016江苏高考如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l：xy20，抛物线 C：y22px(p0)(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线 C 上存在关于直线
13、 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为(2p，p)；求 p 的取值范围解 (1)抛物线 C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20 上，得020，即 p4，所以抛物线 C 的方程为y28x.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段 PQ 的中点 M(x0，y0)因为点 P 和 Q 关于直线 l 对称，所以直线 l 垂直平分线段 PQ，于是直9 / 17线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为 yxb.证明：由消去 x，得 y22py2pb0.因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 y1y2，从而 (2p)24(2pb)0，化简得 p2b0
14、.方程 y22py2pb0 的两根为 y1,2p，从而 y0p.因为 M(x0，y0)在直线 l 上，所以 x02p.因此，线段 PQ 的中点坐标为(2p，p)因为 M(2p，p)在直线 yxb 上，所以p(2p)b，即 b22p.由知 p2b0，于是 p2(22p)0，所以 p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为 y2mx 或 x2my(m0)满分策略1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出 p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题，要多从抛物线的定义入手，这样可
15、以简化问题3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.板块三 启智培优破译高考数学思想系列 9化归转化法解决抛物中的比值问题 (1)2018温州十校联考已知点 A(0,2)，抛物线10 / 17C：y22px(p0)的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若，则 p 的值等于( )A. B. C2 D4解题视点 由四点共线得出斜率相等，进而得出 M 点的坐标解析 设 M(xM，yM)，N，由，知，所以 yN(1)yM；由kFAkFN 知，所以 yN4，所以 yM；又，所以xM，所以 xM，将(xM，yM)代入 y22px，得 22p，解得 p2.故选C.
16、答案 C(2)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B，若 SOAF4SOBF，则直线 AB 的斜率为( )A B C D4 3解题视点 将已知中的比值转化为相关点的坐标比值解析 根据题意设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 SOAF4SOBF，得|AF|4|BF|，4，得4，故y14y2，即4.设直线AB 的方程为 yk，联立消元得 ky22pykp20，故y1y2，y1y2p2，则2，解得 k，即直线 AB 的斜率为.故选 D.答案 D答题启示 圆锥曲线中存在线段比值问题，应采用化归转化思想方法进而转化为向量关系，或有关点的坐标关系，有时还利用相似比或三角函数
17、求解.跟踪训练过抛物线 y24x 的焦点 F 且斜率为 2 的直线交抛物线于 A，B两点(xAxB)，则( )A. B. C3 D2答案 D解析 设直线方程为 y2(x1)与 y24x 联立得：2x25x20，(2x1)(x2)0，x1，x211 / 172xAxB，xA2，xB.2.故选 D.板块四 模拟演练提能增分 A 级 基础达标1若抛物线 y22px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( )By26xAy24x Dy210xCy28x 答案 C解析 抛物线 y22px，准线为 x.点 P(2，y0)到其准线的距离为 4.4.p4，抛物线的标准方程为 y28
18、x.2已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|x0，则 x0( )A1 B2 C4 D8答案 A解析 由题意知抛物线的准线为 x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得 x0|AF|x0，解得 x01.故选 A.32016全国卷以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4，|DE|2，则C 的焦点到准线的距离为( )A2 B4 C6 D8答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取 A，D，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得 p4.故选 B.
19、42018运城模拟已知抛物线 x2ay 与直线 y2x2 相交于 M，N 两点，若 MN 中点的横坐标为 3，则此抛物线方程为( )Bx26yAx2y Dx23yCx23y 12 / 17答案 D解析 设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去 y，得x22ax2a0，所以3，即 a3，因此所求的抛物线方程是x23y.5已知直线 axy10 经过抛物线 y24x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )A6 B7 C8 D9答案 C解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，点 F 在直线axy10 上，a10，即 a1，直线方程为xy10.联立得 x26x10.设直线与抛物线交于点
20、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x26，|AB|x1x2p628.62018郑州模拟已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，若|AF|BF|5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_答案 9 4解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|BF|5，即 x1x25，解得 x1x2，所以线段 AB的中点到 y 轴的距离.72017河北六校模拟抛物线 C：y22px(p0)的焦点为F，点 O 是坐标原点，过点 O，F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36，则抛物线的方程为_答案 y216x解析 设满足题意的圆的圆心为 M
21、.根据题意可知圆心 M 在抛物线上又圆的面积为 36，圆的半径为 6，则|MF|xM6，即 xM6.又由题意可知 xM，6，解得 p8.抛物线方程为 y216x.13 / 1782017天津高考设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120，则圆的方程为_答案 (x1)2(y)21解析 由 y24x 可得点 F 的坐标为(1,0)，准线 l 的方程为x1.由圆心 C 在 l 上，且圆 C 与 y 轴正半轴相切(如图)，可得点 C的横坐标为1，圆的半径为 1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所
22、以|OA|，所以点 C 的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.9.如图，点 O 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 C：y24x 的焦点 F.设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点以点 F 为圆心，|FA|为半径的圆与 x 轴负半轴的交点为点 B，与抛物线 C 在第四象限的交点为点 D.(1)若点 O 到直线 l 的距离为，求直线 l 的方程；(2)试判断直线 AB 与抛物线 C 的位置关系，并给出证明解 (1)由题易知，抛物线 C 的焦点为 F(1,0)，当直线 l 的斜率不存在时，即 x1，不符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk(x1)，即kx
23、yk0.所以，解得 k.即直线 l 的方程为 y(x1)(2)直线 AB 与抛物线 C 相切，证明如下：设 A(x0，y0)，则 y4x0.因为|BF|AF|x01，所以 B(x0,0)所以直线 AB 的方程为：y(xx0)，整理得，xx0，把上式代入 y24x 得 y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线 AB 与抛物线 C 相14 / 17切102018湖南模拟已知过 A(0,2)的动圆恒与 x 轴相切，设切点为 B，AC 是该圆的直径(1)求 C 点轨迹 E 的方程；(2)当 AC 不在 y 轴上时，设直线 AC 与曲线 E 交于另一点 P，该曲线在 P 处
24、的切线与直线 BC 交于 Q 点求证：PQC 恒为直角三角形解 (1)设 C(x，y)，A(0,2)，则圆心坐标为，又因为圆与 x 轴切于 B 点，所以 B 点坐标为，圆的半径为.根据 AC 是圆的直径得，|AC|y2|，即|y2|，两边平方整理得x28y，所以 C 点的轨迹 E 的方程为 x28y.(2)证明：设 AC 所在直线的方程为 ykx2，与曲线 E 联立得 x28kx160，设 C(x1，y1)，P(x2，y2)，则 x1x216.曲线 E：x28y 在点 P(x2，y2)处切线的斜率为k1xx2，且 B，直线 BC 的斜率为 k2，所以 k1k2 1，所以 PQBC，即PQC 为
25、直角三角形B 级 知能提升1已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|( )A. B. C3 D2答案 C解析 过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|QQ|3.22018安徽模拟过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛15 / 17物线于 A，B 两点，O 为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为( )A. B. C. D22答案 C解析 焦点 F(1,0)，设 A，B 分别在第一、四象限，则点 A 到准线 l：x1 的距
26、离为 3，得 A 的横坐标为 2，纵坐标为 2，AB 的方程为 y2(x1)，与抛物线方程联立可得 2x25x20，所以B 的横坐标为，纵坐标为，SAOB1(2).32017山东高考在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x22py(p0)交于A，B 两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案 yx解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由得 a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即 y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为 yx.4设 A，B 为抛物线 y2x 上相异两点，其纵坐标分别
27、为1，2，分别以 A，B 为切点作抛物线的切线 l1，l2，设 l1，l2 相交于点 P.(1)求点 P 的坐标；(2)M 为 A，B 间抛物线段上任意一点，设，试判断是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由解 (1)知 A(1,1)，B(4，2)，设点 P 坐标为(xp，yp)，切线 l1：y1k(x1)，联立由抛物线与直线 l1 相切，解得 k，16 / 17即 l1：yx，同理 l2：yx1，联立 l1，l2 的方程，可解得Error!即点 P 的坐标为.(2)设 M(y，y0)，且2y01，由 得，即解得则1，即为定值 1.52018合肥模拟已知抛物线 C1：y24
28、x 和C2：x22py(p0)的焦点分别为 F1，F2，点 P(1，1)，且F1F2OP(O 为坐标原点)(1)求抛物线 C2 的方程；(2)过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M，交 C2 的左半部分于点 N，求PMN 面积的最小值解 (1)F1(1,0)，F2，.(1，1)10，F1F2p2，C2 的方程为 x24y.(2)设过点 O 的直线为 ykx，联立得M，联立得 N(4k,4k2)(k0)，从而|MN|，点 P 到直线 MN 的距离 d，进而 SPMN(4 k24k)1k22.令 tk(t2)，有 SPMN2(t2)(t1)，当 t2 时，SPMN 有最小值 8，此时 k1.即当过原点的直线为 yx 时，PMN 的面积取得最小值 8.17 / 17